obecný problém roztrojení úhlu je řešitelný pomocí dalších nástrojů, a tak bude mimo původní řecké rámci kompasu a pravítka.

bylo navrženo mnoho nesprávných metod trisecting obecného úhlu. Některé z těchto metod poskytují přiměřené aproximace; jiné (některé z nich jsou uvedeny níže) zahrnují nástroje, které nejsou povoleny v klasickém problému. Matematik Underwood Dudley podrobně popsal některé z těchto neúspěšných pokusů ve své knize Trisectors.

aproximace postupnými bisectionsEdit

Trisekce může být aproximována opakováním kompasu a metody straightedge pro půlení úhlu. Geometrická řada 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ nebo 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ může být použit jako základ pro průsečíky. Přiblížení k jakémukoli stupni přesnosti lze získat v konečném počtu kroků.

použití origamiEdit

Trisekce, stejně jako mnoho konstrukcí nemožných pravítkem a kompasem, lze snadno dosáhnout operací skládání papíru nebo origami. Huzitovy axiomy (typy skládacích operací) mohou konstruovat krychlové rozšíření (kořeny krychle) daných délek, zatímco pravítko a kompas mohou konstruovat pouze kvadratické rozšíření(odmocniny).

Použití linkageEdit

Existuje řada jednoduchých vazeb, které mohou být použity, aby se nástroj, na ten úhel úhly včetně Kempe Trisector a Sylvester je Odkaz Ventilátor nebo Isoklinostat.

S pravou trojúhelníkový rulerEdit

V roce 1932, Ludwig Bieberbach zveřejněna v Journal für die reine und angewandte Mathematik jeho práce Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Uvádí v něm (volný překlad):

„Jak je známo … každá kubická konstrukce může být vysledována zpět k trisekci úhlu ak násobení krychle,tj. Musím jen ukázat, jak lze tyto dva klasické úkoly vyřešit pomocí pravoúhlého háku.“

následující popis sousední konstrukce (animace) obsahuje jejich pokračování až do úplné Úhlové trisekce.

začíná s prvním jednotkové kružnici kolem svého středu A {\displaystyle A}

, první úhlu končetiny B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

, a druhá jednotka kruh kolem P {\displaystyle P}

následující. Teď průměru B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

P {\displaystyle P}

je rozšířena do kruhu řádku jednotkové kružnice, průsečík O {\displaystyle O}

byl vytvořen. Po oblouku kruhu kolem P {\displaystyle P}

s poloměrem B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

a kreslení druhého úhlu končetiny z úhlu δ {\displaystyle \delta }

, bod C {\displaystyle C}

výsledky. Nyní se používá takzvaný dodatečný stavební průměr, v ilustrovaném příkladu je to Geodreieck. Tato geometrie trojúhelníku, jak je také nazýván, je nyní umístěn na výkresu následujícím způsobem: vrchol pravého úhlu určuje bod Y {\displaystyle Y}

na úhlu nohou P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, cathetus trojúhelníku prochází bodem O {\displaystyle O}

a druhý má vliv na jednotkové kružnici {\displaystyle A}

. Po připojení bodu O {\displaystyle O}

Y {\displaystyle Y}

a kreslení tečny z Y {\displaystyle Y}

jednotkové kružnice kolem {\displaystyle A}

, výše uvedené pravý úhel hák, respektive Rechtwinkelhaken je znázorněno na obrázku. Úhel ohraničené segmenty O S {\displaystyle {\overline {operačního systému}}}

a P Y {\displaystyle {\overline {PS}}}

je tedy přesně to, δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

. To se děje s paralelní k O S {\displaystyle {\overline {operačního systému}}}

P {\displaystyle P}

, alternativní úhel δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

a bod D {\displaystyle D}

jsou vytvořeny. Další paralelní k O S {\displaystyle {\overline {operačního systému}}}

{\displaystyle A}

určuje kontaktní E {\displaystyle E}

tangens pomocí jednotkové kružnice o {\displaystyle A}

. Konečně, nakreslit rovnou čáru od P {\displaystyle P}

prostřednictvím E {\displaystyle E}

, dokud se protíná jednotkovou kružnici v F {\displaystyle F}

. Úhel δ {\displaystyle \ delta }

má tedy přesně tři části.

S pomocným curveEdit

• Trisection pomocí Archimedovské spirály

• Trisection pomocí Maclaurin trisectrix

Existují určité křivky zvané trisectrices, které, pokud byly na letadle pomocí jiných metod, mohou být použity, aby ten úhel libovolných úhlů. Příklady zahrnují trisectrix Colin Maclaurin, daný v Kartézských souřadnicích pomocí implicitní rovnice

2 x ( x 2 + y 2 ) = ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=(3x^{2}-y^{2}),}

a Archimédova spirála. Spirála může být ve skutečnosti použita k rozdělení úhlu na libovolný počet stejných částí.

S výrazným rulerEdit

Další způsob, jak ten úhel libovolný úhel, o „malé“ krok mimo řeckou rámec je přes pravítko s dvěma značkami stanovené vzdálenosti od sebe. Další stavba je původně způsobena Archimédem, tzv. Neurozovou konstrukcí, tedy, která používá jiné nástroje než neoznačenou rovnici. Diagramy, které používáme, ukazují tuto konstrukci pro ostrý úhel, ale skutečně funguje pro jakýkoli úhel až 180 stupňů.

To vyžaduje tři skutečnosti, z geometrie (vpravo):

1. Každá úplnou sadu úhly na přímce přidat do 180°,
2. součet úhlů trojúhelníku je 180°, a,
3. Žádné dvě stejné strany rovnoramenného trojúhelníku bude splňovat třetí ve stejném úhlu.

Nechť l je vodorovná čára v sousedním diagramu. Úhel a (vlevo od bodu B) je předmětem trisekce. Nejprve je bod a nakreslen na úhlovém paprsku, jedna jednotka kromě B. je nakreslena kružnice o poloměru AB. Pak, markedness pravítka přichází do hry: jedna značka pravítka je umístěna na a a druhý na B. Při zachování pravítko (ale ne značku) dotýká, vládce je sklouzl a otáčet, dokud jedna značka je na kružnici a druhý je na lince l. Značky na kruhu je označen C a označit na řádku je označen D. tím je zajištěno, že CD = AB. Poloměr BC je nakreslen, aby bylo zřejmé, že úsečky AB, BC, a CD mají stejnou délku. Trojúhelníky ABC a BCD jsou rovnoramenné, takže (ve skutečnosti 3 výše) každý má dva stejné úhly.

hypotéza: Vzhledem AD je přímka, a AB, BC a CD, všechny mají stejnou délku,

Závěr: úhel b = a/3.

Důkaz:

1. Od Skutečnosti 1) výše, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   °.

2. při Pohledu na trojúhelníku BCD, od Skutečnosti, 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
   

   °.

3. Z posledních dvou rovnic, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. Od Skutečnosti 1) výše, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
   

   °, tedy a + ( 180 {\displaystyle+(180}

   

   ° − 4 b ) + b = 180 {\displaystyle -4b)+b=180}

   

   °.

Clearing, a-3b = 0, nebo a = 3b, a věta je prokázána.

Opět, tato stavba vystoupil mimo rámec povolených staveb pomocí označeny pravítka.

s stringEdit

Thomas Hutcheson publikoval článek v učiteli matematiky, který použil řetězec místo kompasu a rovné hrany. Řetězec může být použit buď jako rovné hrany (roztažení) nebo kompas (stanovením jednoho bodu a určení další), ale může také zábal kolem válce, klíč k Hutcheson řešení.

Hutcheson konstruovány válec z úhlu být trisected kreslení oblouku přes úhel, dokončení je jako kruh, a stavění od kruhu válec, na který, řekněme, byl vepsán rovnostranný trojúhelník (o 360 stupňů úhel rozdělen na tři). To bylo pak „mapováno“ na úhel, který má být trisected, s jednoduchým důkazem podobných trojúhelníků.

S „tomahawk“Upravit

„tomahawk“ je geometrický tvar složený z půlkruhu a dvě kolmé úsečky, takové, že délka kratší segment se rovná poloměr kružnice. Trisection se provádí opíral konci tomahawk je kratší segment na jeden paprsek, kruh hrany na druhou, tak, že „zvládnout“ (delší segment) kříže úhlu je vrchol; trisection trať vede mezi vrcholem a středem půlkruhu.

Všimněte si, že zatímco tomahawk je constructible s kompasu a pravítka, to není obecně možné postavit tomahawk v libovolné poloze. Výše uvedená konstrukce tedy není v rozporu s neúčinností úhlů pouze s pravítkem a kompasem.

tomahawk produkuje stejný geometrický efekt jako papír-skládací metoda: vzdálenost mezi kruh, střed a špičku kratší segment je dvojnásobek vzdálenosti poloměru, který je zaručeno, že kontaktní úhel. To je také ekvivalentní použití architekta L-pravítko (tesařské náměstí).

S propojenými compassesEdit

úhel může být trisected se zařízením, které je v podstatě čtyři-hroty verze kompasu, s vazbami mezi hroty navržen tak, aby tři úhly mezi sousedními kolíky rovné.