der er en række enkle linkages, som kan bruges til at lave et instrument til trisect vinkler inklusive Kempe’ s trisector og Sylvester ‘ s link fan eller isoklinostat.

med en højre trekantet linjeredit

Trisektion af vinklen ved hjælp af Rechtinkelhaken ifølge Ludvig Bieberbach, med fortsættelse af byggeriet, animation 1 min 35 s, hvoraf bryde i slutningen 30 s.

i 1932, Ludvig Bieberbach offentliggjort i Journal f Orr die reine und angeande matematik hans arbejde til Lehre von den kubischen konstruktionen. Han siger deri (gratis oversættelse):

“som det er kendt … hver kubisk konstruktion kan spores tilbage til trisektionen af vinklen og til multiplikationen af terningen, det vil sige udvindingen af den tredje rod. Jeg behøver kun at vise, hvordan disse to klassiske opgaver kan løses ved hjælp af den rigtige vinkel krog.”

den følgende beskrivelse af den tilstødende konstruktion (animation) indeholder deres fortsættelse op til den komplette vinkel trisektion.

det begynder med den første enhedscirkel omkring dens centrum a {\displaystyle a}

, den første vinkel lem B p {\displaystyle {\overline {BP}}}

, og den anden enhed cirkel omkring p {\displaystyle p}

efter det. Nu diameteren B p {\displaystyle {\overline {BP}}}

fra P {\displaystyle P}

udvides til cirkellinjen i denne enhedscirkel, skæringspunktet O {\displaystyle O}

oprettes. Efter cirkelbuen omkring P {\displaystyle P}

med radius B p {\displaystyle {\overline {BP}}}

og tegningen af den anden vinkel lem fra vinklen displaystyle\Delta}

, punktet C {\displaystyle C}

resultater. Nu bruges det såkaldte ekstra konstruktionsmiddel, i det illustrerede eksempel er det Geodreieck. Denne geometri-trekant, som den også kaldes, placeres nu på tegningen på følgende måde: toppunktet for den rigtige vinkel bestemmer punktet s {\displaystyle S}

på vinkelbenet P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, en katetus af trekanten passerer gennem punktet O {\displaystyle o}

og den anden påvirker enhedscirklen a {\displaystyle a}

. Efter tilslutning af punktet O {\displaystyle O}

til s {\displaystyle S}

og tegning af tangenten fra s {\displaystyle S}

til enheden cirkel omkring en {\displaystyle a}

, den ovennævnte højre vinkel krog henholdsvis rechtinkelhaken er vist. Vinklen vedlagt segmenterne O s {\displaystyle {\overline {os}}}

og P s {\displaystyle {\overline {PS}}}

er således nøjagtigt 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

. Det fortsætter med parallellen til O s {\displaystyle {\overline {os}}}

fra P {\displaystyle P}

, den alternative vinkel på 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

og punktet D {\displaystyle d}

oprettes. En yderligere parallel til O s {\displaystyle {\overline {os}}}

fra en {\displaystyle A}

bestemmer kontaktpunktet E {\displaystyle E}

fra tangenten med enhedscirklen om en {\displaystyle a}

. Til sidst tegner du en lige linje fra P {\displaystyle P}

gennem E {\displaystyle E}

indtil den skærer enhedscirklen i f {\displaystyle F}

. Således har vinklen prisT {\displaystyle \ delta }

nøjagtigt tre dele.

med en hjælpekurveedit

• Trisektion ved hjælp af den arkimediske spiral

• trisektion ved hjælp af Maclaurin-trisektrikken

Der er visse kurver kaldet trisektricer, som, hvis de trækkes på flyet ved hjælp af andre metoder, kan bruges til at trisect vilkårlige vinkler. Eksempler inkluderer Trisektrikken af Colin Maclaurin, givet i kartesiske koordinater ved den implicitte ligning

2 gange ( 2 + y 2 ) = a ( 3 gange 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2 gange(2}+y^{2})=a(3 gange^{2}-y^{2}),}

og den arkimediske spiral. Spiralen kan faktisk bruges til at opdele en vinkel i et hvilket som helst antal lige store dele.

med en markeret linjeredit

Trisektion af vinklen ved hjælp af markeret lineal

et andet middel til trisect en vilkårlig vinkel med et “lille” trin uden for den græske ramme er via en lineal med to mærker et sæt afstand fra hinanden. Den næste konstruktion skyldes oprindeligt Archimedes, kaldet en Neusis-konstruktion, dvs.der bruger andre værktøjer end en ikke-mærket straightedge. De diagrammer, vi bruger, viser denne konstruktion i en spids vinkel, men den fungerer faktisk i enhver vinkel op til 180 grader.

dette kræver tre fakta fra geometri (til højre):

1. ethvert komplet sæt vinkler på en lige linje Tilføj til 180 liter,
2. summen af vinkler i en hvilken som helst trekant er 180 liter, og
3. to lige sider af en ensartet trekant møder den tredje i samme vinkel.

lad l være den vandrette linje i det tilstødende diagram. Vinkel a (venstre for punkt B) er genstand for trisektion. Først tegnes et punkt A i en vinkelstråle, en enhed bortset fra B. En cirkel med radius AB tegnes. Derefter kommer linjens markering i spil: et mærke af linealen er placeret ved A og det andet ved B. mens linealen (men ikke mærket) rører ved A, glider linealen og drejes, indtil det ene mærke er på cirklen, og det andet er på linjen l. mærket på cirklen er mærket C, og mærket på linjen er mærket D. Dette sikrer, at CD = AB. En radius BC tegnes for at gøre det indlysende, at linjesegmenter AB, BC og CD alle har samme længde. Nu er trekanter ABC og BCD ligebenede, således (ved kendsgerning 3 ovenfor) har hver to lige vinkler.

hypotese: Givet AD er en lige linje, og AB, BC og CD har alle samme længde,

konklusion: vinkel b = A / 3.

bevis:

1. fra Fact 1) ovenfor, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   list.

2. ser på Trekant BCD, fra Fact 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2B=180}
   

   list.

3. fra de sidste to ligninger, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. fra Fact 1) ovenfor, A + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
   

   Lira, således a + ( 180 {\displaystyle a+(180}

   

   list − 4 B ) + B = 180 {\displaystyle-4b)+B=180}

   

   list.

Clearing, a-3b = 0 eller a = 3b, og sætningen er bevist.

igen trådte denne konstruktion uden for rammerne af tilladte konstruktioner ved hjælp af en markeret straightedge.

med en strengedit

Thomas Hutcheson offentliggjorde en artikel i matematiklæreren, der brugte en streng i stedet for et kompas og lige kant. En streng kan bruges som enten en lige kant (ved at strække den) eller et kompas (ved at fastgøre et punkt og identificere et andet), men kan også vikle rundt om en cylinder, nøglen til Hutchesons løsning.

Hutcheson konstruerede en cylinder fra den vinkel, der skulle trises, ved at tegne en bue over vinklen, færdiggøre den som en cirkel og konstruere fra den cirkel en cylinder, hvorpå en ligesidet trekant blev indskrevet (en 360 graders vinkel opdelt i tre). Dette blev derefter “kortlagt” på den vinkel, der skulle trises, med et simpelt bevis på lignende trekanter.

med en “tomahav”Rediger

en tomahav trisecting en vinkel. Håndtaget danner den ene trisektor, og den viste blå linje danner den anden.

en “tomahauk” er en geometrisk form bestående af en halvcirkel og to ortogonale linjesegmenter, således at længden af det kortere segment er lig med cirkelradiusen. Trisektion udføres ved at læne enden af tomahauks kortere segment på den ene stråle, cirkelens kant på den anden, så “håndtaget” (længere segment) krydser vinkelens toppunkt; trisektionslinjen løber mellem toppunktet og midten af halvcirkel.

Bemærk, at mens en tomahaj kan konstrueres med kompas og straightedge, er det generelt ikke muligt at konstruere en tomahaj i nogen ønsket position. Således modsiger ovennævnte konstruktion ikke, at vinkler med linjal og kompas alene ikke kan udelukkes.

tomahauk producerer den samme geometriske effekt som papirfoldningsmetoden: afstanden mellem cirkelcenter og spidsen af det kortere segment er dobbelt så stor som radiusafstanden, som garanteres at komme i kontakt med vinklen. Det svarer også til brugen af en arkitekter L-Lineal (Tømrerplads).

med sammenkoblede kompasseredit

en vinkel kan trises med en enhed, der i det væsentlige er en firbenet version af et kompas, med forbindelser mellem stifterne designet til at holde de tre vinkler mellem tilstødende stænger ens.