Das allgemeine Problem der Angle Trisection ist lösbar, indem zusätzliche Werkzeuge verwendet werden, und somit außerhalb des ursprünglichen griechischen Rahmens von Kompass und Lineal.

Es wurden viele falsche Methoden zur Trisektion des allgemeinen Winkels vorgeschlagen. Einige dieser Methoden bieten vernünftige Annäherungen; andere (von denen einige unten erwähnt werden) beinhalten Werkzeuge, die im klassischen Problem nicht zulässig sind. Der Mathematiker Underwood Dudley hat einige dieser Fehlversuche in seinem Buch The Trisectors detailliert beschrieben.

Approximation durch aufeinanderfolgende Winkelhalbierungenbearbeiten

Trisection kann durch Wiederholung der Kompass- und Linealmethode zur Winkelhalbierung approximiert werden. Die geometrische Serie 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ oder 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ kann als Grundlage für die Halbierungen verwendet werden. Eine Annäherung an einen beliebigen Genauigkeitsgrad kann in einer endlichen Anzahl von Schritten erhalten werden.

origamiEdit verwenden

Trisection, wie viele Konstruktionen unmöglich durch Lineal und Kompass, kann leicht durch die Operationen der Papierfaltung oder Origami erreicht werden. Huzitas Axiome (Arten von Faltoperationen) können kubische Erweiterungen (Kubikwurzeln) gegebener Länge konstruieren, während Lineal und Kompass nur quadratische Erweiterungen (Quadratwurzeln) konstruieren können.

Verwenden eines linkageEdit

Sylvester’s Linkage

Es gibt eine Reihe von einfachen Verknüpfungen, die verwendet werden können, um ein Instrument zum Trisektieren von Winkeln herzustellen, einschließlich Kempes Trisector und Link Fan oder Isoklinostat.

Mit einer rechten Dreiecksregel

Dreiteilung des Winkels mittels des Rechtwinkelhakens nach Ludwig Bieberbach, mit Fortsetzung der Konstruktion, animation 1 min 35 s, davon Pause am Ende 30 s.

1932 veröffentlichte Ludwig Bieberbach im Journal für die reine und angewandte Mathematik seine Arbeit Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Er sagt darin (freie Übersetzung):

„Wie bekannt … jede kubische Konstruktion lässt sich auf die Trisektion des Winkels und auf die Multiplikation des Würfels, also die Extraktion der dritten Wurzel, zurückführen. Ich brauche nur zu zeigen, wie diese beiden klassischen Aufgaben mit dem rechten Winkelhaken gelöst werden können.“

Die folgende Beschreibung der angrenzenden Konstruktion (Animation) enthält deren Fortsetzung bis zum vollständigen Winkeltrisektion.

Es beginnt mit dem ersten Einheitskreis um seinen Mittelpunkt A {\displaystyle A}

, dem ersten Winkelschenkel B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

und dem zweiten Einheitskreis um P {\displaystyle displaystyle P}

folgt ihm. Nun wird der Durchmesser B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

von P {\displaystyle P}

bis zur Kreislinie dieses Einheitskreises, dem Schnittpunkt O{\displaystyle O}

wird erstellt. Nach dem Kreisbogen um P {\displaystyle P}

mit dem Radius B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

und der Zeichnung des zweiten Winkelschenkels aus dem Winkel δ {\displaystyle \delta }

ergibt sich der Punkt C{\displaystyle C}

. Nun wird das sogenannte zusätzliche Konstruktionsmittel verwendet, im dargestellten Beispiel ist es das Geodreieck. Dieses Geometrie-Dreieck, wie es auch genannt wird, wird nun folgendermaßen auf die Zeichnung gesetzt: Der Scheitelpunkt des rechten Winkels bestimmt den Punkt S {\displaystyle S}

auf dem Winkelschenkel P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, ein Kathetus des Dreiecks durchläuft den Punkt O {\displaystyle O}

und der andere beeinflusst den Einheitskreis A {\displaystyle A}

. Nach dem Verbinden des Punktes O {\displaystyle O}

mit S {\displaystyle S}

und dem Zeichnen der Tangente von S {\displaystyle S}

zum Einheitskreis um A {\displaystyle A}

ist der oben erwähnte rechtwinklige Haken bzw. Der von den Segmenten O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

und P S {\displaystyle {\overline {PS}}}

eingeschlossene Winkel ist somit genau δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

. Es geht weiter mit der Parallele zu O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

von P {\displaystyle P}

, dem Alternativwinkel δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

und der Punkt D {\displaystyle D}

werden erzeugt. Eine weitere Parallele zu O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

von A {\displaystyle A}

bestimmt den Berührungspunkt E {\displaystyle E}

aus der Tangente mit dem Einheitskreis um A {\displaystyle A}

. Schließlich zeichne eine gerade Linie von P {\displaystyle P}

durch E {\displaystyle E}

bis sie den Einheitskreis in F {\displaystyle F}

schneidet. Somit hat der Winkel δ {\displaystyle \delta }

genau drei Teile.

Mit einer Hilfskurve

• Trisection mit der archimedischen Spirale

• Trisektion mit der Maclaurin trisectrix

Es gibt bestimmte Kurven, sogenannte Trisektrizen, die, wenn sie mit anderen Methoden in der Ebene gezeichnet werden, verwendet werden können, um beliebige Winkel zu trisektieren. Beispiele sind die Trisektrix von Colin Maclaurin, gegeben in kartesischen Koordinaten durch die implizite Gleichung

2 x (x 2 + y 2 ) = a (3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

und die archimedische Spirale. Die Spirale kann tatsächlich verwendet werden, um einen Winkel in eine beliebige Anzahl gleicher Teile zu teilen.

Mit einem markierten rulerEdit

Trisection des Winkels mit markiertem Lineal

Ein weiteres Mittel, um einen beliebigen Winkel durch einen „kleinen“ Schritt außerhalb des griechischen Rahmens zu trisektieren, ist ein Lineal mit zwei Markierungen in einem festgelegten Abstand. Die nächste Konstruktion ist ursprünglich auf Archimedes zurückzuführen, die als Neusis-Konstruktion bezeichnet wird, dh die andere Werkzeuge als eine nicht markierte Lineal verwendet. Die Diagramme, die wir verwenden, zeigen diese Konstruktion für einen spitzen Winkel, aber es funktioniert in der Tat für jeden Winkel bis zu 180 Grad.

Dies erfordert drei Fakten aus der Geometrie (rechts):

1. Jeder vollständige Satz von Winkeln auf einer geraden Linie addiert sich zu 180 °,
2. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 °, und
3. Zwei gleiche Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks treffen im selben Winkel auf die dritte.

Sei l die horizontale Linie im nebenstehenden Diagramm. Der Winkel a (links von Punkt B) ist Gegenstand des Dreischnitts. Zuerst wird ein Punkt A in einem Winkelstrahl gezeichnet, eine Einheit von B entfernt. Dann kommt die Markiertheit des Lineals ins Spiel: eine Markierung des Lineals befindet sich bei A und die andere bei B. Während das Lineal (aber nicht die Markierung) A berührt, wird das Lineal verschoben und gedreht, bis sich eine Markierung auf dem Kreis und die andere auf der Linie l befindet. Ein Radius BC wird gezeichnet, um deutlich zu machen, dass die Liniensegmente AB, BC und CD alle gleich lang sind. Nun sind die Dreiecke ABC und BCD gleichschenklig, also (durch Tatsache 3 oben) hat jeder zwei gleiche Winkel.

Hypothese: Gegeben AD ist eine gerade Linie, und AB, BC und CD haben alle die gleiche Länge,

Schlussfolgerung: Winkel b = a/3.

Beweis:

1. Aus Fakt 1) oben, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   °.

2. Betrachte das Dreieck BCD aus Fakt 2) e + 2b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
   

   °.

3. Aus den letzten beiden Gleichungen ergibt sich c = 2b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. Aus Fakt 1) oben, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
   

   °, also a + (180 {\displaystyle a+(180}

   

   ° − 4b ) + b = 180 {\displaystyle -4b)+b=180}

   

   °.

Klar, a – 3b = 0 oder a = 3b, und der Satz ist bewiesen.

Auch diese Konstruktion trat mit einem markierten Lineal aus dem Rahmen der erlaubten Konstruktionen heraus.

Mit einem stringEdit

Thomas Hutcheson veröffentlichte einen Artikel in the Mathematics Teacher, der einen String anstelle eines Kompasses und einer geraden Kante verwendete. Eine Schnur kann entweder als gerade Kante (durch Dehnen) oder als Kompass (durch Fixieren eines Punktes und Identifizieren eines anderen) verwendet werden, kann sich aber auch um einen Zylinder wickeln, den Schlüssel zu Hutchesons Lösung.Hutcheson konstruierte einen Zylinder aus dem zu schneidenden Winkel, indem er einen Bogen über den Winkel zeichnete, ihn als Kreis vervollständigte und aus diesem Kreis einen Zylinder konstruierte, auf den beispielsweise ein gleichseitiges Dreieck eingeschrieben war (ein 360-Grad-Winkel in drei Teile geteilt). Dies wurde dann mit einem einfachen Beweis ähnlicher Dreiecke auf den zu trisektierenden Winkel „abgebildet“.

Mit einem „Tomahawk“Bearbeiten

Ein Tomahawk einen Winkel trisecting. Der Griff bildet den einen Trisektorbereich und die blaue Linie den anderen.

Ein „Tomahawk“ ist eine geometrische Form, die aus einem Halbkreis und zwei orthogonalen Liniensegmenten besteht, so dass die Länge des kürzeren Segments gleich dem Kreisradius ist. Trisection wird ausgeführt, indem das Ende des kürzeren Segments des Tomahawk auf einen Strahl und der Rand des Kreises auf den anderen gelehnt wird, so dass der „Griff“ (längeres Segment) den Scheitelpunkt des Winkels kreuzt; Die Trisection-Linie verläuft zwischen dem Scheitelpunkt und der Mitte des Halbkreises.Beachten Sie, dass ein Tomahawk zwar mit Kompass und Lineal konstruierbar ist, es jedoch im Allgemeinen nicht möglich ist, einen Tomahawk in jeder gewünschten Position zu konstruieren. Somit widerspricht die obige Konstruktion nicht der Untrennbarkeit von Winkeln mit Lineal und Kompass allein.

Der Tomahawk erzeugt den gleichen geometrischen Effekt wie die Papierfaltmethode: Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Spitze des kürzeren Segments ist doppelt so groß wie der Abstand des Radius, der garantiert den Winkel berührt. Es entspricht auch der Verwendung eines Architekten-L-Lineals (Zimmermannsquadrat).

Mit miteinander verbundenen Kompassenbearbeiten

Ein Winkel kann mit einem Gerät, das im Wesentlichen eine vierzackige Version eines Kompasses ist, mit Verbindungen zwischen den Zinken trisected werden, um die drei Winkel zwischen benachbarten Zinken gleich zu halten.