Die Definition der Dehnungsrate wurde erstmals 1867 vom amerikanischen Metallurgen Jade LeCocq eingeführt, der sie als „die Geschwindigkeit, mit der Dehnung auftritt“ definierte. Es ist die zeitliche Änderungsrate der Belastung.“ In der Physik wird die Dehnungsrate allgemein als die Ableitung der Dehnung in Bezug auf die Zeit definiert. Die genaue Definition hängt davon ab, wie die Dehnung gemessen wird.

Einfache Verformungenbearbeiten

In einfachen Zusammenhängen kann eine einzige Zahl ausreichen, um die Dehnung und damit die Dehnungsrate zu beschreiben. Wenn beispielsweise ein langes und gleichmäßiges Gummiband durch Ziehen an den Enden allmählich gedehnt wird, kann die Dehnung als das Verhältnis ϵ {\displaystyle \epsilon }

zwischen dem Dehnungsbetrag und der ursprünglichen Länge des Bandes definiert werden: ϵ (t ) = L (t ) − L 0 L 0 {\displaystyle \epsilon (t)={\frac {L(t)-L_{0}}{L_{0}}}}

wobei L 0 {\displaystyle L_{0} }

ist die ursprüngliche Länge und L (t ) {\displaystyle L(t)}

seine Länge zu jedem Zeitpunkt t {\displaystyle t}

. Dann ist die Dehnungsrate ϵ ( t) = d ϵ d t = d d t ( L(t ) − L 0 L 0 ) = 1 L 0 d L (t ) d t = v (t ) L 0 {\displaystyle {\dot {\epsilon }}(t)={\frac {d\epsilon }{dt}}={\frac {d}{dt}}\links({\frac {L(t)-L_{0}}{L_{0}}}\rechts)={\ frac {1}{L_{0}}}{\frac {dL(t)}{dt}}={\frac {v(t)}{L_{0}}}}

wobei v(t ) {\displaystyle v(t)}

ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Enden voneinander entfernen. Die Dehnungsrate kann auch durch eine einzelne Zahl ausgedrückt werden, wenn das Material einer parallelen Scherung ohne Volumenänderung ausgesetzt wird; nämlich, wenn die Verformung als eine Menge von unendlich dünnen parallelen Schichten beschrieben werden kann, die gegeneinander gleiten, als wären sie starre Platten, in der gleichen Richtung, ohne ihren Abstand zu ändern. Diese Beschreibung passt zur laminaren Strömung einer Flüssigkeit zwischen zwei festen Platten, die parallel zueinander gleiten (eine Couette-Strömung) oder in einem kreisförmigen Rohr mit konstantem Querschnitt (eine Poiseuille-Strömung). In diesen Fällen kann der Zustand des Materials zu einem bestimmten Zeitpunkt t{\displaystyle t}

durch die Verschiebung X(y, t ) {\displaystyle X(y,t)}

jeder Schicht seit einem beliebigen Startzeitpunkt als Funktion ihres Abstands y {\displaystyle displaystyle y}

von der festen Wand. Dann kann die Dehnung in jeder Schicht ausgedrückt werden als die Grenze des Verhältnisses zwischen der aktuellen relativen Verschiebung X ( y + d , t ) − X ( y, t ) {\displaystyle X(y+d,t)-X(y,t)}

einer benachbarten Schicht geteilt durch den Abstand d {\displaystyle d}

zwischen den Ebenen: ϵ ( y , t ) = lim d → 0 X ( y + d , t ) − X ( y , t ) = d ∂ X ∂ y ( y , t ) {\displaystyle \epsilon (y,t)=\lim _{d\rightarrow 0}{\frac {X(y+d,t)-X(y,t)}{d}}={\frac {\partial X}{\partial y}}(y,t)}

Daher die strain rate ist

ϵ ( y , t ) = ( ∂ ∂ t ∂ X ∂ y ) ( y , t ) = ( ∂ ∂ y ∂ X ∂ t ) ( y , t ) = ∂ V ∂ y ( y , t ) {\displaystyle {\dot {\epsilon }}(y,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial X}{\partial y}}\rechts)(y,t)=\links({\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial X}{\partial t}}\rechts)(y,t)={\frac {\partial V}{\partial y}}(y,t)}

wobei V ( y, t ) {\displaystyle V(y,t)}

ist die aktuelle lineare Geschwindigkeit des Materials im Abstand y {\displaystyle y}

von der Wand.

Der Dehnungsraten-Tensor

In allgemeineren Situationen, wenn das Material in verschiedene Richtungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten verformt wird, kann die Dehnung (und damit die Dehnungsrate) um einen Punkt innerhalb eines Materials nicht durch eine einzelne Zahl oder sogar durch einen einzelnen Vektor ausgedrückt werden. In solchen Fällen muss die Verformungsrate durch einen Tensor ausgedrückt werden, eine lineare Karte zwischen Vektoren, die ausdrückt, wie sich die Relativgeschwindigkeit des Mediums ändert, wenn man sich um einen kleinen Abstand von dem Punkt in eine bestimmte Richtung bewegt. Dieser Dehnratentensor kann als zeitliche Ableitung des Dehnungstensors oder als symmetrischer Teil des Gradienten (Ableitung in Bezug auf die Position) der Geschwindigkeit des Materials definiert werden.

Mit einem gewählten Koordinatensystem kann der Dehnungsratentensor durch eine symmetrische 3 × 3-Matrix reeller Zahlen dargestellt werden. Der Dehnungsraten-Tensor variiert typischerweise mit Position und Zeit innerhalb des Materials und ist daher ein (zeitvariierendes) Tensorfeld. Es beschreibt nur die lokale Verformungsrate erster Ordnung; Aber das ist im Allgemeinen für die meisten Zwecke ausreichend, selbst wenn die Viskosität des Materials stark nichtlinear ist.

UnitsEdit

Die Dehnung ist das Verhältnis zweier Längen, also eine dimensionslose Größe (eine Zahl, die nicht von der Wahl der Maßeinheiten abhängt). Somit ist die Dehnungsrate in Einheiten der inversen Zeit (wie s−1).

Dehnungsratenprüfungbearbeiten

Materialien können mit der sogenannten epsilon dot (ε {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}}

)-Methode geprüft werden, mit der viskoelastische Parameter durch die Analyse von gebündelten Parametern abgeleitet werden können.