Een eenvoudige afleiding van het volume van bollen formule
2000 jaar voor de ontwikkeling van de calculus werkte de Griekse wiskundige Archimedes een eenvoudige formule uit voor het volume van een bol:
Van zijn vele wiskundige bijdragen, Archimedes was het meest trots op dit resultaat, zelfs zo ver gaan om te vragen dat de methode die hij gebruikt om de formule — een diagram circumscribing een bol aan de binnenkant van een cilinder samen met de verhouding 2:3— indruk te maken op zijn grafsteen.
Archimedes ‘ formule mag dan een wetenschappelijke genialiteit zijn geweest in 250 v. Chr., maar met behulp van de moderne calculus is de afleiding uiterst eenvoudig. In dit bericht zal ik een manier uitleggen om de beroemde formule af te leiden, en uitleggen hoe het kan worden gedaan in andere dimensies dan de gebruikelijke drie.
de afleiding
beschouw het onderstaande diagram. Het is een bol met straal r. het doel is om het volume te vinden, en zo doen we dat.
merk op dat een ding dat we gemakkelijk kunnen vinden is de oppervlakte van een enkele horizontale plak van de bal. Dit is de gearceerde schijf aan de bovenkant van het diagram, die op hoogte z wordt getekend. de schijf heeft een straal van x, die we nodig hebben om het gebied van de schijf te vinden. Om x te vinden, kunnen we een rechthoekige driehoek vormen met zijden z en x, en hypotenusa r. Dit is getekend in de figuur. Dan kunnen we gemakkelijk oplossen voor x.
Door de stelling van Pythagoras, we weten dat
ga oplossen voor x hebben we
Vervolgens wordt de oppervlakte van het gearceerde schijf is gewoon pi maal de straal in het kwadraat, of
nu we het gebied van één horizontale schijf hebben, willen we het gebied van alle horizontale schijven in de bal samengeteld vinden. Dat geeft ons het volume van de bol.
om dit te doen, nemen we gewoon de definitieve integraal van de formule van het schijfgebied van bovenaf voor alle mogelijke hoogtes z, die tussen-r (aan de onderkant van de bal) en r (aan de bovenkant van de bal) liggen. Dat is, ons volume wordt gegeven door
dat is de volume formule die we zochten.
dezelfde logica kan worden gebruikt om formules af te leiden voor het volume van een “bal” in 4, 5 en hogere dimensies. Zo kun je laten zien dat het volume van een eenheidsbal in één dimensie (een lijn) slechts 2 is; het volume in twee dimensies (een schijf) is
en zoals we net hebben aangetoond — het volume in drie dimensies (een bol)
verder op te vier, vijf, en uiteindelijk n afmetingen, een verrassend resultaat wordt weergegeven.
het blijkt dat het volume van een eenheidsbal pieken op vijf dimensies, en dan gaat vervolgens krimpen, uiteindelijk het naderen van nul als de dimensie n gaat naar oneindigheid.