Las soluciones para la ecuación del átomo de hidrógeno de Schrödinger son funciones que son productos de una función armónica esférica y una función radial.

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El wavefunctions para el átomo de hidrógeno depende de las tres variables r, \(\theta\), y \(\varphi \) y los tres números cuánticos n, \(l\), y \(m_l\). Las variables dan la posición del electrón con respecto al protón en coordenadas esféricas. El cuadrado absoluto de la función de onda, \ (/\psi(r, \theta , \varphi )|^2\), evaluado en \(r\), \(\theta\) y \(\varphi\) da la densidad de probabilidad de encontrar el electrón dentro de un volumen diferencial \(d \tau\), centrado en la posición especificada por r, \(\theta\) y \(\varphi\).

Los números cuánticos tienen nombres: \(n\) se llama número cuántico principal, \(l\) se llama número cuántico de momento angular, y \(m_l\) se llama número cuántico magnético porque (como veremos en la Sección 8.4) la energía en un campo magnético depende de \(m_l\). A menudo, \(l\) se denomina número cuántico azimutal porque es una consecuencia de la ecuación \(\theta\), que involucra el ángulo azimutal \(\Theta\), refiriéndose al ángulo al cenit.

Estos números cuánticos tienen valores específicos dictados por las restricciones físicas o las condiciones de contorno impuestas a la ecuación de Schrödinger: \(n\) debe ser un entero mayor que 0, \(l\) puede tener los valores 0 a n‑1, y \(m_l\) puede tener valores \(2l + 1\) que van desde \(-l\) ‑ a \(+l\) en pasos unitarios o enteros. Los valores del número cuántico \(l\) generalmente se codifican con una letra: s significa 0, p significa 1, d significa 2, f significa 3; los siguientes códigos continúan alfabéticamente (por ejemplo, g significa \(l = 4\)). Los números cuánticos especifican la cuantización de cantidades físicas. Las energías discretas de diferentes estados del átomo de hidrógeno están dadas por \(n\), la magnitud del momento angular está dada por \(l\), y un componente del momento angular (generalmente elegido por los químicos para ser el componente z) está dado por \(m_l\). El número total de orbitales con un valor particular de \(n\) es \(n^2\).

Las funciones de onda del átomo de hidrógeno, \(\psi (r, \theta , \varphi)\), se denominan orbitales atómicos. Un orbital atómico es una función que describe un electrón en un átomo. La función de onda con n = 1, \(l=1\) y \(m_l\) = 0 se denomina orbital 1s, y se dice que un electrón descrito por esta función está «en» el orbital ls, es decir, tiene un estado orbital 1s. Las restricciones sobre \(n\), \(l)\) y \(m_l\) que se imponen durante la solución del átomo de hidrógeno ecuación de Schrödinger explican por qué hay un solo orbital 1s, por qué hay tres orbitales 2p, cinco orbitales 3d, etc. Veremos cuando consideremos átomos multielectrónicos en el Capítulo 9 que estas restricciones explican las características de la Tabla Periódica. En otras palabras, la Tabla Periódica es una manifestación del modelo de Schrödinger y de las restricciones físicas impuestas para obtener las soluciones a la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno.

Visualizar la variación de una función de onda electrónica con \(r\), \(\theta\) y \(\varphi\) es importante porque el cuadrado absoluto de la función de onda representa la distribución de carga (densidad de probabilidad de electrones) en un átomo o molécula. La distribución de la carga es fundamental para la química porque está relacionada con la reactividad química. Por ejemplo, una parte deficiente de electrones de una molécula es atraída a una región rica en electrones de otra molécula, y tales interacciones juegan un papel importante en las interacciones químicas que van desde reacciones de sustitución y adición hasta plegamiento de proteínas y la interacción de sustratos con enzimas.

Visualizar funciones de onda y distribuciones de carga es un desafío porque requiere examinar el comportamiento de una función de tres variables en un espacio tridimensional. Esta visualización se hace más fácil al considerar las partes radiales y angulares por separado, pero trazar las partes radiales y angulares por separado no revela la forma de un orbital muy bien. La forma se puede revelar mejor en un gráfico de densidad de probabilidad. Para hacer un gráfico tridimensional, dividir el espacio en pequeños elementos de volumen, calcular \(\psi^* \psi \) en el centro de cada elemento de volumen y, a continuación, la sombra, el patrón o color que el elemento de volumen en proporción a la magnitud de \(\psi^* \psi \). No confunda tales parcelas con parcelas polares, que se ven similares.

Las densidades de probabilidad también se pueden representar mediante mapas de contorno, como se muestra en la Figura \(\pageIndex{1}\).

Otra técnica de representación, el modelado de realidad virtual, es muy prometedora para la representación de densidades de electrones. Imagine, por ejemplo, ser capaz de experimentar la densidad electrónica como una fuerza o resistencia en una varita que se mueve a través del espacio tridimensional. Dispositivos como estos, llamados dispositivos hápticos, ya existen y se están utilizando para representar información científica. Del mismo modo, ¿no sería interesante «volar» a través de un orbital atómico y experimentar cambios en la densidad electrónica a medida que cambia el color o cambia la nubosidad? Actualmente se están desarrollando salas especialmente diseñadas con pantallas 3D y gafas «inteligentes» que proporcionan información sobre la dirección de la mirada del espectador para permitirnos experimentar tales sensaciones.

Los métodos para examinar por separado las porciones radiales de los orbitales atómicos proporcionan información útil sobre la distribución de la densidad de carga dentro de los orbitales. Gráficos de las funciones radiales, \(R (r)\), para los orbitales 1s, 2s y 2p trazados en la Figura \(\pageIndex{2}\).

La función 1s en la figura \(\pageIndex{2}\) comienza con un alto valor positivo en el núcleo y decae exponencialmente a cero después de 5 radios Bohr. El alto valor en el núcleo puede ser sorprendente, pero como veremos más adelante, la probabilidad de encontrar un electrón en el núcleo es muy pequeña.

A continuación, observe cómo la función radial para el orbital 2s, Figura \(\pageIndex{2}\), va a cero y se vuelve negativa. Este comportamiento revela la presencia de un nodo radial en la función. Un nodo radial ocurre cuando la función radial es igual a cero que no sea at \(r = 0\) o \(r = ∞\). Los nodos y los comportamientos limitantes de las funciones orbitales atómicas son útiles para identificar qué orbital está siendo descrito por qué función de onda. Por ejemplo, todas las funciones s tienen valores de función de onda distintos de cero en \(r = 0\), pero p, d, f y todas las demás funciones van a cero en el origen. Es útil recordar que hay nodos radiales \(n-1-l\) en una función de onda, lo que significa que un orbital 1s no tiene nodos radiales, un 2s tiene un nodo radial, y así sucesivamente.

La cantidad \(R (r) ^ * R (r)\) da la densidad de probabilidad radial; es decir, la densidad de probabilidad para que el electrón esté en un punto ubicado a la distancia \(r\) del protón. Las densidades de probabilidad radial para tres tipos de orbitales atómicos se representan en la Figura (\pageIndex{3}\).

Cuando la densidad de probabilidad radial para cada valor de r se multiplica por el área de la superficie esférica representada por ese valor particular de r, obtenemos la función de distribución radial. La función de distribución radial da la densidad de probabilidad de que un electrón se encuentre en cualquier parte de la superficie de una esfera ubicada a una distancia r del protón. Puesto que el área de una superficie esférica es \(4 \pi r^2\), la función de distribución radial está dada por \(4 \pi r^2 R(r) ^* R(r)\).

Las funciones de distribución radial se muestran en la figura \(\pageIndex{4}\). En valores pequeños de r, la función de distribución radial es baja porque la pequeña área de superficie para radios pequeños modula el alto valor de la función de densidad de probabilidad radial cerca del núcleo. A medida que aumentamos \(r\), el área de superficie asociada con un valor dado de r aumenta, y el término \(r^2\) hace que la función de distribución radial aumente a pesar de que la densidad de probabilidad radial está comenzando a disminuir. En valores grandes de \(r\), el decaimiento exponencial de la función radial supera el aumento causado por el término \(r^2\) y la función de distribución radial disminuye.