Trisección de ángulo
El problema general de la trisección de ángulo se puede resolver mediante el uso de herramientas adicionales, y por lo tanto se sale del marco griego original de compás y regla recta.
Se han propuesto muchos métodos incorrectos para triseccionar el ángulo general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) involucran herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro Los Trisectores.
Aproximación por biseccioneseditar
La trisección se puede aproximar por repetición del método compás y regla recta para bisecar un ángulo. La serie geométrica 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ o 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ se puede utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación a cualquier grado de precisión en un número finito de pasos.
Usando origamiEdit
La trisección, al igual que muchas construcciones imposibles por regla y brújula, se puede lograr fácilmente mediante las operaciones de plegado de papel o origami. Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) pueden construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, mientras que la regla y la brújula solo pueden construir extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).
el Uso de un linkageEdit
Hay una serie de relaciones simples que pueden ser utilizados para hacer un instrumento para trisect ángulos, incluyendo Kempe del Trisector y Sylvester Enlace Ventilador o Isoklinostat.
Con una regla triangular derechaeditar
En 1932, Ludwig Bieberbach publicó en Journal für die reine und angewandte Mathematik su trabajo Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. En él declara (traducción libre):
» Como se sabe … cada construcción cúbica se remonta a la trisección del ángulo y a la multiplicación del cubo, es decir, a la extracción de la tercera raíz. Solo necesito mostrar cómo se pueden resolver estas dos tareas clásicas por medio del gancho de ángulo recto.»
La siguiente descripción de la construcción adyacente (animación) contiene su continuación hasta la trisección del ángulo completo.
comienza con la primera unidad círculo alrededor de su centro Un {\displaystyle Un}
, el primer ángulo de la extremidad B P {\displaystyle {\overline {PB}}}
, y la segunda unidad círculo alrededor de P {\displaystyle P}
siguiente. Ahora el diámetro B P {\displaystyle {\overline {PB}}}
P {\displaystyle P}
se extiende a la línea del círculo de este círculo unidad, el punto de intersección O {\displaystyle O}
ser creado. Siguiendo el círculo de arco alrededor de P {\displaystyle P}
con el radio B P {\displaystyle {\overline {PB}}}
y el dibujo de la segunda ángulo de la extremidad desde el ángulo δ {\displaystyle \delta }
, el punto C {\displaystyle C}
resultados. Ahora se utiliza la llamada media de construcción adicional, en el ejemplo ilustrado es el Geodreieck. Este triángulo geométrico, como también se le llama, ahora se coloca en el dibujo de la siguiente manera: El vértice del ángulo recto determina el punto S {\displaystyle S}
en la pata angular P C {\displaystyle {\overline {PC}}}
, un cateto del triángulo pasa a través del punto O {\displaystyle O}
y el otro afecta al círculo unitario A {\displaystyle A}
. Después de conectar el punto O {\displaystyle O}
S {\displaystyle S}
y el dibujo de la tangente a S {\displaystyle S}
a la unidad de círculo alrededor de Un {\displaystyle Un}
, el mencionado derecho ángulo de gancho respectivamente Rechtwinkelhaken se muestra. El ángulo subtendido por los segmentos O S {\displaystyle {\overline {OS}}}
y P S {\displaystyle {\overline {PS}}}
es así exactamente δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}
. Lo que pasa con la paralela a O S {\displaystyle {\overline {OS}}}
P {\displaystyle P}
, el ángulo alternativo δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}
y el punto D {\displaystyle D}
están siendo creados. Una mayor paralelo a O S {\displaystyle {\overline {OS}}}
a partir de Una {\displaystyle Un}
determina el punto de contacto E {\displaystyle E}
de la tangente con el círculo unitario sobre Un {\displaystyle Un}
. Por último, dibujar una línea recta desde P {\displaystyle P}
a través de E {\displaystyle E}
hasta la intersección con el círculo unidad en F {\displaystyle F}
. Por lo tanto el ángulo δ {\displaystyle \delta }
tiene exactamente tres partes.
Con un auxiliar curveEdit
-
Trisection el uso de la espiral de Arquímedes
-
Trisection el uso de la Maclaurin trisectrix
Hay ciertas curvas llamado trisectrices que, si se dibuja en el plano de la utilización de otros métodos pueden ser utilizados para trisect arbitraria ángulos. Los ejemplos incluyen la trisectrix de Colin Maclaurin, dada en coordenadas Cartesianas por la ecuación implícita
2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}
y la espiral de Arquímedes. De hecho, la espiral se puede usar para dividir un ángulo en cualquier número de partes iguales.
Con una regla marcadadit
Otro medio para triseccionar un ángulo arbitrario por un paso «pequeño» fuera del marco griego es a través de una regla con dos marcas a una distancia establecida. La siguiente construcción se debe originalmente a Arquímedes, llamada construcción Neusis, es decir, que utiliza herramientas que no son una regla recta sin marcar. Los diagramas que usamos muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero de hecho funciona para cualquier ángulo de hasta 180 grados.
Esto requiere tres hechos de la geometría (a la derecha):
- Cualquier conjunto completo de ángulos en una línea recta suma 180°,
- La suma de ángulos de cualquier triángulo es 180°, y,
- Cualquier dos lados iguales de un triángulo isósceles se reunirán con el tercero en el mismo ángulo.
Sea l la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo a (a la izquierda del punto B) es el objeto de la trisección. Primero, se dibuja un punto A en el rayo de un ángulo, una unidad aparte de B. Se dibuja un círculo de radio AB. Entonces, la marca de la regla entra en juego: una marca de la regla se coloca en A y la otra en B. Mientras mantiene la regla (pero no la marca) tocando A, la regla se desliza y gira hasta que una marca está en el círculo y la otra en la línea l. La marca en el círculo se etiqueta C y la marca en la línea se etiqueta D. Esto asegura que CD = AB. Un radio BC se dibuja para hacer obvio que los segmentos de línea AB, BC y CD tienen la misma longitud. Ahora, los triángulos ABC y BCD son isósceles, por lo tanto (por el hecho 3 anterior) cada uno tiene dos ángulos iguales.
Hipótesis: Dado AD es una línea recta, y AB, BC y CD tienen la misma longitud,
Conclusión: ángulo b = a / 3.
la Prueba:
- De Hecho 1), e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
°.
- Mirando el triángulo DCB, del hecho 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
°.
- De las dos últimas ecuaciones, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
.
- From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
°, thus d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 2 c {\displaystyle -2c}
, so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 4 b {\displaystyle -4b}
.
- De Hecho 1) anterior, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
°, por lo que a + ( 180 {\displaystyle a+(180}
° − 4 b ) + b = 180 {\displaystyle -4b)+b=180}
°.
Clearing, a – 3b = 0, o a = 3b, y se prueba el teorema.
De nuevo, esta construcción se salió del marco de las construcciones permitidas mediante el uso de una regla recta marcada.
Con una corderaeditar
Thomas Hutcheson publicó un artículo en the Mathematics Teacher que usaba una cuerda en lugar de una brújula y un borde recto. Una cuerda se puede usar como un borde recto (estirándolo) o una brújula (fijando un punto e identificando otro), pero también se puede envolver alrededor de un cilindro, la clave de la solución de Hutcheson.
Hutcheson construyó un cilindro a partir del ángulo para ser triseccionado dibujando un arco a través del ángulo, completándolo como un círculo, y construyendo a partir de ese círculo un cilindro en el que, digamos, estaba inscrito un triángulo equilátero (un ángulo de 360 grados dividido en tres). Esto fue entonces «mapeado» en el ángulo a ser triseccionado, con una simple prueba de triángulos similares.
Con un «tomahawk»Editar
Un «tomahawk» es una forma geométrica que consiste en un semicírculo y dos segmentos de línea ortogonales, de modo que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se ejecuta inclinando el extremo del segmento más corto del tomahawk en un rayo, el borde del círculo en el otro, de modo que el «mango» (segmento más largo) cruza el vértice del ángulo; la línea de trisección corre entre el vértice y el centro del semicírculo.
Tenga en cuenta que, si bien un hacha de guerra es construible con compás y regla recta, generalmente no es posible construir un hacha de guerra en cualquier posición deseada. Por lo tanto, la construcción anterior no contradice la no disectibilidad de los ángulos con regla y brújula por sí solos.
El tomahawk produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado de papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, que garantiza que entre en contacto con el ángulo. También es equivalente al uso de una Regla en L de arquitectos (Plaza de Carpintero).
Con compases interconectadaseditar
Un ángulo se puede triseccionar con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro puntas de una brújula, con enlaces entre las puntas diseñados para mantener iguales los tres ángulos entre las puntas adyacentes.