kulmatrisektion yleinen ongelma on ratkaistavissa lisätyökaluilla ja menee siten alkuperäisen kreikkalaisen kompassin ja straightedgen kehyksen ulkopuolelle.

on ehdotettu monia virheellisiä menetelmiä yleisen kulman trisektioksi. Jotkut näistä menetelmistä tarjoavat kohtuullisen likiarvot; toiset (joista jotkut on mainittu alla) liittyy työkaluja ei sallita klassisen ongelma. Matemaatikko Underwood Dudley on eritellyt joitakin näistä epäonnistuneista yrityksistä kirjassaan The Trisectors.

approksimaatio peräkkäisillä bisektioilla

Trisektio voidaan approksimoida toistamalla kompassi-ja straightedge-menetelmä kulman bisektioksi. Geometrinen sarja 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ tai 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ voidaan käyttää perustana bisections. Approksimaatio mihin tahansa tarkkuusasteeseen voidaan saada äärellisellä määrällä vaiheita.

käyttäen origamieditiä

trisektio, kuten monet viivoittimella ja kompassilla mahdottomat konstruktiot, voidaan helposti toteuttaa paperin taittelun eli origamin avulla. Huzitan aksioomat (taittotoimintojen tyypit) voivat konstruoida annettujen pituuksien kuutiollisia laajennuksia (kuutiojuuret), kun taas hallitsija-ja kompassi voivat konstruoida vain nelikulmaisia laajennuksia (neliöjuuret).

linkitysmedit

on olemassa useita yksinkertaisia linkkituulettimia, joiden avulla voidaan tehdä instrumentti trisect-kulmien mukaan lukien Kempen trisector ja Sylvesterin link-fani eli isoklinostaatti.

oikeanpuoleisella kolmiosaisella säännöllä

vuonna 1932 Ludwig bieberbach julkaisi Journal für die reine und Angewandte Mathematik-lehdessä teoksensa zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Hän toteaa siinä (vapaa käännös):

”kuten tiedetään … jokainen kuutiollinen konstruktio voidaan jäljittää kulman trisektioon ja kuution kertolaskuun eli kolmannen juuren uuttamiseen. Minun tarvitsee vain näyttää, miten nämä kaksi klassista tehtävää voidaan ratkaista avulla oikea kulma koukku.”

seuraava kuvaus viereisestä konstruktiosta (animaatio) sisältää niiden jatkumisen täydelliseen kulmatrisektioon saakka.

se alkaa ensimmäisen yksikköympyrän keskipisteestä A {\displaystyle A}

, ensimmäisen kulman raaja B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

, ja toinen yksikkö kiertää P {\displaystyle p}

sen perässä. Nyt halkaisija B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

p {\displaystyle P}

laajennetaan tämän yksikköympyrän ympyräjonoon, leikkauspisteeseen O {\displaystyle o}

luodaan. P {\displaystyle p}

säde B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

ja toisen kulman raajan piirros kulmasta δ {\displaystyle \Delta }

, pisteen C {\displaystyle C}

tulokset. Nyt käytetään niin sanottua lisärakentamisen keskiarvoa, kuvitetussa esimerkissä se on Geodreieck. Tämä geometriakolmio, kuten sitä myös kutsutaan, on nyt sijoitettu piirrokseen seuraavasti: suoran kulman kärkipiste määrittää pisteen s {\displaystyle S}

kulmalohkolla p c {\displaystyle {\overline {PC}}}

, kolmion katetus kulkee pisteen O {\displaystyle O}

ja toinen vaikuttaa yksikköympyrään A {\displaystyle A}

. Yhdistettyään pisteen O {\displaystyle o}

s {\displaystyle S}

ja piirrettyään tangentin s {\displaystyle S}

yksikköympyrälle {\displaystyle a}

, esitetään edellä mainittu suora kulmakoukku vastaavasti rechtwinkelhaken. Segmenttien o s {\displaystyle {\overline {OS}}}

ja P s {\displaystyle {\overline {PS}}}

on siis täsmälleen δ 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

. O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

from A {\displaystyle a}

määrittää kosketuspisteen E {\displaystyle E}

tangentista, jonka yksikköympyrä on noin A {\displaystyle A}

. Lopuksi piirretään suora P {\displaystyle p}

kautta E {\displaystyle E}

kunnes se leikkaa yksikköympyrän F {\displaystyle F}

. Siten kulma δ {\displaystyle \delta }

on tasan kolme osaa.

apukurveedillä

• Trisektio Arkhimedeen spiraalin avulla

• trisektio käyttäen Maclaurin trisektrix

on olemassa tiettyjä käyriä, joita kutsutaan Trisektriiksi ja jotka, jos ne piirretään tasoon muita menetelmiä käyttäen, voidaan trisektoida mielivaltaisia kulmia. Esimerkkejä ovat Colin Maclaurinin trisektrix, joka esitetään Karteesisissa koordinaateissa implisiittisellä yhtälöllä

2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

ja Arkhimedeen spiraali. Spiraalia voidaan itse asiassa käyttää kulman jakamiseen mihin tahansa yhtä suureen osaan.

merkityllä rulerEdit

toinen keino trisektoida mielivaltainen kulma ”pienellä” askeleella Kreikan viitekehyksen ulkopuolella on Via hallitsija, jossa on kaksi merkkiä asetettu etäisyys toisistaan. Seuraava konstruktio johtuu alun perin Arkhimedeestä, jota kutsutaan Neusis-konstruktioksi, eli joka käyttää muita työkaluja kuin merkitsemätöntä suoristusta. Käyttämämme kaaviot osoittavat tämän rakenteen terävälle kulmalle, mutta se todellakin toimii mille tahansa 180 asteen kulmalle.

Tämä edellyttää geometrialta (oikealla) kolmea faktaa:

1. mikä tahansa täysi kulmajoukko suoralla lisätään 180°: seen,
2. minkä tahansa kolmion kulmien summa on 180°, ja
3. mikä tahansa tasakylkisen kolmion kaksi yhtä suurta sivua kohtaavat kolmannen samassa kulmassa.

olkoon l viereisen kaavion vaakaviiva. Kulma A (vasen Kohta B) on aihe trisection. Ensin piirretään piste A kulman säteeseen, yksi yksikkö B: n lisäksi. piirretään ympyrä, jonka säde on AB. Sitten hallitsijan merkillepantavuus tulee kuvaan: yksi viivaimen merkki on sijoitettu A: han ja toinen B: hen. kun viivoitinta (mutta ei merkkiä) pidetään koskettamassa A: ta, viivoitinta liu ’ utetaan ja kierretään, kunnes yksi merkki on ympyrässä ja toinen viivalla l.ympyrän merkki merkitään C: ksi ja viivalla oleva merkki merkitään D: ksi. näin varmistetaan, että CD = AB. A säde BC piirretään, jotta on selvää, että line segmenttien AB, BC, ja CD kaikki ovat yhtä pitkiä. Nyt kolmiot ABC ja BCD ovat isosceles, joten (itse asiassa 3 edellä) jokaisella on kaksi yhtä kulmat.

hypoteesi: Koska AD on suora, ja AB, BC ja CD ovat kaikki yhtä pitkiä,

johtopäätös: kulma b = A / 3.

Proof:

1. faktasta 1) edellä, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   °.

2. tarkastellaan kolmiota BCD, faktasta 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2B=180}
   

   °.

3. kahdesta viimeisestä yhtälöstä C = 2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. faktasta 1) edellä A + d + b = 180 {\displaystyle A+d+b=180}
   

   °, siis a + ( 180 {\displaystyle A+(180}

   

   ° − 4 b ) + b = 180 {\displaystyle-4b)+B=180}

   

   °.

Clearing, a − 3b = 0 eli A = 3b, ja lause on todistettu.

jälleen tämä konstruktio astui sallittujen konstruktioiden puitteiden ulkopuolelle käyttämällä merkittyä suoraa.

stringEdit

Thomas Hutcheson julkaisi matematiikan opettajassa artikkelin, jossa käytettiin merkkijonoa kompassin ja suorareunan sijaan. Narua voidaan käyttää joko suorana reunana (venyttämällä sitä) tai kompassina (kiinnittämällä yksi piste ja tunnistamalla toinen), mutta se voi myös kietoutua sylinterin ympärille, joka on avain Hutchesonin ratkaisuun.

Hutcheson rakensi lieriön trisected-kulmasta piirtämällä kulman yli kaaren, täydentämällä sen ympyränä ja rakentamalla kyseisestä ympyrästä sylinterin, johon oli kirjoitettu vaikkapa tasasivuinen kolmio (360 asteen kulma jaettuna kolmella). Tämä oli sitten ”kartoitettu” päälle kulma on trisected, jossa on yksinkertainen todiste samanlaisia kolmioita.

”tomahawk”Edit

”tomahawk” on geometrinen muoto, joka koostuu puoliympyrästä ja kahdesta ortogonaalisesta janasta siten, että lyhyemmän janan pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Trisektio toteutetaan kallistamalla Tomahawkin lyhyemmän janan päätä toiselle säteelle, ympyrän reunaa toiselle siten, että” kahva ” (pidempi Jana) ylittää kulman kärkipisteen; trisektioviiva kulkee kärkipisteen ja puoliympyrän keskipisteen välillä.

huomaa, että vaikka tomahawk on konstruoitavissa kompassilla ja suoralla, Tomahawkia ei yleensä ole mahdollista konstruoida missään halutussa asennossa. Näin ollen yllä oleva konstruktio ei ole ristiriidassa kulmien estävyyden kanssa pelkällä viivoittimella ja kompassilla.

tomahawk tuottaa saman geometrisen efektin kuin paperi-taitto-menetelmä: ympyrän keskipisteen ja lyhyemmän janan kärjen välinen etäisyys on kaksi kertaa säteenväli, mikä takaa yhteyden kulmaan. Se vastaa myös arkkitehtien L-viivoittimen (puusepän aukio) käyttöä.

toisiinsa yhdistetyillä kompasseilla

kulma voidaan trisectoida laitteella, joka on pohjimmiltaan kompassin nelihaarainen versio, jossa pihtien väliset sidokset on suunniteltu pitämään vierekkäisten pihtien väliset kolme kulmaa yhtä suurina.