lineaariyhtälöiden järjestelmä voidaan ratkaista pelkistämällä sen lisätty matriisi pelkistettyyn echelon-muotoon.

matriisi voidaan muuttaa pelkistettyyn rivikaikumuotoonsa tai rivi pelkistetty sen pelkistettyyn rivikaikumuotoon alkeisrivioperaatioiden avulla. Nämä ovat:

1. vaihtavat matriisin yhden rivin toiseen matriisiin.
2. kerrotaan matriisin yksi rivi ei-Zero-skalaarivakiolla.
3. korvaa yksi rivi yhdellä rivillä plus vakio kertaa toinen rivi matriisia.

esimerkiksi seuraavalla lineaarisella systeemillä, jolla on vastaava lisätty matriisi:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve tämä järjestelmä, matriisi on alennettava pelkistettyyn echelon-muotoon.

Vaihe 1: Vaihda rivi 1 ja rivi 3. Kaikki johtavat nollat ovat nyt alle ei-nolla johtavat merkinnät.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Aseta rivi 2 riville 2 plus (-1) kertaa rivi 1. Toisin sanoen, vähennä rivi 1 rivistä 2. Tämä poistaa rivin 2 ensimmäisen merkinnän.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Vaihe 4: Aseta rivi 3 riville 3 plus (-1) kertaa rivi 2. Toisin sanoen, vähennä rivi 2 rivistä 3. Tämä poistaa rivin 3 toisen merkinnän.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: kerrotaan jokainen rivi sen ensimmäisen ei-nolla-arvon vastavuoroisella arvolla. Tämä tekee jokainen rivi alkaa 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is nyt rivillä echelon muodossa: kaikki nonzero rivit ovat minkä tahansa rivin yläpuolella kaikki nollia (ei ole nolla riviä), jokainen johtava merkintä rivin on sarakkeessa oikealle johtavan merkinnän rivin sen yläpuolella ja kaikki merkinnät sarakkeessa alla johtava merkintä ovat nollia.

kuten voidaan ja tullaan myöhemmin osoittamaan, tästä muodosta voidaan todeta, että järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua. Näiden ratkaisujen saamiseksi matriisi pelkistetään edelleen pelkistettyyn echelon-muotoon.

Vaihe 6: Aseta rivi 2 riville 2 plus (-1) kertaa rivi 3 ja rivi 1 riville 1 plus (-2) kertaa rivi 3. Tämä poistaa rivin 3 johtavan merkinnän yläpuolella olevat merkinnät.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Aseta rivi 1 riviksi 1 plus 3 kertaa rivi 2. Tämä poistaa rivin 2 johtavan merkinnän yläpuolella olevan merkinnän.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a pelkistetty echelon muodossa, koska johtava merkintä kunkin nonzero rivi on 1 ja jokainen johtava 1 on ainoa nonzero merkintä sen sarakkeessa.

tästä voidaan lukea systeemin ratkaisu:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}