r(u) = r ( 0)-ρ Ln ⁡ (U) {\displaystyle {\mathcal {r}} (u)=r(0) − \Rho\Ln(u)}

for

t = n β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ n β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {i}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

alkuehdoilla

( S ( 1 ) , I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , n − r ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u t < U < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {s}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Edellä olevasta R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

, seuraa , että u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{t}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\Rho }(=s_{\infty }/S(0)}

, jos S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

and I ∞ = 0 {\displaystyle i_{\infty }=0}

.

Millerin tuottaman

S (t) = S ( 0) E-π ( t ) I ( t) = N − S ( t) − R ( T) R ( T) = R ( 0) + ρ ( T) π ( T) = β n ∫ 0 t i ( t∗) d T ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}s ( t)&=s(0) e^{−\xi(t)}\\i (t)&=N-S(T)-R(T)\\R(t)&=R(0)+\Rho \XI(t)\\\XI (t)&={\frac {\beta }{n}}\int _{0}^{t}i (t^{*})\, DT^{*}\end{aligned}}}

tässä π ( T) {\displaystyle\XI (t)}

voidaan tulkita yksilön vastaanottamien lähetysten odotetuksi määräksi ajan T {\displaystyle T}

. Nämä kaksi ratkaisua liittyvät toisiinsa kaavalla E-δ (t)=u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

käytännössä sama tulos löytyy Kermackin ja Mckendrickin alkuperäisteoksesta.

nämä ratkaisut voidaan helposti ymmärtää huomioimalla, että kaikki alkuperäisten differentiaaliyhtälöiden oikeanpuoleiset termit ovat verrannollisia I {\displaystyle i}

. Yhtälöt voidaan siis jakaa I {\displaystyle I}

, ja aika uudelleen siten , että vasemmalla puolella olevasta differentiaalioperaattorista tulee yksinkertaisesti D / D τ {\displaystyle d/d\tau }

, jossa d τ = I d T {\displaystyle d\tau =IDT}

, ts .τ = ∫ I d T {\displaystyle \Tau =\int IDT}

. Differentiaaliyhtälöt ovat nyt kaikki lineaarisia ja kolmas yhtälö muotoa d R/d τ = {\displaystyle dR/D\tau =}

const., osoittaa, että τ {\displaystyle \tau }

ja R {\displaystyle R}

(ja π {\displaystyle \xi }

edellä) liittyvät yksinkertaisesti lineaarisesti toisiinsa.

Sir-mallin erittäin tarkan analyyttisen approksimantin toimittivat Kröger ja Schlickeiser, joten ei tarvitse suorittaa numeerista integraatiota SIR-mallin ratkaisemiseksi, sen parametrien saamiseksi olemassa olevasta datasta tai SIR-mallin mallittaman epidemian tulevan dynamiikan ennustamiseksi. Approksimanttiin kuuluu Lambert W-funktio, joka on osa kaikkia perusdatan visualisointiohjelmistoja, kuten Microsoft Excel, MATLAB ja Mathematica.

Sir-malli , jossa on vitaalidynamiikka ja jatkuva väestömäärä

pitää populaatiota, jolle on ominaista kuolleisuus μ {\displaystyle \mu }

ja syntyvyys Λ {\displaystyle \Lambda }

, ja jos tartuntatauti leviää. Massatoimisella vaihteistolla varustettu malli on: d S d T = Λ − μ S − β I S n D I d t = β I S n − γ I − μ I D R D T = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{n}}\\{\frac {dI}{DT}}&={\frac {\beta IS}{n}}-\Gamma i-\mu I\\{\frac {Dr}{DT}}&=\Gamma i-\mu R\end{aligned}}}

jossa taudista vapaa tasapaino (DFE) on:

( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = ( Λ μ , 0 , 0 ) . {\displaystyle \left (S (t),I(t), R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\Mu}}, 0, 0\right).}

tällöin voidaan johtaa perusluku:

R 0 = β μ + γ, {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma}},}

jolla on kynnysominaisuuksia. Itse asiassa riippumatta biologisesti merkityksellisiä alkuarvoja, voidaan osoittaa, että:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim T → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( T ) ) = DFE = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(T)))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\Mu }},0,0\right)}

R 0 > 1 , I ( 0) > 0 ⇒ Lim T → ∞ ( S ( t), i ( t), r ( t)) = ee = ( γ + μ β , μ β ( r 0 − 1), γ β ( r 0 − 1)). {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(T))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\Left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}

pistettä EE kutsutaan Endeemiseksi Tasapainotilaksi (tauti ei ole täysin hävitetty ja pysyy populaatiossa). Heuristisilla argumenteilla voidaan osoittaa, että R 0 {\displaystyle R_{0}}

voidaan lukea yhden tarttuvan koehenkilön aiheuttamien infektioiden keskimääräiseksi lukumääräksi täysin alttiissa populaatiossa, edellä mainittu suhde biologisesti tarkoittaa, että jos tämä luku on pienempi tai yhtä suuri kuin yksi tauti kuolee sukupuuttoon, kun taas Jos tämä luku on suurempi kuin yksi, tauti jää pysyvästi endeemiseksi populaatiossa.

The SIR modelEdit

Diagram of the SIR model with initial values S ( 0 ) = 997 , I ( 0 ) = 3 , R ( 0 ) = 0 {\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}

, and rates for infection β = 0.4 {\textstyle \beta =0.4}

and for recovery γ = 0.04 {\textstyle \gamma =0.04}

Sir-mallin animaatio alkuarvoilla S ( 0 ) = 997 , I ( 0 ) = 3 , R ( 0 ) = 0 {\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}

ja saantonopeus γ = 0 , 04 {\textstyle \Gamma =0, 04}

. Animaatio näyttää, miten infektion määrä vähenee β = 0, 5 {\textstyle \beta = 0, 5}

β = 0, 12 {\textstyle \beta =0, 12}

. Jos lääkettä tai rokotusta ei ole saatavilla, on mahdollista vähentää tartuntojen määrää (jota usein kutsutaan ”käyrän madaltamiseksi”) vain asianmukaisilla toimenpiteillä, kuten sosiaalisella etääntymisellä.

vuonna 1927 W. O. Kermack ja A. G. McKendrick loivat mallin, jossa he pitivät kiinteää populaatiota, jossa oli vain kolme lokeroa: herkkä, S ( t ) {\displaystyle S(t)}

; tartunnan saanut, I (t) {\displaystyle I(t)}

; ja toipunut, R ( t) {\displaystyle R(t)}

. Tässä mallissa käytetyt lokerot koostuvat kolmesta luokasta:

• S(t ) {\displaystyle S(t)}
  

  käytetään edustamaan henkilöitä, jotka eivät vielä sairastuneet tautiin ajankohtana t, tai niitä, jotka ovat alttiita väestön taudille.

• i ( T ) {\displaystyle I(t)}
  

  tarkoittaa niitä populaation yksilöitä, jotka ovat sairastuneet tautiin ja kykenevät levittämään taudin taudille alttiiseen luokkaan kuuluviin.

• R ( t ) {\displaystyle R(t)}
  

  on lokero, jota käytetään populaation yksilöille, jotka ovat saaneet tartunnan ja sitten poistuneet taudista joko rokotuksen tai kuoleman vuoksi. Tähän luokkaan kuuluvat eivät voi saada tartuntaa uudelleen tai levittää tartuntaa muihin.

tämän mallin virtausta voidaan pitää seuraavasti:

S → I → R {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {s}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}

pitäisi pysyä vakiona simulaatiossa, jos sir-mallin ratkaisemiseen käytetään simulaatiota. Vaihtoehtoisesti analyyttistä approksimanttia voidaan käyttää suorittamatta simulaatiota. Malli aloitetaan arvoilla S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( T = 0 ) {\displaystyle I(T=0)}

ja R ( T = 0 ) {\displaystyle R(T=0)}

. Nämä ovat ihmisten määrä alttiissa, tartunnan saaneiden ja poistettujen luokkiin kerralla on nolla. Jos SIR-mallin oletetaan kestävän koko ajan, nämä lähtöolosuhteet eivät ole riippumattomia. Tämän jälkeen virtausmalli päivittää jokaisen aikapisteen kolme muuttujaa, joiden arvot ovat β {\displaystyle \beta }

ja γ {\displaystyle \gamma }

. Simulaatio päivittää ensin tartunnan saaneen tartunnalle alttiista ja sitten poistettu Luokka päivitetään tartunnan saaneesta luokasta seuraavaan aikapisteeseen (t=1). Tämä kuvaa kolmen kategorian välisiä virtahenkilöitä. Epidemian aikana herkkä luokka ei siirry tällä mallilla, β {\displaystyle \beta }

muuttuu epidemian aikana, samoin γ {\displaystyle \gamma }

. Nämä muuttujat määrittävät epidemian pituuden, ja niitä olisi päivitettävä jokaisen jakson aikana. d S d T = − β S I n {\displaystyle {\frac {DS}{DT}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}

d I d t = β S I n − γ I {\displaystyle {\frac {dI}{DT}}={\frac {\beta si}{n}}-\Gamma I}

D R D T = γ i {\displaystyle {\frac {Dr}{DT}}=\Gamma i}

näiden yhtälöiden muotoilussa tehtiin useita oletuksia: Ensinnäkin populaation yksilöllä on katsottava olevan yhtä suuri todennäköisyys kuin kaikilla muillakin yksilöillä sairastua tautiin, jonka yleisyys on a {\displaystyle A}

ja yhtä suuri B {\displaystyle b}

kanssa aikayksikköä kohti. Olkoon sitten β {\displaystyle \beta }

A {\displaystyle a}

ja b {\displaystyle b}

. Tämä on lähetyksen todennäköisyys kertaa kosketusnopeus. Lisäksi tartunnan saanut henkilö joutuu kosketuksiin B {\displaystyle b}

henkilöt aikayksikköä kohti, kun taas vain murto-osa, S N {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

niistä ovat alttiita.Näin ollen meillä on jokainen infektoiva voi infektoida B S = β s {\displaystyle abS=\beta s}

alttiit henkilöt, ja siksi infektoivien infektoivien potilaiden koko lukumäärä aikayksikköä kohti on β S I {\displaystyle \beta SI}

. Toisen ja kolmannen yhtälön osalta pidetään alttiista luokasta lähtevää populaatiota yhtä suurena kuin tartunnan saaneeseen luokkaan saapuvaa joukkoa. Kuitenkin luku, joka on yhtä suuri kuin fraktio γ {\displaystyle \gamma }

(joka edustaa keskimääräistä saantoa/kuolleisuutta, tai 1 / γ {\displaystyle 1/\gamma }

keskimääräinen infektiivinen jakso), infektoivista potilaista poistuu tästä ryhmästä per yksikön aika siirtyä poistettuun luokkaan. Näitä samanaikaisesti tapahtuvia prosesseja kutsutaan Joukkotoiminnan laiksi, joka on yleisesti hyväksytty ajatus siitä, että kahden ryhmän välinen kontaktinopeus populaatiossa on verrannollinen kunkin ryhmän kokoon. Lopuksi oletetaan, että tartuntojen määrä ja toipuminen on paljon nopeampaa kuin syntyneiden ja kuolleiden määrä, ja siksi nämä tekijät jätetään huomiotta tässä mallissa.

vakaan tilan solutionsEdit

herkkyyden odotettu kesto on e ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }

missä T L {\displaystyle T_{l}}

heijastaa elinaikaa (elinajanodote) ja T s {\displaystyle T_{s}}

heijastaa aikaa alttiissa tilassa ennen tartunnan saamista, mikä voidaan yksinkertaistaa: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x D x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\Mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

siten, että alttiiden henkilöiden lukumäärä on alttiiseen osastoon saapuva luku μ n {\displaystyle \MU n}

kertaa herkkyyden keston: S = μ n μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

vastaavasti vakiotilassa tartunnan saaneiden määrä on tartunnalle alttiista tilasta saapuva määrä (alttiiden määrä, tartuntojen määrä λ = β I N, {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}

kertaa tarttuvuuden keston 1 μ + V {\displaystyle {\tfrac {1}{\mU +V}}}

: i = μ n μ + λ 1 μ + v . {\displaystyle I={\frac {\mu n} {\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu + v}}.}

muut lokeromallit edit

SIR-malliin on tehty monia muutoksia, mukaan lukien syntymät ja kuolemat, jos toipumisen jälkeen immuniteettia ei ole (SIS-malli), jos immuniteetti kestää vain lyhyen ajan (SIRS), jos sairaudessa on piilevä ajanjakso, jolloin henkilö ei ole tarttuva (SEIS ja SEIR), ja jos imeväisillä voi syntyä immuniteetti (MSIR).