Biography

Paul Cohenin vanhemmat Abraham ja Minnie Cohen olivat juutalaisia siirtolaisia Yhdysvaltoihin synnyinmaastaan Puolasta. Abraham Cohen oli pohjimmiltaan odd job mies, kääntämällä kätensä erilaisia työpaikkoja, kun taas hänen vaimonsa toi joitakin kaivattua rahaa perheen ompelu. Paul oli nuorin hänen vanhempiensa neljä lasta ja hän oli tuonut esille Brooklyn, New York. Hän oli tuonut esille hänen äitinsä iästä alkaen yhdeksän, koska tuolloin hänen vanhempansa erotettu. Matematiikasta lapsesta asti kiinnostunut hän alkoi jo nuorena opiskella edistynyttä matematiikkaa. Hän : –

… oli vain yhdeksän vuotta vanha, kun hänen sisarensa Sylvia tarkistettu kirja noin calculus, New Yorkin kirjasto hänelle. Kirjastonhoitajat olivat haluttomia antamaan hänelle kirjan, saati hänen nuorempi veljensä, väittäen, että jopa jotkut college professorit eivät ymmärrä calculus.

koko teini-ikänsä häntä pidettiin matemaattisena ihmelapsena, joka hämmästytti kaikkialla ympärillään niitä kykyjä, joita hän osoitti matematiikkakilpailuissa. Hän osallistui Stuyvesant High School New Yorkissa, valmistuen vuonna 1950 nuorena kuusitoista vuotta. Tämä koulu, jolla on korkea maine matematiikan ja luonnontieteiden, hyväksyi vain parhaat opiskelijat otettuaan pääsykoe. Valmistuttuaan Stuyvesant High School, Cohen oli opiskelija Brooklyn College 1950 vuoteen 1953, mutta vasemmalle ilman, että tutkinto on otettu opinnot yliopistossa Chicagossa tehtyään vierailun keskustella hänen tutkimusvaihtoehtoja Chicagossa. Hän opiskeli hänen master ’ s degree at Chicago, ottaen kursseja sovi hänen tavoitteenaan tuolloin, joka oli toteuttaa tutkimuksen lukuteoria. Hänen tietämyksensä lukuteoria ennen saapumistaan Chicago oli useita klassisia tekstejä, että hän oli lukenut omasta ollessaan College. Sovi tähän tavoitteeseen hän alkoi työskennellä lukuteoria valvoo André Weil. Hän sai hänen Master ’ s degree vuonna 1954, mutta hän tuli olemaan enemmän kiinnostunut siitä, että tietyt tulokset lukuteoria olivat undecidable kuin lukuteoria itse, Lukuteoria kuitenkin pysyi aihe kiinnostaa häntä koko hänen uransa :-

hän teki tapana kysyä tiedekunnan ja stipendiaatti opiskelijat, mitä tärkeimmät ongelmat olivat niiden aloilla, koska ne olivat ainoat ongelmat hän halusi ratkaista.

jatkaen opiskelua Chicagossa tohtoriksi Antoni Zygmundin valvonnassa hän väitteli tohtoriksi vuonna 1958 trigonometristen sarjojen ainutlaatuisuuden teorian aiheista. Väitöskirjassaan Cohen toteaa, että hän: –

… haluaa ilmaista syvimmän kiitollisuutensa professori A Zygmund hänen jatkuvaa tukea ja kannustusta valmistelun aikana tämän väitöskirja.

hän aloittaa johdannon asettamalla opinnäytetyön aiheen kontekstiin :-

trigonometristen sarjojen ainutlaatuisuuden teoriaa voidaan pitää arsingina siitä, missä mielessä Funktion Fourier ’ n sarjaa voidaan pitää funktion oikeutettuna laajennuksena äärettömässä trigonometrisessa sarjassa. Tiedämme tietenkin, että jos sarja converges boundedly funktio, niin itse asiassa kertoimet, sarja on annettava, Euler-Fourier kaavoja. Tällaisen ehdon puuttuessa voimme kuitenkin kysyä itseltämme, voivatko kaksi trigonometristä sarjaa konvergoida samaan funktioon kaikkialla. Vastaus tähän kysymykseen on kielteinen ja oli lähinnä osoittautunut niin Riemannin, todiste on täydennetty Cantor. Se on korvaaminen ehto lähentymisen kaikkialla kanssa lähentymisen lähes kaikkialla, että teoria sarjojen ainutlaatuisuus on huolissaan.

Vuodet tutkijana olivat hyviä Cohenille ja hän solmi monia ystävyyssuhteita opiskelutovereidensa kanssa, ystävyyssuhteita, jotka kestäisivät koko hänen elämänsä ajan. John Thompson oli yksi tällainen fellow research student at Chicago. Näiden ystävyyssuhteiden kautta Cohen oli alkanut kiinnostua myös logiikasta: –

jatko-opiskelijana Cohenin yhteys logiikkaan olivat hänen ystävyyssuhteensa vilkkaaseen opiskelijaryhmään, josta tuli loogikkoja; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan ja Stanley Tennenbaum. Jonkin aikaa hän asui Tennenbaum ’ s house ja imeytyy logiikan osmosis, sillä ei ollut kursseja logiikan Chicagon matematiikan osasto.

vuonna 1957, ennen tohtorin tutkintoaan, Cohen nimitettiin Rochesterin yliopiston matematiikan opettajaksi vuodeksi. Hän vietti lukuvuonna 1958-59, Massachusetts Institute of Technology ennen menojen 1959-61 kuin fellow, Institute for Advanced Study Princetonin. Nämä olivat vuosia, jolloin Cohen teki useita merkittäviä matemaattisia läpimurtoja. Vuonna Factorization ryhmässä algebras (1959) hän osoitti, että kaikki integrable funktio paikallisesti kompakti ryhmä on konvoluutio kaksi tällaista tehtävää, ratkaista ongelma, jonka Walter Rudin. Vuonna On arveluihin, Littlewood ja idempotent toimenpiteet (1960) Cohen teki merkittävän läpimurron ratkaista Littlewood arveluihin. Hän oli aiemmin kirjoittanut Harold Davenportille kertoen tästä tuloksesta ja Davenport vastasi: –

… Paavali sanoi, että jos Paavalin todisteet pitivät, hän olisi parantanut sukupolvea brittiläisiä analyytikkoja, jotka olivat työskennelleet kovasti tämän ongelman parissa. Paulin todistus ei pitänyt; itse asiassa Davenport oli ensimmäinen, joka paransi Paulin tulosta.

vuonna 1961 Cohen nimitettiin Stanfordin yliopiston tiedekuntaan matematiikan apulaisprofessoriksi. Hänet ylennettiin apulaisprofessorina matematiikan seuraavana vuonna, ja myös vuonna 1962, sai Alfred P Sloan research fellowship. Elokuussa 1962 Cohen osallistui kansainväliseen matemaatikkojen kongressiin Tukholmassa. Hän oli kutsuttu puhuja antaa osoite Idempotent toimenpiteet ja homomorphisms ryhmän algebras. Kongressia seuranneella risteilyllä Tukholmasta Leningradiin Cohen tapasi Ruotsin Malungista kotoisin olevan Christina Karlsin. He avioituivat 10 päivänä lokakuuta 1963 ja oli kolme poikaa, kaksoset Eric ja Steven, ja Charles.
hänet ylennettiin täysi professori Stanfordin yliopistossa vuonna 1964 ottaa, tällä kertaa ratkaista yksi haastavimmista avoimia ongelmia matematiikassa. Cohen käytti ”pakottamiseksi” kutsuttua tekniikkaa todistaakseen valinnanvapauden aksiooman ja yleisen kontinuumihypoteesin riippumattomuuden joukko-opissa. Angus MacIntyre kirjoittaa :-

kontinuumihypoteesin teoksessa dramaattinen piirre on se, että Cohen oli logiikassa itseoppinut ulkopuolinen. Hänen työstään joukko-oppi ja p-adic aloilla on hyvin ominaista tyyli, kombinatorisista ja melko vapaa yleinen teoria.

In Cohen selittää, miten hän tuli ajatukseen pakottaa lukemalla Kurt Gödelin the Consistency of the Continuum Hypothesis, kirja, joka koostuu muistiinpanoja kurssin annetaan Institute for Advanced Study 1938-39. The continuum hypoteesi ongelma oli ensimmäinen David Hilbert ’ s famous 23 ongelmia toimitetaan toisen kansainvälisen kongressin matemaatikot Pariisissa vuonna 1900. Hilbert ’ s kuuluisa puhe ongelmia matematiikan haastoi (ja tänään vielä haasteita) matemaatikot ratkaista näitä perustavanlaatuisia kysymyksiä ja Cohen on ero ratkaista ongelma 1.
hän oli alkanut työstää kontinuumihypoteesin itsenäisyyttä loppuvuodesta 1962. Huhtikuussa 1963 hän tunsi asioiden loksahtavan paikoilleen :-

jokaisessa matemaattisessa löydössä on tiettyjä hetkiä, jolloin ongelman ratkaiseminen tapahtuu niin alitajuisella tasolla, että jälkikäteen näyttää mahdottomalta leikellä sitä ja selittää sen alkuperää. Sen sijaan koko idea esittäytyy kerralla, usein ehkä epämääräisessä muodossa, mutta tarkentuu vähitellen.

luettuaan Cohenin todistuksen, jonka hän lähetti 9. toukokuuta 1963 päivätyssä kirjeessä, Kurt Gödel vastasi hänelle:-

toistan, että on todella ilo lukea todisteenne kontinuumihypoteesin riippumattomuudesta. Olen sitä mieltä, että olette kaikilta olennaisilta osin esittänyt parhaan mahdollisen todisteen, ja näin ei tapahdu usein. Todisteidesi lukeminen vaikutti minuun yhtä miellyttävästi kuin todella hyvän näytelmän näkeminen.

Cohen puhui hänen työstään riippumattomuus, axiom of choice ja continuum hypoteesi, aksioomat, Zermelo-Fraenkel joukko-oppi, luento riippumattomuus tulokset joukko-oppi toimitetaan international symposium on ”Theory of Models” at Berkeley 4 päivänä heinäkuuta 1963. Hänen todiste ilmestyi kaksi papers riippumattomuus continuum hypoteesi (1963) ja riippumattomuus continuum hypoteesi. II (1964). Andrzej Mostowski, tarkistetaan ensimmäinen näistä, kirjoittaa:-

nämä tulokset esittävät kauan odotetut ratkaisut aksiomaattisen joukko-opin merkittävimpiin avoimiin ongelmiin, ja ne olisi luokiteltava aksiomaattisen joukko-opin merkittävimmäksi edistysaskeleeksi Gödelin vuoden 1940 monografian ”the consistency of the continuum hypothesis” (1940) julkaisun jälkeen. … tämän arvioija näyttää enemmän kuin todennäköistä, että vaikutus Cohen ’ s löytö on vähintään yhtä syvä metamathematics kuin yleisen filosofian matematiikan (ja ehkä ei vain matematiikan).

Angus MacIntyre, joka oli jatko-opiskelija Stanfordissa 1964-1967, kirjoittaa: –

hän inspiroi minua, kun olin nuori matemaatikko. En ole koskaan kuullut häntä Luento joukko-oppi, vaan algebrallinen geometria ja p-adic aloilla. Hänellä oli hyvin erityinen tyyli, täynnä intoa ja hyvin ” kädet.”Hän käytti mahdollisimman vähän yleistä teoriaa ja välitti aina tunteen, että hän pääsi asioiden ytimeen. Hänen tekniikoita, jopa jotain niin abstraktia kuin joukko-oppi, olivat hyvin rakentavia. Hän oli dauntingly fiksu, ja yksi olisi ollut naiivi tai poikkeuksellisen altruistic laittaa oman”vaikein ongelma”, Paul tiesin, että ’60-luvulla.

katso artikkeli Paul Cohen matematiikan ja opetuksen tästä linkistä
vuonna 1966 Cohen julkaisi monograph Set theory ja continuum hypoteesi perustuu tietenkin hän antoi Harvard keväällä 1965. Azriel Lévy (joka kuuli ensimmäisen kerran Cohenin tulokset Berkeleyn malliteorian konferenssissa) kirjoittaa:-

tämä monografia on lähinnä selonteko tekijän juhlituista tuloksista eli kontinuumihypoteesin riippumattomuudesta ja valinnan aksioomasta. Lisäksi se esittelee myös tärkeimmät klassisen tuloksia logiikan ja joukko-oppi. … Tämä kirja esittelee tuoretta ja intuitiivinen lähestymistapa ja se antaa joitakin välähdyksiä henkinen prosessi, joka johti kirjailija hänen löytöjä. Lukija löytää tämän teoksen juuri oikea määrä filosofisia huomautuksia matemaattinen monografia.

samana vuonna Cohen sai Fieldsin mitalin perustyöstään joukko-opin perusteiden parissa. Se esiteltiin hänelle Mstislav Vsevolodovich Keldysh, presidentti Neuvostoliiton tiedeakatemian, klo 1966 kansainvälinen kongressi matemaatikot Moskovassa. Vain yksi Fieldsin mitalisti (Lars Ahlfors) on saanut Fieldsin mitalin nuorempana. Alonzo Church antoi osoite kongressin Paul J Cohen ja jatkumo ongelma kuvataan Cohen n merkittäviä saavutuksia. Fieldsin mitali ei kuitenkaan ollut ensimmäinen Cohenin saama palkinto. Vuonna 1964 hänelle myönnettiin American Mathematical Societyn Bôcher Memorial-palkinto: –

…hänen paperin, joka arveluihin, Littlewood ja idempotent toimenpiteet, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

kolme vuotta myöhemmin, vuonna 1967, Cohen sai National Medal of Science:-

matemaattisen logiikan käänteentekevistä tuloksista, jotka ovat elävöittäneet ja laajentaneet tutkimuksia matematiikan perustalla.

hän vastaanotti palkinnon presidentti Lyndon B Johnsonilta seremoniassa Valkoisessa talossa 13.helmikuuta 1968. Hänet on myös valittu National Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences, ja kunniatohtorin ulkomainen jäsen, Lontoo Mathematical Society.
lisäksi hänen työstään joukko-oppi, Cohen työskennellyt differentiaaliyhtälön ja harmoninen analyysi. Dawn Levy kertoo Cohenista kirjoittamissaan kommenteissa Peter Sarnak (Princetonin matematiikan professori ja Cohenin entinen väitöskirjatutkija, jonka tutkielma Prime geodeettiset teoreemat (1980)): –

Paul Cohen oli yksi 1900-luvun nerokkaimmista matemaatikoista. Kuten monet suuret matemaatikot, hänen matemaattinen etuja ja osuudet olivat hyvin laaja, vaihtelevat matemaattinen analyysi ja differential equations, matemaattinen logiikka ja lukuteoria. Tämä leveys korostettiin konferenssissa Stanfordissa viime syyskuussa juhlii Cohenin työtä ja hänen 72. syntymäpäiväänsä. Kokoontuminen koostui eri alojen johtavista asiantuntijoista, jotka eivät normaalisti huomaisi kuuntelevansa samoja luentoja. … Cohen oli dynaaminen ja innokas luennoitsija ja opettaja. Hän teki matematiikan näyttää yksinkertainen ja yhtenäinen. Hän oli aina innokas jakamaan hänen monia ideoita ja oivalluksia eri aloilla. Hänen intohimonsa matematiikkaan ei koskaan hiipunut.

Macintyre kirjoittaa tärkeistä papereista, jotka Cohen tuotti erinomaisten kontinuumihypoteesin tulosten jälkeen :-

vuonna 1969 Cohen julkaisi hyvin omaperäisen paperin p-adic-solujen hajoamisesta, antaen rakentavan version kuuluisista AX-Kochen-Ersovin tuloksista. Se on nyt perustavaa laatua loogisen analyysin motivic integraatio. Vuodesta 1969 lähtien Cohen omistautui eräille haastavimmista ja peräänantamattomimmista ongelmista, kuten Riemannin hypoteesille. Hän oli intohimoinen ja inspiroiva matemaatikko.

Kathy Owen, joka vietti aikaa Stanfordissa 1970-luvulla, kirjoitti Cohenista tuolloin: –

Paul oli hämmästyttävä mies. Kärsimätön, levoton, kilpailuhenkinen, provosoiva ja nerokas. Hän oli jatko-opiskelijoiden ja tiedekunnan kahvihetken vakioasiakas. Hän rakasti cut-and-thrust keskustelun ja argumentin mistä tahansa aiheesta ja oli säälimätön, jos hän löysi looginen heikkous vastakkaisesta näkökulmasta. Ei ollut mitään piilopaikkaa! Hän erottui hänen partaveitsi terävä äly, hänen kiehtoo suuria kysymyksiä, hänen outo kiinnostus ”täydellinen piki” (hän toi ääniraudan kahvitunti ja testasi kaikki) ja hänen lievä ärtymys harvoja, jotka eivät ole täydellinen piki. Hän oli merkittävä mies, rakas ystävä, jolla oli suuri vaikutus elämääni, valo, jossa oli koko kirjo värejä.

Cohen nimitettiin vuonna 1972 Marjorie Mhoonin kvantitatiivisen tieteen professoriksi Stanfordiin, ollen tämän tuolin ensimmäinen haltija. Hän jäi virallisesti eläkkeelle vuonna 2004, mutta jatkoi opettamista Stanfordissa vähän ennen kuolemaansa. Hän kuoli harvinaiseen keuhkosairauteen Stanfordin sairaalassa Palo Altossa.
mitä tulee Cohenin harrastuksiin matematiikan ulkopuolella, hän soitti sekä pianoa että viulua, lauloi Stanfordin kertosäkeessä ja kuului ruotsalaiseen kansanmusiikkiyhtyeeseen. Hän oli taitava kielitieteilijä, joka puhui ruotsia, ranskaa, espanjaa, saksaa ja jiddišiä. Hän isännöi vaimonsa kanssa usein illalliskutsuja opiskelijoille, kollegoille ja ystäville. Hän rakasti esitellä vierailijoille ympäri San Franciscoa ja lähiympäristöä.
päättäkäämme tämä elämäkerta lainaamalla Cohenin reminiscences hänen työstään kontinuumihypoteesin parissa :-

… on hieman erikoista, että tietyssä mielessä kontinuumihypoteesi ja valinnan aksiooma eivät ole todella vaikeita ongelmia-niihin ei liity teknistä monimutkaisuutta; kuitenkin tuolloin niitä pidettiin vaikeina. Humoristisesti voisi sanoa, että suhtautuminen todistuksiini oli seuraava. Kun se esitettiin ensimmäisen kerran, jotkut pitivät sitä vääränä. Silloin sitä pidettiin äärimmäisen monimutkaisena. Silloin ajateltiin, että se on helppoa. Mutta totta kai se on siinä mielessä helppoa, että on olemassa selkeä filosofinen ajatus. Siinä oli teknisiä kohtia, jotka vaivasivat minua, mutta pohjimmiltaan kyse ei ollut valtavan monimutkaisesta kombinatorisesta ongelmasta, vaan filosofisesta ajatuksesta.