tämän jakson yhtälöissä ei käytetä kvanttimekaniikan aksioomia, vaan relaatioita, joille on olemassa suora vastaavuus klassisessa mekaniikassa.

esimerkiksi: jäykkä säännöllinen, kiteinen (ei amorfinen) hila koostuu N-hiukkasista. Nämä hiukkaset voivat olla atomeja tai molekyylejä. N on suuri luku, sanotaan järjestyksessä 1023, tai järjestyksessä Avogadron luku tyypillinen näyte kiinteä. Koska hila on jäykkä, atomien on kohdistettava voimia toisiinsa pitääkseen jokaisen atomin lähellä tasapainoasemaansa. Nämä voimat voivat olla Van der Waalsin voimia, kovalenttisia sidoksia, sähköstaattisia houkutuksia ja muita, jotka kaikki johtuvat viime kädessä sähkövoimasta. Magneettiset ja gravitaatiovoimat ovat yleensä mitättömiä. Kunkin atomiparin välisiä voimia voidaan luonnehtia potentiaalienergiafunktiolla V, joka riippuu atomien erotusetäisyydestä. Koko hilan potentiaalienergia on kaikkien parimittaisten potentiaalienergioiden summa kerrottuna kertoimella 1/2 kaksoislaskennan kompensoimiseksi:

1 2 ∑ i ≠ j V ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq J}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

missä ri on i: nnen atomin sijainti ja v on kahden atomin välinen potentiaalienergia.

tätä monen kappaleen ongelmaa on vaikea ratkaista eksplisiittisesti joko klassisessa tai kvanttimekaniikassa. Tehtävän yksinkertaistamiseksi asetetaan yleensä kaksi tärkeää likiarvoa. Ensinnäkin summa suoritetaan vain naapuriatomien päälle. Vaikka reaalisten kiintoaineiden sähkövoimat ulottuvat äärettömyyteen, tämä approksimaatio on edelleen voimassa, koska kaukaisten atomien tuottamat kentät seulotaan tehokkaasti. Toiseksi potentiaaleja V käsitellään harmonisina potentiaaleina. Tämä on sallittua, kunhan atomit pysyvät lähellä tasapainoasemiaan. Muodollisesti tämä saadaan aikaan siten, että Taylor laajentaa V: n tasapainoarvostaan nelikulmaiseen järjestykseen, jolloin V on verrannollinen Siirtymä x2: een ja elastinen voima yksinkertaisesti verrannollinen x: ään. Virhe korkeamman kertaluvun termien ohittamisessa jää pieneksi, jos x pysyy lähellä tasapainotilaa.

tuloksena oleva hila voidaan visualisoida jousilla yhdistettyjen pallojen järjestelmänä. Seuraavassa kuvassa on kuutiollinen hila, joka on hyvä malli monentyyppiselle kiteiselle kiinteälle aineelle. Muita ristikoita ovat lineaarinen ketju, joka on hyvin yksinkertainen ristikko, jota tulemme pian käyttämään fononien mallintamiseen. (Muita yleisiä ristikoita, KS. kiderakenne.)

hilan potentiaalienergia voidaan nyt kirjoittaa muotoon

∑ { i j } ( n n ) 1 2 n n ω 2 ( R i − R j ) 2 . {\displaystyle \sum _{\{ij\} (\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\left (r_{i}-R_{j}\right)^{2}.}

tässä ω on niiden harmonisten potentiaalien luonnollinen taajuus, joiden oletetaan olevan samat, koska hila on säännöllinen. Ri on i: nnen atomin sijaintikoordinaatti, joka mitataan nyt sen tasapainoasennosta. Summa lähimpien naapureiden yli merkitään (nn).

Hila-aaltosedit

johtuen atomien välisistä yhteyksistä yhden tai useamman Siirtymä atomit saavat tasapainoasemistaan aikaan joukon värähtelyaaltoja, jotka etenevät hilan läpi. Yksi tällainen aalto näkyy kuvassa oikealla. Aallon amplitudi saadaan atomien siirtymisestä niiden tasapainoasemista. Aallonpituus λ on merkitty.

on olemassa pienin mahdollinen aallonpituus, joka saadaan atomien välisestä tasapainoerotuksesta a kaksinkertaisena. Mikä tahansa tätä lyhyempi aallonpituus voidaan kartoittaa yli 2a: n aallonpituudelle hilan jaksollisuudesta johtuen. Tätä voidaan pitää Nyquistin–Shannonin näytteenottolauseen yhtenä seurauksena, hilapisteitä pidetään jatkuvan aallon ”näytteenottopisteinä”.

kaikilla mahdollisilla hilavärähdyksillä ei ole tarkoin määriteltyä aallonpituutta ja taajuutta. Normaalitiloilla on kuitenkin hyvin määritellyt aallonpituudet ja taajuudet.

yksiulotteinen latticeEdit

animaatio, jossa esitetään yksiulotteisen hilan 6 ensimmäistä normaalitilaa: lineaarinen hiukkasketju. Lyhin aallonpituus on ylhäällä, ja asteittain pidemmät aallonpituudet alapuolella. Alimmilla linjoilla näkyy aaltojen liike oikealle.

atomien 3-ulotteiselle hilalle tarvittavan analyysin yksinkertaistamiseksi on kätevää mallintaa 1-ulotteinen hila tai lineaarinen ketju. Tämä malli on tarpeeksi monimutkainen näyttääkseen fononien keskeiset ominaisuudet.

Klassinen käsittely

atomien välisten voimien oletetaan olevan lineaarisia ja lähinaapureita, ja niitä esittää Elastinen jousi. Jokaisen atomin oletetaan olevan pistehiukkanen ja ydin ja elektronit liikkuvat vaiheittain (adiabaattinen lause:

n − 1 n n + 1 ← A →

···o+++++++++++++++++++++++o++++++++++o++++++++++o++++++++++o+ + + + + + + + + o + + + + + + + + o···

→→ → →→→ Un − 1 un un + 1

kun n merkitsee n: nnen atomin kokonaismäärästä N, A on välimatka atomit kun ketju on tasapainossa, ja un siirtymä n: nnen atomin sen tasapainotilassa.

Jos C on jousen elastisuusvakio ja m atomin massa, niin n: nnen atomin liikkeen yhtälö on

− 2 C u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n D t 2 . {\displaystyle-2cu_{n}+c\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{DT^{2}}}.}

Tämä on joukko kytkettyjä yhtälöitä.

koska ratkaisujen oletetaan olevan oskillatiivisia, uudet koordinaatit määritellään diskreetin Fourier-muunnoksen avulla, jotta ne saadaan irrotettua toisistaan.

Put

u N = ∑ N a k / 2 π = 1 N Q K e i k n a . {\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak / 2\pi =1}^{n}Q_{k}e^{ikna}.}

tässä na vastaa ja devolves on skalaarikenttäteorian jatkuva muuttuja x. Qk tunnetaan normaaleina koordinaatteina, kontinuumikenttämoodeina φk.

substituutio liikkeen yhtälöön tuottaa seuraavat erotetut yhtälöt (tämä edellyttää merkittävää manipulointia diskreetin Fourier − muunnoksen ortonormaalisuus-ja täydellisyyssuhteiden avulla,

2 C ( cos ⁡ K a-1 ) Q k = M d 2 Q K d t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{DT^{2}}}.}

nämä ovat erotettujen harmonisten oskillaattoreiden yhtälöt, joiden ratkaisu on Q k = A K e I ω K t ; ω k = 2 C m ( 1 − cos ⁡ k a ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}} (1 – \cos {ka})}}.}

jokainen normaali koordinaatti Qk edustaa hilan itsenäistä värähtelytilaa, jonka aaltoluku on K, jota kutsutaan normaalitilaksi.

toinen yhtälö wk: lle tunnetaan kulmataajuuden ja aaltoluvun välisenä hajontasuhteena.

jatkumorajassa a→0, N→∞, jossa Na pidetään kiinteänä, un → φ(x), skalaarikenttä ja ω ( K ) ∝ K A {\displaystyle \omega (k)\propto ka}

. Tämä tarkoittaa klassista vapaata skalaarikenttäteoriaa, riippumattomien oskillaattorien kokoonpanoa.

Kvanttikäsittelyedit

yksiulotteinen kvanttimekaaninen harmoninen ketju koostuu n identtisistä atomeista. Tämä on yksinkertaisin hilan kvanttimekaaninen malli, jonka avulla fononit voivat syntyä siitä. Tämän mallin formalismi on helposti yleistettävissä kahteen ja kolmeen ulottuvuuteen.

jossain aiemmasta poiketen massojen kantoja ei merkitä ui: lla, vaan x1: llä, x2: lla…, mitattuna niiden tasapainoasemista (ts. xi = 0, jos hiukkanen i on tasapainoasemassaan.) Kahdessa tai useammassa ulottuvuudessa xi ovat vektorisuureita. Tämän järjestelmän Hamiltonin muoto on

h = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i j } ( n n ) ( x i − x J ) 2 {\displaystyle {\mathcal {h}}=\sum _{I=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2M}}+{\frac {1}{2}}M\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\Left(x_{i}-x_{J}\right)^{2}}

missä M on kunkin atomin massa (olettaen, että se on kaikille sama), ja xi ja pi ovat vastaavasti asema-ja liikemomenttioperaattorit, sillä ith atomi ja summa on tehty yli lähimmät naapurit (nn). Kuitenkin yksi odottaa, että lattice voisi myös näkyä aaltoja, jotka käyttäytyvät kuin hiukkasia. On tavallista käsitellä aaltoja Fourier-avaruudessa, joka käyttää normaalitiloja, wavevector kuin muuttujia sen sijaan koordinaatit hiukkasia. Normaalitilojen määrä on sama kuin hiukkasten määrä. Fourier ’ n avaruus on kuitenkin erittäin hyödyllinen systeemin jaksollisuuden vuoksi.

voidaan ottaa käyttöön joukko N ”normaaleja koordinaatteja” Qk, joka määritellään XK: n diskreeteiksi Fourier − muunnoksiksi ja n ”konjugaatti momenta” Πk pk: n Fourier-muunnoksiksi:

Q k = 1 n ∑ l e i K a L x L Π K = 1 n ∑ l e-i k a L p l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}&={\frac {1} {\sqrt {n}}}\sum _{l} e^{- ikal}p_ {l}.\end{aligned}}}

Suure kn osoittautuu fononin aaltoluvuksi eli 2π jaettuna aallonpituudella.

Tämä valinta säilyttää halutut kommutaatiosuhteet joko reaaliavaruudessa tai wavevektoriavaruudessa

= I δ δ l , m = 1 n ∑ l , m e i k a l e − i k ’a M = I ℏ n ∑ l e i a l ( k − k’ ) = i δ δ K , k ’ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=I\hbar \delta _{l,m}\\\left&={\frac {1}{n}}\Sum _{l,m}e^{ikal}e^{-IK’}\Left\\&={\frac {i\hbar }{n}}\Sum _{l}e^{ial\left(K-K’\right)}=I\Hbar \Delta _{K,K’}\\\Left&=\left=0\end{aligned}}}

yleinen tulos,

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k K k K k ∑ l e i l ( k + k ’ ) e i m k ’ = ∑ k K k K − k e i m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\sum _{l}e^{a\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{L}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{- k}\end {aligned}}}

potentiaalienergiatermi on

1 2 m ω 2 ∑ j ( x J − x J + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ K Q − K ( 2 − e i k − e − i q ) = 1 2 ∑ k i ω K 2 Q K − Q K {\displaystyle {\tfrac {1} {2}} M\Omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}M\omega ^{2}\sum _{K}Q_{k}Q_{-K}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{K}M{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}

missä

ω K = 2 ω 2 ( 1 − cos ⁡ (k a ) = 2 ω | sin ⁡ K 2 | {\displaystyle \Omega _{k}={\sqrt {2\Omega ^{2}\Left(1-\cos {ka}\right)}}=2\Omega \Left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}

Hamiltonin kieli voidaan kirjoittaa wavevektoriavaruudessa

H = 1 2 m ∑ k ( Π K π − K + M 2 ω K 2 Q K Q − K ) {\displaystyle {\mathcal {h}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\pi _{k}\pi _{-k}+m^{2}\Omega _{K}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}

paikkamuuttujien väliset liitokset on muunnettu pois, jos Q ja Π olivat Hermitian (jota ne eivät ole), muunnetaan Hamiltonin kuvaisi n uncoupled harmoninen oskillaattorit.

kvantisoinnin muoto riippuu reunaehtojen valinnasta; yksinkertaisuuden vuoksi asetetaan määräaikaisia reunaehtoja, joissa määritellään (N + 1)th atomi ensimmäistä atomia vastaavaksi. Fyysisesti tämä vastaa ketjun liittymistä sen päissä. Tuloksena saatu kvantisaatio on

k = k n = 2 π N N N= 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}N = 0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {n}{2}}.\ }

yläraja n: ään tulee minimiaallonpituudesta, joka on kaksi kertaa hilaväli a, Kuten edellä on käsitelty.

harmonisen oskillaattorin eigenvalues eli energiatasot moodille wk ovat:

E n = (1 2 + n ) ℏ ω K n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

tasot ovat tasavälein:

1 2 ℏ ω , 3 2 ℏ ω , 5 2 ℏ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }

missä 1/2ħw on kvanttiharmonisen oskillaattorin nollapiste-energia.

harmoniseen oskillaattorin hilaan on syötettävä tarkka määrä energiaa ħw, jotta se voidaan työntää seuraavalle energiatasolle. Fotonin tapauksessa, jossa sähkömagneettinen kenttä kvantisoidaan, vibraatioenergian kvanttia kutsutaan fononiksi.

kaikissa kvanttijärjestelmissä on aaltomaisia ja partikkelimaisia ominaisuuksia samanaikaisesti. Fononin hiukkasmaiset ominaisuudet ymmärretään parhaiten myöhemmin kuvatuilla toisen kvantisoinnin ja operaattoritekniikoiden menetelmillä.

kolmiulotteinen ristikkoedit

Tämä voidaan yleistää kolmiulotteiseksi hilaksi. Aaltoluku k korvataan kolmiulotteisella wavevektorilla k. Lisäksi jokaiseen k: hon liittyy nykyään kolme normaalia koordinaattia.

uudet indeksit s = 1, 2, 3 merkitsevät fononien polarisaatiota. Yksiulotteisessa mallissa atomit rajoittuivat kulkemaan rataa pitkin, joten fononit vastasivat pitkittäisaaltoja. Kolmessa ulottuvuudessa värähtely ei rajoitu etenemissuuntaan, ja sitä voi esiintyä myös kohtisuorissa tasoissa, kuten poikittaisissa aalloissa. Tästä saadaan normaalit lisäkoordinaatit, joita Hamiltonin muodon mukaan voidaan pitää itsenäisinä fononilajeina.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

kahden massaisen ionin tai atomin yksiulotteiselle vuorottelujoukolle, jonka M1 toistuu jaksoittaisesti etäisyydellä a, joka on yhdistetty jousivakion k jousilla, kahden värähtelytilan tuloksena:

ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 sin 2 ⁡ k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{M_{1}}}+{\frac {1}{M_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{M_{1}}}}+{\frac {1} {M_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\Sin ^{2} {\frac {ka} {2}}} {M_{1} M_{2}}}}},}

missä k on sen värähtelyyn liittyvän värähtelyn aaltovektori aallonpituus K = 2 π λ {\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}

.

taajuuden ja wavevektorin välinen yhteys, ω = ω (k), tunnetaan dispersiorelaationa. Plus-merkki johtaa niin sanottuun optiseen tilaan ja miinusmerkki akustiseen tilaan. Optisessa tilassa kaksi vierekkäistä eri atomia liikkuu toisiaan vastaan, kun taas akustisessa tilassa ne liikkuvat yhdessä.

akustisen fononin etenemisnopeus, joka on myös äänen nopeus hilassa, saadaan akustisen dispersion suhteen kaltevuuden, ∂wk / ∂k (Katso ryhmänopeus.) Matalilla k – arvoilla (eli pitkillä aallonpituuksilla) hajontaruhde on lähes lineaarinen, ja äänen nopeus on suunnilleen wa, riippumaton fononin taajuudesta. Tämän seurauksena eri (mutta pitkillä) aallonpituuksilla varustetut fononipaketit voivat edetä laajoilla etäisyyksillä hilan poikki hajoamatta. Tämä on syy siihen, että ääni etenee kiinteiden aineiden läpi ilman merkittävää vääristymistä. Tämä käyttäytyminen epäonnistuu suurilla k-arvoilla eli lyhyillä aallonpituuksilla hilan mikroskooppisten yksityiskohtien vuoksi.

Jos Kiteellä on alkeellisessa solussaan vähintään kaksi atomia, dispersiosuhteissa esiintyy kahdenlaisia fononeja, nimittäin optisia ja akustisia tiloja, jotka vastaavat diagrammin ylempää sinistä ja alempaa punaista käyrää. Pystyakseli on fononin energia tai taajuus, kun taas vaaka-akseli on aaltovektori. Rajat −π/A ja π/a ovat ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen rajat. Alkeellisessa solussa Kiteellä, jossa on n ≥ 2 eri atomia, on kolme akustista tilaa: yksi pitkittäinen akustinen tila ja kaksi poikittaista akustista tilaa. Optisten tilojen määrä on 3N-3. Alempi luku esittää useiden fononitilojen dispersiosuhteet GaAs: ssa wavevektorin k funktiona Brillouin-vyöhykkeensä pääsuunnissa.

monet fononin dispersiokäyrät on mitattu inelastisella neutronisironnalla.

äänen fysiikka nesteissä eroaa äänen fysiikasta kiinteissä aineissa, vaikka molemmat ovat tiheysaaltoja: nesteiden ääniaalloilla on vain pitkittäisiä komponentteja, kun taas kiinteissä aineissa ääniaalloilla on pitkittäisiä ja poikittaisia komponentteja. Tämä johtuu siitä, että nesteet eivät voi tukea leikkausjännityksiä (Mutta katso viskoelastiset nesteet, jotka koskevat vain korkeita taajuuksia).

Fononien tulkinta toisen kvantisointitekniikan avulla

edellä johdettu Hamiltonin funktio voi näyttää klassiselta Hamiltonin funktiolta, mutta jos se tulkitaan operaattoriksi, niin se kuvaa kvanttikenttäteoriaa ei-vuorovaikutteisista bosoneista.Toinen kvanttiharmonisissa oskillaattoreissa käytetty kvanttioperaattorimenetelmän kaltainen kvantisointitekniikka on keino saada energiaa eigenvalues ilman, että differentiaaliyhtälöitä suoraan ratkaistaan. Kun otetaan huomioon Hamiltonin muoto, H {\displaystyle {\mathcal {H}}

sekä konjugaattiasento , Q k {\displaystyle Q_{k}}

, ja konjugaatin liikemäärä π k {\displaystyle \pi _{k}}

määritelty yllä olevassa kvanttikäsittelyosiossa , voimme määritellä luomisen ja annihilaation operaattorit: b k = i ω k 2 ℏ ( Q K + i m ω K Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{K}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {I}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}

ja b k † = i ω K 2 ℏ ( Q − k − i ω k π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\Dagger }={\sqrt {\frac {m\Omega _{K}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {I}{m\Omega _{k}}}\pi _{k}\right)}

seuraavat kommutaattorit voidaan helposti saada korvaamalla kanonisessa kommutaatiorelaatiossa:

= δ K , k ’, = = 0 {\displaystyle \left=\Delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}

tämän avulla operaattorit BK† Ja BK voidaan kääntää konjugaatin aseman ja liikemäärän uudelleen määrittelemiseksi:

Q k = ℏ 2 m ω k ( b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}\left({b_{k}}^{\dagger} +b_{-k}\right)}

ja π k = i ℏ m ω K 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar M\Omega _{K}} {2}}}\Left({b_{k}}^{\Dagger}- b_{-k}\right)}

suoraan korvataan nämä määritelmät Q k {\displaystyle Q_{k}}

ja Π K {\displaystyle \Pi _{k}}

Wavevektoriavaruuteen Hamiltonin, koska se on määritelty edellä, ja yksinkertaistaminen sitten tulokset Hamiltonin ottaen muodossa: H = ∑ k ℏ ω k ( b k † b k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}

tätä kutsutaan toiseksi kvantisointitekniikaksi, joka tunnetaan myös ammattinumeron muotoiluna, jossa NK = BK†BK on ammattinumero. Tämä voidaan nähdä summa n riippumaton oskillaattori Hamiltonians, joista jokaisella on ainutlaatuinen aaltovektori, ja yhteensopiva käytettyjen menetelmien kvantti harmoninen oskillaattori (huomaa, että nk on hermitian). Kun Hamiltonin voidaan kirjoittaa summa työmatkaliikenteen sub-Hamiltonians, energia eigenstates annetaan tuotteiden eigenstates kunkin erillisen sub-Hamiltonians. Vastaava energiaspektri saadaan sitten Hamiltonin sub-Hamiltonilaisten yksittäisten eigenvalujen summalla.

kuten kvanttiharmonisella oskillaattorilla, voidaan osoittaa, että bk† ja BK vastaavasti luovat ja tuhoavat yhden kentän eksitaation, fononin, jonka energia on ħwk.

tästä tekniikasta voidaan päätellä kolme fononien tärkeää ominaisuutta. Ensinnäkin fononit ovat bosoneja, koska mikä tahansa määrä identtisiä eksitaatioita voidaan luoda toistamalla luomisoperaattori BK†. Toiseksi jokainen fononi on ”kollektiivinen tila”, jonka aiheuttaa jokaisen atomin liike hilassa. Tämä voidaan nähdä siitä, että tässä momenttiavaruudessa määritellyt luomis-ja annihilaatio-operaattorit sisältävät summia jokaisen atomin asento-ja liikemomenttioperaattoreiden yli, kun ne kirjoitetaan positioavaruuteen (Katso asento-ja liikemomenttiavaruus). Lopuksi kanta–paikkakorrelaatiofunktion avulla voidaan osoittaa, että fononit toimivat hilasiirtymän aaltoina.

tämä tekniikka yleistyy helposti kolmeen ulottuvuuteen, joissa Hamiltonin muoto on:

H = ∑ k ∑ s = 1 3 ℏ ω k , s ( b k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {h}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}