jos venytämme kuminauhan omenan pinnan ympärille, voimme kutistaa sen alas pisteeseen siirtämällä sitä hitaasti, repimättä sitä ja sallimatta sen poistua pinnalta. Toisaalta jos kuvittelemme, että sama kuminauha on jotenkin venynyt sopivaan suuntaan donitsin ympärille, niin ei ole mitään keinoa kutistaa sitä tiettyyn pisteeseen rikkomatta kuminauhaa tai donitsia. Sanomme, että omenan pinta on ”yksinkertaisesti kytketty”, mutta että donitsin pinta ei ole. Poincaré, lähes sata vuotta sitten, tiesi, että kaksiulotteinen pallo on olennaisesti ominaista tämän ominaisuuden yksinkertainen connectivity, ja kysyi vastaavan kysymyksen kolmiulotteinen pallo.

Tämä kysymys osoittautui harvinaisen vaikeaksi. Lähes vuosisata kulunut välillä sen muotoilu vuonna 1904 Henri Poincaré ja sen ratkaisu Grigoriy Perelman, ilmoitti ennakkopainokset lähetetty ArXiv.org vuosina 2002 ja 2003. Perelmanin ratkaisu perustui Richard Hamiltonin teoriaan Ricci flow ’ sta ja hyödynsi tuloksia mittareiden väleissä Cheegerin, Gromovin ja Perelmanin itsensä ansiosta. Näissä papereissa Perelman myös osoittautunut William Thurston n Geometrization arveluihin, erikoistapaus, joka on Poincarén arveluihin. KS. tiedote 18.3.2010.

Image credit: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/