Roche limit
se, kuinka pitkälle satelliitti voi lähestyä hajoamatta, riippuu satelliitin jäykkyydestä. Yhdessä ääripäässä täysin jäykkä satelliitti säilyttää muotonsa, kunnes vuorovesivoimat hajottavat sen. Toisessa ääripäässä erittäin virtaava satelliitti vähitellen deformoituu, mikä johtaa lisääntyneisiin vuorovesivoimiin, mikä saa satelliitin venymään, mikä lisää vuorovesivoimia entisestään ja saa sen hajoamaan helpommin.
useimmat todelliset satelliitit sijaitsivat jossain näiden kahden ääripään välissä, vetolujuuden vuoksi satelliitti ei ollut täysin jäykkä eikä täysin fluidi. Esimerkiksi kiviröykkiö asteroidi käyttäytyy enemmän kuin kiinteä kivinen; jäinen kappale käyttäytyy aluksi melko jäykästi, mutta muuttuu nestemäisemmäksi, kun vuorovesilämmitys kerääntyy ja sen ices alkaa sulaa.
Huomaa kuitenkin, että kuten edellä on määritelty, Rochen raja-arvo viittaa kappaleeseen, jota pitävät koossa yksinomaan gravitaatiovoimat, jotka aiheuttavat muuten toisiinsa liittymättömien hiukkasten yhteenliittymisen ja siten muodostavat kyseisen kappaleen. Rochen raja-arvo lasketaan yleensä myös ympyräradalle, vaikka laskentaa on suoraviivaista muuttaa niin, että se koskee esimerkiksi parabolisella tai hyperbolisella radalla kulkevaa kappaletta.
jäykän satelliitin laskutoimitusedit
jäykän rungon Roche-raja on yksinkertaistettu laskutoimitus pallomaiselle satelliitille. Epäsäännölliset muodot, kuten vuoroveden muodonmuutos kappaleeseen tai sen ensisijaisiin kiertoratoihin, jäävät huomiotta. Sen oletetaan olevan hydrostaattisessa tasapainossa. Vaikka nämä oletukset ovat epärealistisia, ne yksinkertaistavat laskelmia huomattavasti.
jäykän pallomaisen satelliitin Roche-raja on etäisyys , d {\displaystyle d}
, siitä primääristä, jossa kappaleen pinnalla olevaan testimassaan kohdistuva painovoima on täsmälleen yhtä suuri kuin massaa poispäin vetävä vuorovesivoima: d = R M ( 2 ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {\rho _{m}}{\Rho _{m}}\right)^{\frac {1} {3}}}
missä R m {\displaystyle R_{M}}
on primäärin säde, ρ M {\displaystyle \rho _{M}}
on primaarin tiheys, ja ρ m {\displaystyle \Rho _{m}}
on satelliitin tiheys. Tämä voidaan kirjoittaa vastaavasti seuraavasti: d = R m ( 2 M M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}\right)^{\frac {1} {3}}}
missä R m {\displaystyle R_{m}}
on toision säde, m m {\displaystyle M_{M}}
on ensiön massa ja M M {\displaystyle M_{m}}
on sekundäärin massa.
Tämä ei riipu kappaleiden koosta, vaan tiheyksien suhteesta. Tämä on kiertoetäisyys, jonka sisällä irrallinen materiaali (esim.regoliitti) satelliitin pinnalla lähimpänä ensisijaista vedettäisiin pois, ja samoin materiaali puolella vastapäätä ensisijainen myös menee pois, eikä kohti, satelliitti.
huomaa, että tämä on likimääräinen tulos, sillä inertiavoima ja jäykkä rakenne jätetään huomiotta sen derivoinnissa.
kiertoaika riippuu tällöin vain toision tiheydestä:
p = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ m ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{m}}}\right)^{1/2}=2\pi \left ({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{m}^{3}\rho _{m}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{g\rho _{m}}}}
missä G on gravitaatiovakio. Esimerkiksi tiheys on 3.346 g / cc (kuumme tiheys) vastaa 2,552 tunnin kiertoaikaa.
Formula_8: n derivointi
Rochen raja-arvon määrittämiseksi pidetään pientä massaa u {\displaystyle u}
primaaria lähinnä olevan satelliitin pinnalla. Tällä massalla u {\displaystyle u}
: gravitaatiovoima kohti satelliittia ja vetovoima kohti primaaria. Oletetaan, että satelliitti on vapaassa pudotuksessa primäärin ympärillä ja että vuorovesivoima on ainoa merkityksellinen termi primäärin vetovoimalle. Tämä oletus on yksinkertaistus, sillä vapaapudotus todella koskee vain planeettakeskusta, mutta riittää tähän johdantoon.
gravitaatiovoima F G {\displaystyle F_{\text{G}}}
massasta u {\displaystyle u}
kohti satelliittia, jonka massa on m {\displaystyle m}
ja säde R {\displaystyle r}
voidaan ilmaista Newtonin gravitaatiolain mukaan. F G = G M u r 2 {\displaystyle F_{\text{g}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}
vuorovesivoima F T {\displaystyle F_{\text{t}}}
massasta u {\displaystyle U}
kohti primääriä , jonka säde on R {\displaystyle R}
ja massa m {\displaystyle m}
, etäisyydellä d {\displaystyle d}
kahden kappaleen keskipisteiden välillä, voidaan ilmaista likimäärin muodossa F T = 2 G m u r d 3 {\displaystyle F_{\text{t}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}
.
tämän likiarvon saamiseksi etsitään ero primaarin vetovoimasta satelliitin keskipisteessä ja satelliitin reunalla, joka on lähimpänä primaaria:
F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}
F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}
F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}
likiarvossa , jossa R ≪ R {\displaystyle r\ll r}
ja R < d {\displaystyle r<
, voidaan sanoa, että R 2 {\displaystyle R^{2}}
osoittajassa ja jokainen termi, jolla R {\displaystyle r}
nimittäjässä menee nollaan, joka antaa: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}
F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}
The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.
F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}
tai
G M u r 2 = 2 G m u r d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{R^{2}}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}
,
joka antaa Rochen rajan, d {\displaystyle d}
, as D = R ( 2 m m ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {m} {m}}\right)^{\frac {1} {3}}
satelliitin säde ei saa näkyä raja-arvon lausekkeessa, joten se kirjoitetaan uudelleen tiheyksinä.
pallolle massa M {\displaystyle m}
voidaan kirjoittaa muodossa M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}
missä R {\displaystyle r}
on primäärin säde.
ja samoin
m = 4 π ρ M r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _ {m}r^{3}}{3}}}
missä r {\displaystyle r}
on satelliitin säde.
massojen korvaaminen Rochen rajan yhtälössä ja 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}
antaa d = r ( 2 ρ M R 3 ρ M R 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\Rho _{M}R^{3}}}\right)^{1/3}}
,
, joka voidaan yksinkertaistaa seuraavaan Roche-rajaan:
d = r ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {\rho _{m}}{\Rho _{m}}\right)^{\frac {1} {3}}\approx 1.26 R\left({\frac {\rho _{m}} {\Rho _{m}}}\right)^{\frac {1} {3}}}
tarkempi formula_4 >
koska läheinen satelliitti todennäköisesti kiertää lähes ympyränmuotoisella kiertoradalla synkronisella kiertoliikkeellä, tarkastellaan, miten pyörimisen aiheuttama keskipakoisvoima vaikuttaa tuloksiin. Tuo voima on
F C = ω 2 u r = G M u r d 3 {\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}
ja se lisätään FT: hen. Kun tehdään voimatasapainolaskenta, saadaan tämä tulos Rochen rajalle:
D = R M ( 3 ρ m ρ m ) 1 3 ≈ 1,442 R m ( ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {\rho _{m}}{\Rho _{m}}\right)^{\frac {1} {3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {\\left) Rho _{m}} {\Rho _{m}}}\right)^{\frac {1} {3}}}
………. (1)
or: D = R m ( 3 M M M ) 1 3 ≈ 1,442 R M ( M M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (2)
käytä m = 4 π ρ M r 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _ {m}r^{3}}{3}}}
(missä r {\displaystyle r}
on satelliitin säde) korvaamaan ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
formula_1, voidaan käyttää kolmatta kaavaa:
D = (9 m m 4 π ρ m) 1 3 ≈ 0,8947 ( m m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left ({\frac {9m_{m}}{4\pi \Rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
………. (3)
näin ollen riittää tähden massan (planeetta) havainnointi ja planeetan tiheyden (satelliitti) arvioiminen planeetan (satelliitti) Roche-rajan laskemiseksi tähtijärjestelmässä (planeetta).
Roche limit, Hill sphere and radius of the planetEdit
tarkastellaan planeettaa, jonka tiheys on ρ m {\displaystyle \Rho _{m}}
ja säde R {\displaystyle R}
, kiertoradalla tähti withis on Roche limitin fyysinen merkitys, Roche Lobe ja Hill sphere.
kaava(2) voidaan kuvata seuraavasti: R Roche = R Hill 3 M m 3 = r toissijainen 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac {3m}{m}}}}
, täydellinen matemaattinen symmetria.Tämä on Rochen rajan ja kukkulan pallon tähtitieteellinen merkitys.
Huom: Rochen raja ja Mäkipallo eroavat täysin toisistaan, mutta molemmat ovat Édouard Rochen käsialaa.
tähtitieteellisen kappaleen Mäkipallo on se alue, jolla se hallitsee satelliittien vetovoimaa, kun taas Rochen raja on pienin etäisyys, jolla satelliitti voi lähestyä ensisijaista kappalettaan ilman, että vuorovesivoima voittaa satelliittia koossa pitävän sisäisen painovoiman.
tähtitieteellisen kappaleen Mäkipallo on se alue, jolla se hallitsee satelliittien vetovoimaa, kun taas Rochen raja on pienin etäisyys, jolla satelliitti voi lähestyä ensisijaista kappalettaan ilman, että vuorovesivoima voittaa satelliittia koossa pitävän sisäisen painovoiman.
Fluid satellitesEdit
tarkemmassa lähestymistavassa Rochen rajan laskemisessa otetaan huomioon satelliitin muodonmuutos. Ääriesimerkki olisi tidaalisesti lukittu nestemäinen satelliitti, joka kiertää planeettaa, jossa mikä tahansa satelliittiin vaikuttava voima muuttaisi sen prolaattiseksi spheroidiksi.
laskelma on monimutkainen, eikä sen tulosta voida esittää täsmällisellä algebrallisella kaavalla. Roche itse johti seuraavan likimääräisen ratkaisun Rochen rajalle:
d ≈ 2.44 R ( ρ m ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.44 R\left({\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}\right)^{1/3}}
kuitenkin parempi likiarvo, joka ottaa huomioon primäärin oblatenssin ja satelliitin massan, on:
d ≈ 2.423 R ( ρ m ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 m ) + c 3 R ( 1 + M M ) 1 − C / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.423 R\Left({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3m}})+{\frac {C}{3R}}(1+{\frac {m}{m}})}{1-c/r}}\right)^{1/3}}
where C / R {\displaystyle c/R}
on primäärin oblaattisuus. Numeerinen kerroin lasketaan tietokoneen avulla.
fluidiliuos soveltuu vain löyhästi yhteen pitäytyneille kappaleille, kuten komeetalle. Esimerkiksi komeetta Shoemaker–Levy 9: n rappeutuva Jupiteria kiertävä rata kulki Roche-rajansa sisällä heinäkuussa 1992, jolloin se pirstoutui useiksi pienemmiksi kappaleiksi. Seuraavalla lähestymisellään vuonna 1994 sirpaleet törmäsivät planeettaan. Shoemaker-Levy 9 havaittiin ensimmäisen kerran vuonna 1993, mutta sen kiertoradan perusteella Jupiter oli vallannut sen jo muutamaa vuosikymmentä aiemmin.
derivointi formula_4>
koska fluidisatelliitin tapaus on herkempi kuin jäykkä, satelliittia kuvataan joillakin yksinkertaistavilla oletuksilla. Oletetaan ensinnäkin, että kappale koostuu epätäydellisestä fluidista, jonka vakiotiheys ρ m {\displaystyle \rho _{m}}
ja tilavuus V {\displaystyle V}
jotka eivät riipu ulkoisista tai sisäisistä voimista.
toiseksi oletetaan, että satelliitti liikkuu pyöreällä kiertoradalla ja se pysyy synkronisessa pyörimisliikkeessä. Tämä tarkoittaa, että kulmanopeus ω {\displaystyle \omega }
, jolla se pyörii massakeskipisteensä ympäri, on sama kuin kulmanopeus, jolla se liikkuu koko systeemin barycenterin ympäri.
kulmanopeus ω {\displaystyle \omega }
on annettu Keplerin kolmannen lain mukaan: ω 2 = G m + m d 3 . {\displaystyle \omega ^{2}=G\, {\frac {m+m}{d^{3}}}.}
kun M on hyvin paljon suurempi kuin m, Tämä on lähellä
ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \omega ^{2}=G\, {\frac {M}{d^{3}}}.}
synkroninen kierto tarkoittaa, että neste ei liiku ja ongelmaa voidaan pitää staattisena. Tämän vuoksi nesteen viskositeetilla ja kitkalla ei tässä mallissa ole merkitystä, koska näillä suureilla olisi merkitystä vain liikkuvalle nesteelle.
näiden oletusten perusteella on otettava huomioon seuraavat voimat:
- pääkappaleen aiheuttama gravitaatiovoima;
- pyörivässä vertailujärjestelmässä oleva keskipakoisvoima; ja
- satelliitin itsegravitaatiokenttä.
koska kaikki nämä voimat ovat konservatiivisia, ne voidaan ilmaista potentiaalin avulla. Lisäksi satelliitin pinta on ekvipotentiaalinen. Muutoin potentiaalin erot aiheuttaisivat nesteen joidenkin osien voimia ja liikettä pinnalla, mikä on ristiriidassa staattisen mallin oletuksen kanssa. Koska etäisyys päärungosta, pinnan muoto, joka täyttää ekvipotentiaalisen edellytyksen, on määritettävä.
koska kiertorata on oletettu pyöreäksi, koko gravitaatiovoima ja päärungossa vaikuttava kiertoradan keskipakoisvoima kumoavat. Jäljelle jää kaksi voimaa: vuorovesivoima ja pyörivä keskipakoisvoima. Vuorovesivoima riippuu asennosta massan keskipisteeseen nähden, joka on jo otettu huomioon jäykässä mallissa. Pienillä kappaleilla nestehiukkasten etäisyys kappaleen keskustasta on pieni suhteessa etäisyyteen d pääkappaleeseen. Näin vuorovesivoima voidaan linearisoida, jolloin FT: lle saadaan sama kaava kuin edellä.
vaikka tämä voima jäykässä mallissa riippuu vain satelliitin säteestä r, fluidissa on otettava huomioon kaikki pinnan pisteet, ja vuorovesivoima riippuu massakeskipisteen etäisyydestä Δd tiettyyn hiukkaseen, joka projisoidaan satelliitin ja päärungon yhdistävälle suoralle. Kutsumme Δd: tä säteittäiseksi etäisyydeksi. Koska Vuorovesivoima on Δd: ssä lineaarinen, siihen liittyvä potentiaali on verrannollinen muuttujan neliöön ja M ≪ M {\displaystyle m\ll m}
meillä on V T = − 3 G M 2 d 3 Δ d 2 {\displaystyle V_{t}=-{\frac {3GM}{2D^{3}}\Delta d^{2}\,}
samoin keskipakoisvoimalla on potentiaali
V C = − 1 2 ω 2 δ d 2 = − g m 2 d 3 δ d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1} {2}}\Omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM} {2D^{3}}}\Delta d^{2}\,}
pyörimiskulmanopeuden ω {\displaystyle \omega }
.
haluamme määrittää satelliitin muodon, jolle itsegravitaatiopotentiaalin ja VT + VC: n summa on vakio kappaleen pinnalla. Yleensä tällainen ongelma on hyvin vaikea ratkaista, mutta tässä erityistapauksessa se voidaan ratkaista taitavalla arvauksella johtuen vuorovesipotentiaalin neliöriippuvuudesta Säteisetäisyydellä Δd ensimmäiseen likiarvoon, voimme sivuuttaa keskipakopotentiaalin VC ja tarkastella vain vuorovesipotentiaalia VT.
koska mahdollinen VT muuttuu vain yhteen suuntaan eli suuntaan kohti pääkappaletta, satelliitin voidaan olettaa saavan aksiaalisesti symmetrisen muodon. Tarkemmin, voimme olettaa, että se on eräänlainen vankka vallankumouksen. Tällaisen pyörähdyksen kiinteän aineen pinnalla oleva itsepotentiaali voi riippua vain säteittäisestä etäisyydestä massan keskipisteeseen. Itse asiassa satelliitin ja taivaankappaleita yhdistävän suoran kanssa kohtisuorassa olevan tason leikkauspiste on kiekko, jonka raja on oletustemme mukaan jatkuvan potentiaalin ympyrä. Jos itsegravitaatiopotentiaalin ja VT: n ero on vakio, molempien potentiaalien on riitettävä samalla tavalla Δd: hen. Toisin sanoen itsepotentiaalin on oltava verrannollinen Δd: n neliöön. Silloin voidaan osoittaa, että ekvipotentiaalinen ratkaisu on vallankumouksen ellipsoidi. Koska tällaisen kappaleen tiheys ja tilavuus ovat vakiot, sen itseispotentiaali riippuu vain ellipsoidin eksentrisyydestä ε:
V S = V S 0 + g π ρ m ⋅ f ( ε ) ⋅ Δ d 2 , {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+g\pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}
missä V S 0 {\displaystyle V_{s_{0}}}
on vakio Itsepotentiaali ympyräreunan leikkauspisteessä kappale ja yhtälön δd=0 antama keskeinen Symmetriataso.
dimensioton funktio f on määritettävä ellipsoidin potentiaalin tarkasta ratkaisusta
f ( ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}\cdot \left}
ja, yllättävää kyllä, se ei riipu satelliitin tilavuudesta.
vaikka funktion F eksplisiittinen muoto näyttää monimutkaiselta, on selvää, että voimme ja valitsemme ε: n arvon siten, että potentiaali VT on yhtä suuri kuin VS plus muuttuja Δd: stä riippumaton vakio. Tarkastuksella tämä tapahtuu, kun
2 G π ρ M R 3 d 3 = G π ρ m f ( ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=g\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}
tämä yhtälö voidaan ratkaista numeerisesti. Kuvaaja osoittaa, että ratkaisuja on kaksi ja siten pienempi edustaa stabiilia tasapainomuotoa (ellipsoidi, jolla on pienempi eksentrisyys). Tämä ratkaisu määrittää vuoroves ellipsoidin eksentrisyyden päärungon etäisyyden funktiona. Funktion F derivaatta on nolla, jolla saavutetaan maksimaalinen eksentrisyys. Tämä vastaa Rochen rajaa.
täsmällisemmin Rochen raja-arvon määrää se, että funktio f, jota voidaan pitää ellipsoidia kohti pallomaista muotoa puristavan voiman epälineaarisena mittana, rajoittuu niin, että on eksentrisyys, jolla tästä sopimusvoimasta tulee maksimaalinen. Koska vuorovesivoima kasvaa satelliitin lähestyessä pääkappaletta, on selvää, että ellipsoidi repeytyy kriittisellä etäisyydellä.
suurin eksentrisyys voidaan laskea numeerisesti F’: n derivaatan nollana. Saadaan
ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \varepsilon _{\text{max}}\approx 0{.}86}
, joka vastaa ellipsoidiakselien suhdetta 1:1,95. Kun tämä lisätään funktion f kaavaan, voidaan määrittää minimietäisyys, jolla ellipsoidi on olemassa. Tämä on Rochen raja,
d ≈ 2 . 423 ⋅ r ⋅ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d\approx 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\,.}
yllättäen myös keskipakopotentiaalilla on huomattavan vähän merkitystä, vaikka kappaleesta tulee Roche ellipsoidi, yleinen triaksaalinen ellipsoidi, jonka kaikki akselit ovat eripituisia. Potentiaalista tulee akselipituuksien paljon monimutkaisempi funktio, joka vaatii elliptisiä funktioita. Ratkaisu etenee kuitenkin paljolti kuten Vain vuorovesitapauksessa, ja löydämme
d ≈ 2 . 455 ⋅ r ⋅ ρ m ρ M 3 . {\displaystyle d\approx 2{.}455\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{M}} {\rho _{m}}}\,.}
