tiede > fysiikka > skalaarit ja vektorit> skalaarit ja vektorit

tässä artikkelissa tutkitaan skalaarit ja vektorit, niiden ominaisuudet.

Skalaarisuureet tai skalaarit:

fysikaalisia suureita, joilla on vain magnitudi ja jotka voidaan määritellä vain luvulla ja yksiköllä, kutsutaan skalaarisuureiksi tai skalaareiksi.

esim. kun määritämme aikaa, voimme sanoa kuten 20 sekuntia, 1 vuosi, 24 tuntia, jne. Tässä annamme magnitudin vain eli luvun ja yksikön. Tällöin suuntaa ei tarvita.

lisää esimerkkejä Skalaareista: aika, matka, nopeus, massa, tiheys, pinta-ala, tilavuus, työ, paine, energia jne.

skalaarien ominaisuudet:

• Skalaarisuureilla on vain Suure.
• skalaarit voidaan lisätä tai vähentää toisistaan algebrallisesti.
• kirjoitettaessa skalaarimäärää nuolta ei laiteta määrän symbolin päähän.

Vektorisuureita eli vektoreita:

fysikaalisia suureita, joilla on sekä suuruus että suunta ja jotka tulisi määritellä sekä suuruuden että suunnan mukaan, kutsutaan vektorisuureiksi tai vektoreiksi.

esimerkiksi kappaleen siirtymä on määriteltävä suuruus ja suunta. Näin ollen siirtymä on vektorisuure.

lisää esimerkkejä vektoreista: siirtymä, nopeus, kiihtyvyys, voima, liikemäärä, sähköinen voimakkuus, magneettinen induktio jne.

Huomautus: Suure on vektorisuure, jos ja vain jos sillä on suunta ja suuruus ja se noudattaa vektorien yhteenlaskun sääntöjä.

vektorien ominaispiirteet:

• Vektorisuureilla on sekä Suure että suunta.
• vektoreita ei voida lisätä tai vähentää toisistaan algebrallisesti, vaan on otettava käyttöön graafinen menetelmä.
• kirjoitettaessa vektorimäärää merkitään nuoli määrän symbolin päähän.

Pseudovektorit:

pyörimisliikkeeseen liittyviä vektoreita kutsutaan pseudovektoreiksi. Niitä kutsutaan myös aksiaalivektoreiksi. Niiden suunta on pyörimisakselia pitkin.

esimerkkejä: kulmasiirtymä, kulmanopeus, Kulmakiihtyvyys, vääntömomentti jne.

polaarivektorit:

lineaariseen suuntavaikutukseen liittyviä vektoreita kutsutaan polaarivektoreiksi tai tosivektoreiksi. Niissä on lähtökohta tai sovelluspiste.

esimerkkejä: lineaarinen nopeus, lineaarinen kiihtyvyys, voima, liikemäärä jne.

tensorit:

se on fysikaalinen suure, joka ei ole skalaari eikä vektori. Heillä ei ole varmaa suuntaa. Niillä voi olla eri arvot eri suuntiin. Näillä suureilla on suuruus ja suunta, mutta ne eivät noudata vektorien yhteenlaskun sääntöjä.

esimerkkejä: hitausmomentti, jännitys, pintajännitys, sähkövirta jne.

vektorien symbolinen notaatio:

vektoria edustaa kirjain, jossa on nuolenkärki. Näin vektori A esitetään muodossa A. vektorin suuruus esitetään muodossa |A/tai yksinkertaisesti A.

vektoria voidaan merkitä myös kahdella kirjaimella. Esim. PQ, joka tarkoittaa, että vektorin alkupiste (pyrstö) on piste P ja vektorin päätepiste (pää) on pisteessä Q. vektorin suunta on pisteestä P pisteeseen Q

vektorin esitys:

Jana piirretään siten, että sen pituus kuvaa suureen suuruutta sopivalla asteikolla ja vektorin annettuun suuntaan.

esimerkki: 50 km: n siirtymä kohti koillista voidaan esittää seuraavasti

• Valitse oikea asteikko, sano 1cm = 10 km.
• valitse suunnistusstandardi kuvan mukaisesti.
• Piirrä viivajuova, jonka pituus on 5 cm kohti koillista.
• Näytä nuoli koillisen suuntaan.

vektorien terminologia:

Yksikkövektori:

vektoria, jolla on yksikkö (yksi) suuruus, kutsutaan yksikkövektoriksi. Yksikkövektoria vektorin Ā suunnassa merkitään  (A cap).

toteaa:

• Jos  on yksikkövektori, niin|  / = A = 1 .
• X -, y-ja z-akselien positiivisia suuntia pitkin kulkevat yksikkövektorit ovat m î, ĵ, ja
• Yksikkövektori vektoria pitkin saadaan â = Ā | | Ā /

Nollavektori tai Nollavektori:

vektoria, jonka magnitudi on nolla, kutsutaan nolla-tai Nollavektoriksi. Nollavektoria eli nollavektoria merkitään ō-kirjaimella (nollapalkki).

toteaa:

• nollavektorille alku-ja päätepisteet yhtyvät.
• mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan oikeaksi vektoriksi.

vapaa vektori:

kun ei ole rajoitusta valita vektorin alkuperää, sitä kutsutaan vapaaksi vektoriksi.

lokalisoitu vektori:

kun on rajoitus valita vektorin alkuperä, sitä kutsutaan lokalisoiduksi vektoriksi.

Käänteisvektori:

vektoria, jonka suunta on sama kuin Ā: n, mutta jonka magnitudi on vastavuoroinen Ā: n kanssa, kutsutaan käänteisvektoriksi. Sitä merkitään ja annetaan

ts. Jos AB = PQ, niin / AB | = | PQ | ja AB | /PQ

Kollineaariset vektorit:

vektorit sanotaan kollineaarisiksi, jos ne sijaitsevat samalla suoralla tai yhdensuuntaisesti yhden ja saman janan kanssa. Jos kaksi vektoria on kollineaarisia, voidaan niistä jokainen ilmaista muiden skalaarikertoimena.

kuten vektoreita:

vektoreita, joilla on sama suunta, kutsutaan kuten vektoreita.

toisin kuin vektorit:

vektoreita, joilla on vastakkaiset ilmansuunnat, sanotaan toisin kuin vektoreita.

Koplanaariset vektorit:

vektorit sanotaan koplanaarisiksi, jos ne sijaitsevat samassa tasossa tai yhdensuuntaisina yhden ja saman tason kanssa.

negatiivinen vektori:

negatiivinen vektori on vektori, jonka magnitudi on sama kuin annetun vektorin, mutta suunta on päinvastainen kuin annetun vektorin. Vektorin Ā negatiivista merkitään-Ā.

AB = – BA

vektorien tasa-arvoisuus:

kahden vektorin sanotaan olevan yhtä suuret, jos ja vain jos niillä on sama suure ja sama suunta. Näin yhtäläisillä vektoreilla on sama pituus, sama yhdensuuntainen tuki ja sama aisti. Jos jokin näistä asioista ei ole sama, niin kaksi vektoria eivät ole tasa-arvoisia.

pisteen Paikkavektorin käsite:

olkoon A mikä tahansa piste avaruudessa ja O kiinteä piste avaruudessa niin pisteen A W.r.t. to O paikkavektori (P. V) määritellään vektoriksi OA. Pisteen A W.r.t. kiintopisteen O paikkavektoria merkitään A tai a.

AB sen päätepisteiden paikkavektorin mukaan:

kolmiolain mukaan Oa + ab = ob

∴ ab = ob – OA

∴ AB = B – A = (P.V of B) – (P.V A)

Vakioyksikkövektorit tai suorakulmaiset Yksikkövektorit:

positiivista x-akselia pitkin kulkevaa yksikkövektoria merkitään î , positiivista y-akselia pitkin kulkevaa yksikkövektoria merkitään ĵ , positiivista z-akselia pitkin kulkevaa yksikkövektoria merkitään .

Jos A ratkeaa kahdeksi vektoriksi ja X-akselin ja y-akselin suuntaisesti, niin vektorien yhteenlaskun kolmiolain mukaan

A = Ax + Ay

A = AX î + ay ĵ

vektorin suuruuden antaa

kolmiulotteinen järjestelmä:

Jos A ratkeaa kolmeksi vektoriksi Ax, Ay, Az pitkin x-akselia, y-akselia ja z-akselia, niin vektorien yhteenlaskun monikulmiolain avulla

A = AX + ay + az

AX Î + ay ĵ + az k

vektorin magnitudin antaa

p> toteaa:

• vektorin komponentilla ei voi olla suurempaa magnitudia kuin itse vektorilla.
• vektori on nollavektori, jos kaikki sen komponentit ovat nolla.

vektorin kertolasku Skalaarilla:

Jos A = Ax + Ay + Az on vektori ja ” m ” on skalaari, niin meillä on

m A =M Ax +M Ay +m Az

esimerkki – 01:

Jos P(3, -4, 5) on piste avaruudessa sitten löytää op, |op| ja yksikkövektori pitkin op.

ratkaisu:

OP = 3i-4j + 5k

/ OP| = √(3)2+ (-4)2+ (5)2

= √9+ 16+ 25 = √50 = 5√2 yksikkö

Yksikkövektori pitkin OP = OP/|OP| = (3i – 4j + 5k)/ 5√2

esimerkki – 02:

• Jos A(1, 2, 3) ja b(2, -1, 5) ovat kaksi pistettä avaruudessa, niin löydetään AB, |AB| ja yksikkövektori pitkin AB.

pisteen A Paikkavektori = a = OA = i + 2j + 3k

pisteen B Paikkavektori= b = OB = 2I – j + 5k

AB = B – A = (2i – j + 5k) – (i + 2J + 3k)