Trisection d’angle
Le problème général de la trisection d’angle peut être résolu en utilisant des outils supplémentaires, et donc en dehors du cadre grec original de la boussole et de la règle.
De nombreuses méthodes incorrectes de trisection de l’angle général ont été proposées. Certaines de ces méthodes fournissent des approximations raisonnables; d’autres (dont certaines sont mentionnées ci-dessous) impliquent des outils non autorisés dans le problème classique. Le mathématicien Underwood Dudley a détaillé certaines de ces tentatives infructueuses dans son livre Les Trisecteurs.
Approximation par bissection successifedit
La trisection peut être approximée par la répétition de la méthode compas et straightedge pour la bissection d’un angle. La série géométrique 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ ou 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ peut être utilisé comme base pour les bissections. Une approximation de n’importe quel degré de précision peut être obtenue en un nombre fini d’étapes.
Utilisation d’origamiEdit
La trisection, comme beaucoup de constructions impossibles à la règle et au compas, peut facilement être réalisée par les opérations de pliage de papier, ou origami. Les axiomes de Huzita (types d’opérations de pliage) peuvent construire des extensions cubiques (racines cubiques) de longueurs données, tandis que la règle et le compas ne peuvent construire que des extensions quadratiques (racines carrées).
En utilisant un linkageEdit
Il existe un certain nombre de liaisons simples qui peuvent être utilisées pour fabriquer un instrument pour trisecter les angles, notamment Trisecteur de Kempe et Éventail de Liaison de Sylvestre ou Isoklinostat.
Avec une règle triangulaire droite
En 1932, Ludwig Bieberbach publia dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik son œuvre Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Il y déclare (traduction libre) :
« Comme on le sait… chaque construction cubique peut être retracée à la trisection de l’angle et à la multiplication du cube, c’est-à-dire à l’extraction de la troisième racine. Il me suffit de montrer comment ces deux tâches classiques peuvent être résolues au moyen du crochet à angle droit. »
La description suivante de la construction adjacente (animation) contient leur continuation jusqu’à la trisection angulaire complète.
Il commence par le premier cercle unitaire autour de son centre A {\displaystyle A}
, le premier membre angulaire B P {\displaystyle {\overline{BP}}}
, et le deuxième cercle unitaire autour de P{\displaystyle P}
qui le suit. Maintenant, le diamètre B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
de P {\displaystyle P}
est étendu à la ligne circulaire de ce cercle unitaire, le point d’intersection O {\displaystyle O}
en cours de création. Suivant l’arc de cercle autour de P {\displaystyle P}
avec le rayon B P {\displaystyle{\overline{BP}}}
et le dessin du deuxième membre d’angle à partir de l’angle δ {\displaystyle\ delta}
, le point C{\displaystyle C}
résultats. Maintenant, la moyenne dite de construction supplémentaire est utilisée, dans l’exemple illustré, c’est le Geodreieck. Ce triangle géométrique, comme on l’appelle aussi, est maintenant placé sur le dessin de la manière suivante: Le sommet de l’angle droit détermine le point S {\displaystyle S}
sur la jambe d’angle P C {\displaystyle{\overline{PC}}}
, un cathète du triangle passe par le point O{\displaystyle O}
et l’autre affecte le cercle unitaire A{\displaystyle A}
. Après avoir connecté le point O {\displaystyle O}
à S {\displaystyle S}
et dessiné la tangente à partir de S{\displaystyle S}
au cercle unitaire autour de A {\displaystyle A}
, le crochet à angle droit mentionné ci-dessus respectivement Rechtwinkelhaken est montré. L’angle délimité par les segments O S {\displaystyle {\overline{OS}}}
et P S {\displaystyle {\overline{PS}}}
est donc exactement δ 3 {\displaystyle {\frac{\delta}{3}}}
. Cela continue avec le parallèle à O S {\displaystyle {\overline {OS}}}
de P {\displaystyle P}
, l’angle alternatif δ 3 {\displaystyle {\frac {\ delta}{3}}}
et le point D{\displaystyle D}
sont en cours de création. Un autre parallèle à O S {\displaystyle {\overline {OS}}}
à partir de A {\displaystyle A}
détermine le point de contact E {\displaystyle E}
de la tangente avec le cercle unité autour de A {\displaystyle A}
. Enfin, tracez une ligne droite de P {\displaystyle P}
à travers E {\displaystyle E}
jusqu’à ce qu’il coupe le cercle unitaire dans F {\displaystyle F}
. Ainsi, l’angle δ{\displaystyle\delta}
a exactement trois parties.
Avec une courbe auxiliaire
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Trisection utilisant la spirale d’Archimède
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Trisection à l’aide de la trisectrice de Maclaurin
Il existe certaines courbes appelées trisectrices qui, si elles sont tracées sur le plan en utilisant d’autres méthodes, peuvent être utilisées pour trisecter des angles arbitraires. Les exemples incluent la trisectrice de Colin Maclaurin, donnée en coordonnées cartésiennes par l’équation implicite
2 x(x 2 + y 2) = a(3 x 2−y 2), {\displaystyle 2x(x^{2} + y^{2}) = a(3x^{2} -y^{2}), }
et la spirale d’Archimède. La spirale peut, en fait, être utilisée pour diviser un angle en un nombre quelconque de parties égales.
Avec une règle marquéedit
Un autre moyen de trisecter un angle arbitraire par un « petit » pas en dehors du cadre grec est via une règle avec deux marque une distance définie. La construction suivante est à l’origine due à Archimède, appelée construction Neusis, c’est-à-dire qui utilise des outils autres qu’une ligne droite non marquée. Les diagrammes que nous utilisons montrent cette construction pour un angle aigu, mais cela fonctionne en effet pour n’importe quel angle jusqu’à 180 degrés.
Cela nécessite trois faits de géométrie (à droite):
- Tout ensemble complet d’angles sur une ligne droite s’ajoute à 180 °,
- La somme des angles de tout triangle est de 180 °, et,
- Deux côtés égaux d’un triangle isocèle rencontreront le troisième dans le même angle.
Soit l la ligne horizontale dans le diagramme adjacent. L’angle a (à gauche du point B) fait l’objet d’une trisection. Tout d’abord, un point A est dessiné selon le rayon d’un angle, à une unité de B. Un cercle de rayon AB est dessiné. Ensuite, le marquage de la règle entre en jeu: une marque de la règle est placée en A et l’autre en B. Tout en gardant la règle (mais pas la marque) en contact avec A, la règle est glissée et tournée jusqu’à ce qu’une marque soit sur le cercle et l’autre sur la ligne l. La marque sur le cercle est étiquetée C et la marque sur la ligne est étiquetée D. Cela garantit que CD = AB. Un rayon BC est dessiné pour rendre évident que les segments de droite AB, BC et CD ont tous la même longueur. Maintenant, les triangles ABC et BCD sont isocèles, donc (par le fait 3 ci-dessus) chacun a deux angles égaux.
Hypothèse: AD étant donné une ligne droite, et AB, BC et CD ont tous une longueur égale,
Conclusion: angle b = a/3.
Preuve:
- D’après le fait 1) ci-dessus, e +c = 180 {\displaystyle e+c= 180}
°.
- En regardant le triangle BCD, d’après le fait 2) e +2 b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
°.
- D’après les deux dernières équations, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
.
- From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
°, thus d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 2 c {\displaystyle -2c}
, so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 4 b {\displaystyle -4b}
.
- D’après le fait 1) ci−dessus, a +d+ b = 180 {\displaystyle a+d+b = 180}
°, donc a+(180 {\displaystyle a+(180}
°-4 b) +b=180 {\displaystyle-4b) +b=180}
°.
Compensation, a-3b = 0, ou a=3b, et le théorème est prouvé.
Encore une fois, cette construction sortait du cadre des constructions autorisées en utilisant une bordure droite marquée.
Avec une cordedit
Thomas Hutcheson a publié un article dans le professeur de mathématiques qui utilisait une corde au lieu d’une boussole et d’une arête droite. Une corde peut être utilisée comme une arête droite (en l’étirant) ou comme une boussole (en fixant un point et en identifiant un autre), mais peut également s’enrouler autour d’un cylindre, la clé de la solution de Hutcheson.
Hutcheson a construit un cylindre à partir de l’angle à trisecter en dessinant un arc à travers l’angle, en le complétant en cercle, et en construisant à partir de ce cercle un cylindre sur lequel un triangle équilatéral était inscrit (un angle de 360 degrés divisé en trois). Cela a ensuite été « mappé » sur l’angle à trisecter, avec une simple preuve de triangles similaires.
Avec une édition « tomahawk »
Un « tomahawk » est une forme géométrique composée d’un demi-cercle et de deux segments de ligne orthogonaux, de sorte que la longueur du segment le plus court soit égale au rayon du cercle. La trisection est exécutée en appuyant l’extrémité du segment le plus court du tomahawk sur un rayon, le bord du cercle sur l’autre, de sorte que la « poignée » (segment le plus long) traverse le sommet de l’angle; la ligne de trisection s’étend entre le sommet et le centre du demi-cercle.
Notez que même si un tomahawk est constructible avec compas et straightedge, il n’est généralement pas possible de construire un tomahawk dans n’importe quelle position souhaitée. Ainsi, la construction ci-dessus ne contredit pas la non-perceptibilité des angles avec la règle et le compas seuls.
Le tomahawk produit le même effet géométrique que la méthode de pliage du papier: la distance entre le centre du cercle et la pointe du segment le plus court est deux fois la distance du rayon, ce qui garantit le contact avec l’angle. Il est également équivalent à l’utilisation d’une règle en L des architectes (Carré de charpentier).
Avec des compas interconnectésedit
Un angle peut être trisecté avec un dispositif qui est essentiellement une version à quatre branches d’une boussole, avec des liaisons entre les dents conçues pour maintenir les trois angles entre les dents adjacentes égaux.