als we een elastiekje rond het oppervlak van een appel rekken, dan kunnen we het verkleinen tot een punt door het langzaam te bewegen, zonder het te scheuren en zonder toe te staan het oppervlak te verlaten. Aan de andere kant, als we ons voorstellen dat dezelfde rubberen band op de een of andere manier is uitgerekt in de juiste richting rond een donut, dan is er geen manier om het te krimpen tot een punt zonder breken ofwel de rubberen band of de donut. We zeggen dat het oppervlak van de appel “eenvoudig verbonden” is, maar dat het oppervlak van de donut dat niet is. Poincaré wist bijna honderd jaar geleden dat een tweedimensionale sfeer in wezen wordt gekenmerkt door deze eigenschap van eenvoudige connectiviteit, en stelde de overeenkomstige vraag voor de driedimensionale sfeer.

deze vraag bleek buitengewoon moeilijk. Bijna een eeuw verstreken tussen de formulering in 1904 door Henri Poincaré en de oplossing door Grigoriy Perelman, aangekondigd in preprints gepost op ArXiv.org in 2002 en 2003. Perelman ’s oplossing was gebaseerd op Richard Hamilton’ s theorie van Ricci flow, en maakte gebruik van resultaten op ruimten van metrics te wijten aan Cheeger, Gromov, en Perelman zelf. In deze artikelen bewees Perelman ook het Vermeetkundigingsvermoeden van William Thurston, een speciaal geval daarvan is het vermoeden van Poincaré. Zie het persbericht van 18 maart 2010.

beeld: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/