Hoektrisectie
het algemene probleem van hoektrisectie is oplosbaar met behulp van extra hulpmiddelen, en gaat dus buiten het oorspronkelijke Griekse kader van Kompas en rechte.
Er zijn veel onjuiste methoden voorgesteld om de Algemene hoek te trisecteren. Sommige van deze methoden bieden redelijke benaderingen; andere (waarvan sommige hieronder worden genoemd) omvatten hulpmiddelen die niet zijn toegestaan in het klassieke probleem. De wiskundige Underwood Dudley heeft een aantal van deze mislukte pogingen beschreven in zijn boek De Trisectors.
benadering door opeenvolgende doorsnede
Trisectie kan worden benaderd door herhaling van de kompas-en rechte methode voor het doorsnijden van een hoek. De Geometrische serie 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ of 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ kan worden gebruikt als basis voor de bisecties. Een benadering van elke graad van nauwkeurigheid kan worden verkregen in een eindig aantal stappen.
met origamiEdit
Trisection, zoals veel constructies onmogelijk door liniaal en kompas, kan gemakkelijk worden bereikt door het vouwen van papier, of origami. Huzita ’s axioma’ s (soorten vouwbewerkingen) kunnen kubieke uitbreidingen (kubuswortels) van bepaalde lengtes construeren, terwijl liniaal en kompas alleen kwadratische uitbreidingen (vierkante wortels) kunnen construeren.
met behulp van een linkagedit
Er zijn een aantal eenvoudige koppelingen die kunnen worden gebruikt om een instrument te maken om hoeken te trisecteren, waaronder Kempe’ s trisector en Sylvester ‘ s link fan of isoklinostat.
Met een juiste driehoekige rulerEdit
In 1932, Ludwig Bieberbach gepubliceerd in Journal für die reine und angewandte Mathematik zijn werk Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Hij stelt daarin (vrije vertaling):
“zoals bekend … elke kubieke constructie kan worden teruggevoerd tot de trisectie van de hoek en tot de vermenigvuldiging van de kubus, dat wil zeggen de extractie van de derde wortel. Ik hoef alleen maar te laten zien hoe deze twee klassieke taken kunnen worden opgelost door middel van de haakse haak.”
de volgende beschrijving van de aangrenzende constructie (animatie) bevat hun voortzetting tot aan de volledige hoek trisectie.
Het begint met de eerste eenheidscirkel rond het centrum a {\displaystyle A}
, de eerste hoek ledemaat B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
, en de tweede eenheidscirkel rond p {\displaystyle p}
volgend. Nu wordt de diameter B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
van P {\displaystyle P}
uitgebreid tot de cirkellijn van deze eenheidscirkel, het snijpunt O {\displaystyle O}
wordt aangemaakt. De cirkel boog rond P {\displaystyle P}
met de radius B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
en de tekening van de tweede hoek lidmaat van de hoek δ {\displaystyle \delta }
, wordt het punt C {\displaystyle C}
resultaten. Nu wordt het zogenaamde extra constructiegemiddelde gebruikt, in het geïllustreerde voorbeeld is het de Geodreieck. Deze geometrie driehoek, zoals het ook wel genoemd wordt, is nu geplaatst op de tekening op de volgende wijze: Het hoekpunt van de rechte hoek bepaalt het punt S {\displaystyle S}
op de hoek van poot P C {\displaystyle {\overline {PC}}}
, een cathetus van de driehoek gaat door het punt O {\displaystyle O}
en de andere van invloed op de eenheidscirkel Een {\displaystyle A}
. Na het verbinden van het punt O {\displaystyle O}
met S {\displaystyle S}
en het tekenen van de tangens van S {\displaystyle S}
aan de eenheidscirkel rond a {\displaystyle A}
wordt de hierboven genoemde rechte hoek haak respectievelijk rechtwinkelhaken getoond. De hoek tussen de segmenten O S {\displaystyle {\overline {van OS}}}
en P S {\displaystyle {\overline {PS}}}
is dus precies δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}
. Het gaat verder met de parallel aan O S {\displaystyle {\overline {van OS}}}
P {\displaystyle P}
, de alternatieve hoek δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}
en het punt D {\displaystyle D}
worden gemaakt. Een verdere parallel aan O S {\displaystyle {\overline {van OS}}}
van Een {\displaystyle A}
bepaalt het punt van contact E {\displaystyle E}
van de raaklijn met de eenheidscirkel over Een {\displaystyle A}
. Teken tenslotte een rechte lijn van P {\displaystyle P}
door e {\displaystyle E}
totdat het de eenheidscirkel In F snijdt {\displaystyle F}
. Dus de hoek δ {\displaystyle \ delta }
heeft precies drie delen.
Met een extra curveEdit
-
Trisectie met behulp van de Archimedische spiraal
-
Trisectie met behulp van de Maclaurin trisectrix
Er zijn bepaalde krommen genoemd trisectrices die, als getrokken op het vliegtuig met behulp van andere methoden, kan worden gebruikt om trisect willekeurige hoeken. Voorbeelden zijn de trisectrix van Colin Maclaurin, gegeven in cartesiaanse coördinaten door de impliciete vergelijking
2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}
en de Archimedische spiraal. De spiraal kan in feite worden gebruikt om een hoek te verdelen in een willekeurig aantal gelijke delen.
met een gemarkeerde regeleredit
een ander middel om een willekeurige hoek te trisecteren met een “kleine” stap buiten het Griekse kader is via een liniaal met twee markeringen op een bepaalde afstand. De volgende constructie is oorspronkelijk te wijten aan Archimedes, een Neusisconstructie genoemd, dat wil zeggen, Die Andere gereedschappen gebruikt dan een niet-gemarkeerde rechte. De diagrammen die we gebruiken tonen deze constructie voor een scherpe hoek, maar het werkt inderdaad voor elke hoek tot 180 graden.
Dit vereist drie feiten uit de meetkunde (rechts):
- elke volledige verzameling hoeken op een rechte lijn wordt opgeteld bij 180°,
- de som van hoeken van een driehoek is 180°, en
- elke twee gelijke zijden van een gelijkbenige driehoek ontmoeten de derde in dezelfde hoek.
zij l de horizontale lijn in het aangrenzende diagram. Hoek a (links van punt B) is het onderwerp van trisection. Ten eerste wordt een punt A getekend op de straal van een hoek, één eenheid van B. Een cirkel met straal AB wordt getekend. Dan komt de markeringen van De heerser in het spel: het ene merkteken van de liniaal wordt geplaatst op A en het andere op B. terwijl de liniaal (maar niet het merkteken) a raakt, wordt de liniaal geschoven en gedraaid totdat één merkteken op de cirkel staat en de andere op de lijn l. het merkteken op de cirkel wordt aangeduid met C en het merkteken op de lijn wordt aangeduid met D. Dit zorgt ervoor dat CD = AB. Een radius BC wordt getekend om duidelijk te maken dat lijnsegmenten AB, BC en CD allemaal even lang zijn. Nu, driehoeken ABC en BCD zijn gelijkbenige, dus (Door feit 3 hierboven) heeft elk twee gelijke hoeken.
hypothese: Gegeven AD is een rechte lijn, en AB, BC, en CD hebben allemaal gelijke lengte,
conclusie: hoek b = a / 3.
bewijs:
- uit feit 1) hierboven, e + c = 180 {\displaystyle e + c = 180}
°.
- kijkend naar driehoek BCD, uit feit 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e + 2b = 180}
°.
- van de laatste twee vergelijkingen, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
.
- From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
°, thus d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 2 c {\displaystyle -2c}
, so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 4 b {\displaystyle -4b}
.
- Van Feit 1) hierboven, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
°, dus een + ( 180 {\displaystyle een+(180}
° − 4 b ) + b = 180 {\displaystyle -4b)+b=180}
°.
Clearing, a-3b = 0, of a = 3b, en de stelling is bewezen.
nogmaals, deze constructie stapte buiten het kader van toegestane constructies door gebruik te maken van een gemarkeerde rechte.
met een stringEdit
Thomas Hutcheson publiceerde een artikel in de wiskundeleraar dat een string gebruikte in plaats van een kompas en een rechte rand. Een string kan worden gebruikt als een rechte rand (door het uit te rekken) of een kompas (door het bevestigen van een punt en het identificeren van een ander), maar kan ook wikkelen rond een cilinder, de sleutel tot Hutcheson ‘ s oplossing.
Hutcheson construeerde een cilinder vanuit de te trisecteren hoek door een boog over de hoek te tekenen, deze als een cirkel te vervolledigen en uit die cirkel een cilinder te construeren waarop bijvoorbeeld een gelijkzijdige driehoek is gegraveerd (een hoek van 360 graden verdeeld in drie). Dit werd vervolgens “in kaart gebracht” op de te trisecteren hoek, met een eenvoudig bewijs van soortgelijke driehoeken.
met een “tomahawk”Edit
een “tomahawk” is een geometrische vorm die bestaat uit een halve cirkel en twee orthogonale lijnsegmenten, zodat de lengte van het kortere segment gelijk is aan de straal van de cirkel. Trisection wordt uitgevoerd door het uiteinde van het kortere segment van de tomahawk op de ene straal te leunen, de rand van de cirkel op de andere, zodat de “handle” (langere segment) kruist de hoekpunt; de trisectielijn loopt tussen de hoekpunt en het midden van de halve cirkel.
merk op dat hoewel een tomahawk met kompas en rechthoek kan worden geconstrueerd, het over het algemeen niet mogelijk is om een tomahawk in elke gewenste positie te construeren. Zo is de bovenstaande constructie niet in tegenspraak met de niettrisectibility van hoeken met liniaal en kompas alleen.
de tomahawk heeft hetzelfde geometrische effect als de papiervouwmethode: de afstand tussen het midden van de cirkel en de punt van het kortere segment is tweemaal de afstand van de straal, die gegarandeerd in contact komt met de hoek. Het is ook gelijk aan het gebruik van een architects l-Liniaal (Timmermansplein).
bij onderling verbonden kompassedit
kan een hoek worden getrisecteerd met een apparaat dat in wezen een vierpuntsversie van een kompas is, met verbindingen tussen de tanden die zijn ontworpen om de drie hoeken tussen de aangrenzende tanden gelijk te houden.