Szög trisection
az általános probléma szög trisection megoldható segítségével további eszközöket,és így megy kívül az eredeti görög kerete iránytű és egyenes.
számos helytelen módszert javasoltak az Általános szög triszektálására. Ezen módszerek egy része ésszerű közelítéseket nyújt; mások (amelyek közül néhányat az alábbiakban említünk) olyan eszközöket tartalmaznak, amelyek a klasszikus problémában nem engedélyezettek. Underwood Dudley matematikus a trisectors című könyvében részletezte ezeket a sikertelen kísérleteket.
közelítés egymást követő felezővelszerkesztés
a Triszekció közelíthető az iránytű és az egyenes módszer ismétlésével egy szög felezéséhez. A geometriai sorozat 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ vagy 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ lehet használni, mint egy alapot a bisections. Véges számú lépésben bármilyen pontosságú közelítést lehet elérni.
az origamiEdit használata
szög Triszekciója, mint sok vonalzó és iránytű által lehetetlen konstrukció, könnyen megvalósítható papírhajtogatással vagy origamival. Huzita axiómái (a hajtogatási műveletek típusai) felépíthetnek adott hosszúságú köbös kiterjesztéseket (kockagyökereket), míg a vonalzó-iránytű csak másodfokú kiterjesztéseket (négyzetgyökeket) képes felépíteni.
a linkageEdit használata
számos egyszerű kapcsolat létezik, amelyek felhasználhatók egy műszer létrehozására a szögek trisektálására, beleértve Kempe trisector és Sylvester link fan vagy isoklinostat.
egy jobb háromszög rulerEdit
1932-ben, Ludwig Bieberbach folyóiratban közzétett F die reine und angewandte Mathematik munkája zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Ebben kijelenti (ingyenes fordítás):
“mint ismeretes … minden köbös konstrukció visszavezethető a szög triszekciójára és a kocka szorzására, vagyis a harmadik gyökér kivonására. Csak meg kell mutatnom, hogy ez a két klasszikus feladat megoldható a derékszögű horog segítségével.”
a szomszédos konstrukció (animáció) következő leírása tartalmazza azok folytatását a teljes szögtriszekcióig.
az első egységkörrel kezdődik a középpontja körül a {\displaystyle a}
, az első szögű végtag B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
, és a második Egységkör p {\displaystyle p}
követi. Most az átmérő B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
a P {\displaystyle P}
ennek az egységkörnek a metszéspontjára, az O {\displaystyle o}
létrehozva. A P {\displaystyle p}
sugarú körívet követve B P {\displaystyle {\overline {BP}}}
és a második szögrész rajzát követve a dőlésszögből a D \{\D\D\D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ D \ d \ displaystyle \ Delta }
, a c pont {\displaystyle C}
eredmények. Most az úgynevezett kiegészítő építési átlagot használják, az illusztrált példában ez a Geodreieck. Ezt a geometriai háromszöget, ahogy nevezik, most a következő módon helyezzük el a rajzon: a derékszög csúcsa határozza meg az S {\displaystyle S}
pontot a p c {\displaystyle {\overline {PC}}}
, a háromszög egyik katétája áthalad az O {\displaystyle o}
ponton, a másik pedig az a {\displaystyle a}
egységkört érinti . Az O {\displaystyle O}
pontot s {\displaystyle s}
pontot összekötve az S {\displaystyle S}
az a {\displaystyle a}
körüli egységkörhöz a fent említett derékszögű horog , illetve a rechtwinkelhaken látható. Az O s {\displaystyle {\overline {OS}}}
és P S {\displaystyle {\overline {PS}}}
tehát pontosan 6 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}
. Az O s {\displaystyle {\overline {OS}}}
a P {\displaystyle P}
párhuzamos vonalával folytatódik , a váltakozó szöget jelentő 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}
és a d {\displaystyle d}
pont jön létre. Egy további párhuzamos O s {\displaystyle {\overline {OS}}}
a {\displaystyle a}
meghatározza az érintkezési pontot E {\displaystyle e}
az egységkör érintőjéből a {\displaystyle a}
. Végül húzzunk egy egyenes vonalat P {\displaystyle P}
keresztül e {\displaystyle e}
amíg keresztezi az egységkört F {\displaystyle F}
. Így a dőlésszögnek a
pontosan három része van.
segédgörbével
-
Triszekció az Archimédészi spirál segítségével
-
trisection a Maclaurin trisectrix használatával
vannak bizonyos görbék, amelyeket trisectrices-nek hívnak, amelyek, ha más módszerekkel rajzolják a síkra, tetszőleges szögek trisectálására használhatók. Ilyen például Colin Maclaurin Trisectrixje, amelyet a
2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}
és az archimédészi spirál. A spirál valójában felhasználható egy szög tetszőleges számú egyenlő részre történő felosztására.
egy jelölt rulerEdit
egy másik eszköz egy tetszőleges szög triszekciójára egy “kis” lépéssel a görög kereten kívül keresztül vonalzó két jel egy meghatározott távolságra egymástól. A következő konstrukció eredetileg annak köszönhető Archimedes, az úgynevezett A Neusis konstrukció, Vagyis amely a jelöletlen egyenest kivéve más eszközöket használ. Az általunk használt diagramok ezt a konstrukciót hegyes szögben mutatják, de valóban bármilyen 180 fokos szögben működik.
ehhez három tény szükséges a geometriából (jobb oldalon):
- bármely egyenes vonalú szögkészlet 180 db-ot ad hozzá,
- bármely háromszög szögeinek összege 180 db-ot tesz ki, és
- egy egyenlő szárú háromszög bármely két egyenlő oldala ugyanabban a szögben találkozik a harmadikkal.
legyen l a vízszintes vonal a szomszédos diagramon. Az a szög (a B ponttól balra) a triszekció tárgya. Először egy a pontot rajzolunk egy szögsugár mentén, egy egység a B-től eltekintve. Ezután az uralkodó markanciája játszik szerepet: a vonalzó egyik jelét a-ra, a másikat B-re helyezzük. miközben a vonalzót (de a jelet nem) megérintjük A-val, a vonalzót addig csúsztatjuk és forgatjuk, amíg az egyik jel a körön, a másik pedig az L vonalon van. A BC sugarat úgy rajzoljuk meg, hogy nyilvánvalóvá tegyük, hogy az AB, BC és CD vonalszakaszok azonos hosszúságúak. Az ABC és a BCD háromszögek egyenlőszárúak, így (a fenti 3.tény szerint) mindegyiknek két egyenlő szöge van.
hipotézis: Adott AD egy egyenes vonal, és AB, BC, és CD mind azonos hosszúságú,
következtetés: szög b = a / 3.
bizonyítás:
- a fenti 1. tényből, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
680.
- a BCD háromszöget vizsgálva, a 2. tényből: e + 2 b = 180 {\displaystyle e + 2B=180}
GmbH.
- az utolsó két egyenletből c = 2 B {\displaystyle c=2b}
.
- From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
°, thus d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 2 c {\displaystyle -2c}
, so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}
° − 4 b {\displaystyle -4b}
.
- a fenti 1.tényből, a + d + b = 180 {\displaystyle A+d+b=180}
6, így a + ( 180 {\displaystyle a+(180}
6. B) + B = 180 {\displaystyle 4B)+B=180}
6.
klíring, a − 3b = 0, vagy a = 3b, és a tétel bizonyított.
Ez a konstrukció ismét kilépett a megengedett konstrukciók keretéből egy megjelölt egyenes használatával.
húrralszerkesztés
Thomas Hutcheson publikált egy cikket a matematika tanárban, amely iránytű és egyenes él helyett sztringet használt. A húr használható egyenes élként (nyújtással) vagy iránytűként (az egyik pont rögzítésével és a másik azonosításával), de egy henger köré is tekerhető, ami Hutcheson megoldásának kulcsa.
Hutcheson épített egy hengert a szögből triszektálni úgy, hogy egy ívet rajzolt át a szögen, körként kitöltve, és ebből a körből épített egy hengert, amelyre mondjuk egy egyenlő oldalú háromszöget írtak (egy 360 fokos szög háromra osztva). Ezt aztán” leképezték ” a triszektálandó szögre, a hasonló háromszögek egyszerű igazolásával.
egy “tomahawk”szerkesztéssel
a” tomahawk ” olyan geometriai alak, amely félkörből és két ortogonális vonalszakaszból áll, úgy, hogy a rövidebb szakasz hossza megegyezik a kör sugarával. A triszekciót úgy hajtják végre, hogy a tomahawk rövidebb szegmensének végét az egyik sugárra, a kör szélét a másikra támaszkodják úgy, hogy a “fogantyú” (hosszabb szegmens) keresztezi a szög csúcsát; a triszekciós vonal a csúcs és a félkör közepe között fut.
vegye figyelembe, hogy míg a tomahawk építhető iránytűvel és egyenessel, általában nem lehetséges a tomahawk felépítése a kívánt helyzetben. Így a fenti konstrukció nem mond ellent a szögek elválaszthatatlanságának, csak vonalzóval és iránytűvel.
a tomahawk ugyanazt a geometriai hatást eredményezi, mint a papírhajtogatási módszer: a kör középpontja és a rövidebb szegmens csúcsa közötti távolság kétszerese a sugár távolságának, amely garantáltan érintkezik a szöggel. Ez egyenértékű egy építész L-vonalzó (Asztalos tér) használatával is.
összekapcsolt iránytűkkel
egy szög triszektálható egy olyan eszközzel, amely lényegében az iránytű négyágú változata, a fogók közötti összeköttetésekkel, amelyek célja a szomszédos fogak közötti három szög egyenlő megtartása.