Un sistema di equazioni lineari può essere risolto riducendo la sua matrice aumentata in forma di scaglione ridotta.

Una matrice può essere modificata nella sua forma di scaglione di riga ridotta o ridotta nella sua forma di scaglione di riga ridotta utilizzando le operazioni di riga elementari. Questi sono:

1. Scambia una riga della matrice con un’altra della matrice.
2. Moltiplica una riga della matrice per una costante scalare diversa da zero.
3. Sostituire una riga con una riga più una costante per un’altra riga della matrice.

Ad esempio, dato il seguente sistema lineare con corrispondente matrice aumentata:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve questo sistema, la matrice deve essere ridotto in forma scaglione ridotto.

Passo 1: Passare alla riga 1 e alla riga 3. Tutti gli zeri iniziali sono ora al di sotto delle voci iniziali diverse da zero.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Impostare la riga 2 alla riga 2 più (-1) volte la riga 1. In altre parole, sottrarre la riga 1 dalla riga 2. Ciò eliminerà la prima voce della riga 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Passo 4: Impostare la riga 3 alla riga 3 più (-1) volte la riga 2. In altre parole, sottrarre la riga 2 dalla riga 3. Questo eliminerà la seconda voce della riga 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: Moltiplicare ogni riga per il reciproco del suo primo valore diverso da zero. Questo farà iniziare ogni riga con un 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is ora in forma di scaglione di riga: tutte le righe diverse da zero sono sopra qualsiasi riga di tutti gli zeri (non ci sono righe zero), ogni voce iniziale di una riga si trova in una colonna a destra della voce iniziale della riga sopra di essa e tutte le voci in una colonna sotto una voce iniziale sono zeri.

Come può e verrà mostrato in seguito, da questa forma si può osservare che il sistema ha infinite soluzioni. Per ottenere queste soluzioni, la matrice viene ulteriormente ridotta in forma di scaglione ridotto.

Passo 6: impostare la riga 2 alla riga 2 più (-1) volte la riga 3 e la riga 1 alla riga 1 più (-2) volte la riga 3. Ciò eliminerà le voci sopra la voce iniziale della riga 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Impostare la riga 1 sulla riga 1 più 3 volte la riga 2. Ciò elimina la voce sopra la voce iniziale della riga 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a modulo scaglione ridotto, poiché la voce iniziale in ogni riga diversa da zero è 1 e ogni 1 iniziale è l’unica voce diversa da zero nella sua colonna.

Da questo la soluzione del sistema può essere letta:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}