L’oggetto di analisi reale si occupa di studiare il comportamento e le proprietà delle funzioni, le sequenze, e imposta sulla linea numero reale, che indichiamo come matematicamente familiare R. Concetti che vogliamo esaminare, attraverso analisi reale includere proprietà come Limiti, Continuità, Derivate (tassi di variazione), e l’Integrazione (quantità di cambiamento nel corso del tempo). Molte di queste idee sono, a livello concettuale o pratico, trattati a livelli inferiori di matematica, tra cui un regolare corso di calcolo del primo anno, e così, per chi non lo sapesse lettore, il soggetto di analisi reale può sembrare piuttosto insensato e banale. Tuttavia, l’analisi reale è a una profondità, complessità e probabilmente bellezza, che è perché sotto la superficie della matematica quotidiana, c’è una garanzia di correttezza, che chiamiamo rigore, che permea l’intera matematica. Pertanto, l’analisi reale può, in una certa misura, essere vista come uno sviluppo di un quadro rigoroso e ben collaudato per supportare le idee intuitive che spesso diamo per scontate.

L’analisi reale è un argomento molto semplice, in quanto è semplicemente uno sviluppo quasi lineare di idee matematiche che hai incontrato durante la tua storia di matematica. Tuttavia, invece di fare affidamento su intuizioni a volte incerte (che tutti abbiamo sentito quando stavamo risolvendo un problema che non capivamo), lo ancoreremo a un rigoroso insieme di teoremi matematici. In tutto questo libro, inizieremo a vedere che non abbiamo bisogno di intuizione per capire la matematica – abbiamo bisogno di un manuale.

La tesi generale di questo libro è come definire assiomaticamente i numeri reali. Come funzionerebbe? Questo libro leggerà in questo modo: abbiamo stabilito le proprietà che pensiamo definiscano i numeri reali. Quindi dimostriamo da queste proprietà-e solo da queste proprietà-che i numeri reali si comportano nel modo in cui li abbiamo sempre immaginati comportarsi. Quindi rielaboreremo tutti i nostri teoremi elementari e fatti che abbiamo raccolto nelle nostre vite matematiche in modo che tutto si riunisca, quasi come se fosse sempre stato vero prima di analizzarlo; che era in realtà rigoroso per tutto il tempo – tranne che ora sapremo come è nato.

Non credere che una volta completato questo libro, la matematica sia finita. In altri campi di studio accademico, ci sono scorci di uno strano regno della matematica sempre più portato alla ribalta del pensiero standard. Dopo aver compreso questo libro, la matematica ora sembrerà come se fosse incompleta e priva di concetti che forse ti sei chiesta prima. In questo libro, forniremo scorci di qualcosa di più alla matematica rispetto ai numeri reali e all’analisi reale. Dopotutto, la matematica di cui parliamo qui sembra sempre coinvolgere solo una variabile in un mare di numeri, operazioni e confronti.

Nota: una tabella dei simboli matematici utilizzati di seguito e le loro definizioni è disponibile nell’appendice.

• Prefazione
• Vecchia Introduzione
• Manuale di stile – Come leggere questo wikibook

Un elenco selezionato di capitoli curati da altri libri sono elencati di seguito. Dovrebbero aiutare a sviluppare il tuo rigore matematico che è una modalità di pensiero necessaria di cui avrai bisogno in questo libro e in matematica superiore.

• La notazione della teoria degli insiemi e le prove matematiche, dal libro Mathematical Proof
• L’esperienza di lavorare con i concetti di calcolo, dal libro Calculus