Biografia

I genitori di Paul Cohen, Abraham e Minnie Cohen, erano immigrati ebrei negli Stati Uniti dalla loro terra natale, la Polonia. Abraham Cohen era fondamentalmente un uomo di lavoro strano, girando la mano a una varietà di lavori diversi, mentre sua moglie ha portato in alcuni soldi tanto necessari per la famiglia dalla sartoria. Paul era il più giovane dei quattro figli dei suoi genitori e fu allevato a Brooklyn, New York. Fu allevato da sua madre dall’età di nove anni poiché a quel tempo i suoi genitori si separarono. Interessato alla matematica fin dall’infanzia, ha iniziato a studiare matematica avanzata fin dalla giovane età. Lui:-

… aveva solo nove anni quando sua sorella Sylvia controllato un libro su calcolo da una biblioteca di New York per lui. I bibliotecari erano riluttanti a farle avere il libro, molto meno per il fratello minore, sostenendo che anche alcuni professori universitari non capivano il calcolo.

Durante la sua adolescenza è stato considerato come un prodigio matematico, sorprendente tutto intorno a lui con le abilità che ha mostrato in concorsi di matematica. Frequentò la Stuyvesant High School di New York City, diplomandosi nel 1950 all’età di sedici anni. Questa scuola, con un’alta reputazione per la matematica e la scienza, ha accettato solo i migliori studenti dopo aver sostenuto un esame di ammissione. Dopo la laurea presso Stuyvesant High School, Cohen è stato uno studente al Brooklyn College dal 1950 fino al 1953, ma ha lasciato senza prendere una laurea essendo stato ammesso a studi universitari presso l’Università di Chicago dopo aver fatto una visita per discutere le sue opzioni di ricerca a Chicago. Ha studiato per il suo master a Chicago, prendendo corsi per adattarsi con il suo obiettivo, al momento, che è stato quello di intraprendere ricerche in teoria dei numeri. La sua conoscenza della teoria dei numeri prima di arrivare a Chicago è stato da un certo numero di testi classici che aveva letto da solo, mentre al College. Per adattarsi a questo scopo ha iniziato a lavorare sulla teoria dei numeri supervisionato da André Weil. Ha ricevuto la sua laurea nel 1954, ma egli è venuto per essere più interessati al fatto che alcuni risultati di teoria dei numeri sono stati non decidibile superiore in numero di teoria, teoria dei numeri, tuttavia, è rimasto un argomento di interesse per lui tutta la sua carriera :-

prese l’abitudine di chiedere i docenti e gli altri studenti che i problemi più importanti che sono stati nei loro campi, perché questi sono stati gli unici problemi che ha voluto risolvere.

Continuando a studiare a Chicago per il suo dottorato sotto la supervisione di Antoni Zygmund è stato assegnato il suo dottorato di ricerca nel 1958 per i suoi argomenti tesi di dottorato nella Teoria dell’unicità delle serie trigonometriche. In questa tesi, Cohen afferma che:-

… desidera esprimere la sua più profonda gratitudine al professor A Zygmund per il suo costante aiuto e incoraggiamento durante la preparazione di questa tesi.

Inizia l’Introduzione mettendo in contesto l’argomento della tesi :-

La teoria dell’unicità delle serie trigonometriche può essere considerata come l’arsing dalla questione di decidere in che senso la serie di Fourier di una funzione può essere considerata come la legittima espansione della funzione in una serie trigonometrica infinita. Sappiamo, naturalmente, che se la serie converge vincolata alla funzione, allora in effetti i coefficienti della serie devono essere dati dalle formule di Eulero-Fourier. Tuttavia, in assenza di tale condizione, possiamo chiederci se due serie trigonometriche possano convergere ovunque alla stessa funzione. La risposta a questa domanda è negativa ed è stata essenzialmente dimostrata da Riemann, la prova è stata completata da Cantor. È con la sostituzione della condizione di convergenza ovunque con quella di convergenza quasi ovunque, che la teoria degli insiemi di unicità è interessata.

Gli anni come studente di ricerca sono stati buoni per Cohen e ha fatto molte amicizie con altri studenti, amicizie che sarebbero durate per tutta la sua vita. John Thompson era uno di questi compagni di ricerca a Chicago. Cohen, attraverso queste amicizie, aveva anche iniziato a interessarsi alla logica:-

Come studente laureato La connessione di Cohen con la logica erano le sue amicizie con un vivace gruppo di studenti che divennero logici; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan e Stanley Tennenbaum. Per un po ‘ ha vissuto in casa di Tennenbaum e assorbito la logica per osmosi, per non ci sono stati corsi di logica nel dipartimento di matematica di Chicago.

Nel 1957, prima dell’assegnazione del dottorato, Cohen fu nominato istruttore di matematica all’Università di Rochester per un anno. Ha poi trascorso l’anno accademico 1958-59 presso il Massachusetts Institute of Technology prima di spendere 1959-61 come fellow presso l’Institute for Advanced Study di Princeton. Questi sono stati anni in cui Cohen ha fatto una serie di significative scoperte matematiche. In Fattorizzazione in algebre di gruppo (1959) ha dimostrato che qualsiasi funzione integrabile su un gruppo localmente compatto è la convoluzione di due tali funzioni, risolvendo un problema posto da Walter Rudin. In On a congecture of Littlewood and idempotent measures (1960) Cohen fece un significativo passo avanti nel risolvere la congettura di Littlewood. In precedenza aveva scritto a Harold Davenport parlandogli di questo risultato e Davenport ha risposto:-

… a Paolo dicendo che se la prova di Paolo tenuto fino, avrebbe migliorato una generazione di analisti britannici che avevano lavorato duramente su questo problema. La prova di Paolo ha resistito; infatti, Davenport è stato il primo a migliorare il risultato di Paolo.

Nel 1961 Cohen è stato nominato alla facoltà di Stanford University come assistente professore di matematica. E ‘ stato promosso a professore associato in matematica l’anno successivo e, anche nel 1962, è stato assegnato un Alfred P Sloan research fellowship. Nell’agosto del 1962 Cohen ha partecipato al Congresso Internazionale dei matematici a Stoccolma. E ‘ stato un invitato relatore dando l’indirizzo Idempotent misure e omomorfismi di gruppo algebre. Durante una crociera da Stoccolma a Leningrado, dopo il Congresso, Cohen incontrò Christina Karls da Malung, Svezia. Si sposarono il 10 ottobre 1963 e ebbero tre figli, i gemelli Eric e Steven e Charles.
E ‘ stato promosso a professore ordinario presso la Stanford University nel 1964 dopo aver, da questo momento, risolto uno dei più difficili problemi aperti in matematica. Cohen ha usato una tecnica chiamata “forzare” per dimostrare l’indipendenza nella teoria degli insiemi dell’assioma della scelta e dell’ipotesi del continuum generalizzato. Angus MacIntyre scrive :-

Un aspetto drammatico del lavoro di ipotesi del continuum è che Cohen era un outsider autodidatta nella logica. Il suo lavoro sulla teoria degli insiemi e sui campi p-adici ha uno stile molto caratteristico, combinatorio e piuttosto libero dalla teoria generale.

In Cohen spiega come è venuto all’idea di forzare dalla lettura di Kurt Gödel The Consistency of the Continuum Hypothesis, un libro composto da note di un corso tenuto presso l’Institute for Advanced Study nel 1938-39. Il continuum ipotesi problema è stato il primo dei famosi 23 problemi di David Hilbert consegnato al Secondo Congresso Internazionale dei matematici a Parigi nel 1900. Il famoso discorso di Hilbert I problemi della matematica sfidato (e oggi ancora sfide) matematici per risolvere queste domande fondamentali e Cohen ha la distinzione di risolvere il problema 1.
Aveva iniziato a lavorare sulla indipendenza del continuum ipotesi verso la fine del 1962. Nell’aprile del 1963 sentiva che le cose andavano a posto :-

Ci sono alcuni momenti in ogni scoperta matematica quando la risoluzione di un problema avviene a un livello così subconscio che, in retrospettiva, sembra impossibile sezionarlo e spiegarne l’origine. Piuttosto, l’intera idea si presenta contemporaneamente, spesso forse in una forma vaga, ma gradualmente diventa più precisa.

Dopo aver letto la prova di Cohen che inviò in una lettera del 9 maggio 1963, Kurt Gödel gli rispose:-

Permettetemi di ripetere che è davvero un piacere leggere la tua prova dell’indipendenza dell’ipotesi del continuum. Credo che, sotto tutti gli aspetti essenziali, lei abbia dato la migliore prova possibile, e ciò non accade di frequente. Leggere la tua prova ha avuto un effetto simile piacevole su di me come vedere un gioco davvero bello.

Cohen ha parlato del suo lavoro sull’indipendenza dell’assioma della scelta e l’ipotesi del continuum dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel in una conferenza Independence results in set theory tenuta al simposio internazionale sulla ‘Teoria dei modelli’ a Berkeley il 4 luglio 1963. La sua prova apparve nei due documenti L’indipendenza dell’ipotesi del continuum (1963) e L’indipendenza dell’ipotesi del continuum. II (1964). Andrzej Mostowski, rivedendo il primo di questi, scrive:-

Questi risultati presentano le soluzioni tanto attese dei problemi aperti più importanti della teoria assiomatica degli insiemi e dovrebbero essere valutati come il più importante progresso nello studio della teoria assiomatica degli insiemi dalla pubblicazione della monografia di Gödel del 1940 “The consistency of the continuum hypothesis” (1940). … a questo recensore sembra più che probabile che l’influenza della scoperta di Cohen sarà almeno altrettanto profonda nella metamatematica come nella filosofia generale della matematica (e forse non solo della matematica).

Angus MacIntyre, che era uno studente laureato a Stanford dal 1964 al 1967, scrive:-

Mi ha ispirato quando ero un giovane matematico. Non l’ho mai sentito parlare di teoria degli insiemi, ma piuttosto di geometria algebrica e campi p-adici. Aveva uno stile molto particolare, pieno di entusiasmo e molto ‘hands on.”Ha usato il meno possibile la teoria generale e ha sempre trasmesso la sensazione di essere arrivato al cuore delle cose. Le sue tecniche, anche in qualcosa di astratto come la teoria degli insiemi, erano molto costruttive. Era scoraggiante intelligente, e uno avrebbe dovuto essere ingenuo o, eccezionalmente, di altruismo di mettere ‘più difficile” problema ” di Paul sapevo che negli anni ’60.

un articolo di Paul Cohen sulla matematica e l’insegnamento a QUESTO LINK
Nel 1966 Cohen ha pubblicato la monografia la teoria degli insiemi e il continuum ipotesi basate su un corso che ha dato all’Harvard nella primavera del 1965. Azriel Lévy (che per primo ha ascoltato i risultati di Cohen alla Berkeley model theory conference) scrive:-

Questa monografia è principalmente un’esposizione dei celebri risultati dell’autore, vale a dire l’indipendenza dell’ipotesi del continuo e l’assioma della scelta. Inoltre presenta anche i principali risultati classici in logica e teoria degli insiemi. … Questo libro presenta un approccio fresco e intuitivo e dà alcuni scorci nel processo mentale che ha portato l’autore alle sue scoperte. Il lettore troverà in questo libro la giusta quantità di osservazioni filosofiche per una monografia matematica.

Nello stesso anno Cohen ha ricevuto una Medaglia Fields per il suo lavoro fondamentale sui fondamenti della teoria degli insiemi. Gli fu presentato da Mstislav Vsevolodovich Keldysh, Presidente dell’Accademia delle Scienze dell’URSS, al Congresso Internazionale dei Matematici del 1966 a Mosca. Solo una medaglia Fields (Lars Ahlfors) ha ricevuto la medaglia Fields in giovane età. Alonzo Church ha dato un discorso al Congresso su Paul J Cohen e il problema del continuum che descrive i notevoli risultati di Cohen. La medaglia Fields, tuttavia, non fu il primo premio che Cohen ricevette. Nel 1964 ha ricevuto il Bôcher Memorial Prize dalla American Mathematical Society: –

…per la sua carta, Su una congettura di Littlewood e misure idempotent, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

Tre anni dopo, nel 1967, Cohen ha ricevuto la National Medal of Science:-

Per i risultati epocali nella logica matematica che hanno animato e ampliato le indagini nella fondazione della matematica.

Ricevette il premio dal presidente Lyndon B Johnson in una cerimonia alla Casa Bianca il 13 febbraio 1968. Egli è stato anche eletto alla National Academy of Sciences, l’American Academy of Arts and Sciences, e come membro straniero onorario della London Mathematical Society.
Oltre al suo lavoro sulla teoria degli insiemi, Cohen ha lavorato su equazione differenziale e analisi armonica. Dawn Levy riporta nei commenti fatti su Cohen da Peter Sarnak (professore di matematica a Princeton e un ex studente di dottorato di Cohen con la tesi Primi teoremi geodetici (1980)): –

Paul Cohen è stato uno dei matematici più brillanti del 20 ° secolo. Come molti grandi matematici, i suoi interessi matematici e contributi sono stati molto ampi, che vanno dall’analisi matematica e equazioni differenziali alla logica matematica e teoria dei numeri. Questa ampiezza è stata evidenziata in una conferenza tenutasi a Stanford lo scorso settembre che celebra il lavoro di Cohen e il suo 72 ° compleanno. Il raduno era composto da esperti di spicco in diversi campi che normalmente non si trovavano ad ascoltare lo stesso insieme di lezioni. … Cohen era un docente ed insegnante dinamico ed entusiasta. Ha reso la matematica semplice e unificata. Era sempre desideroso di condividere le sue molte idee e intuizioni in diversi campi. La sua passione per la matematica non è mai diminuita.

Macintyre scrive degli importanti documenti prodotti da Cohen dopo i suoi eccezionali risultati sull’ipotesi del continuum:-

Nel 1969 Cohen pubblicò un documento molto originale sulla decomposizione delle cellule p-adiche, dando una versione costruttiva dei famosi risultati di Ax-Kochen-Erov. Ora è fondamentale per l’analisi logica dell’integrazione motivica. Dal 1969 Cohen si dedicò ad alcuni dei problemi più impegnativi e inflessibili, come l’ipotesi di Riemann. Era un matematico appassionato e stimolante.

Kathy Owen, che ha trascorso del tempo a Stanford nel 1970, ha scritto su Cohen in quel momento:-

Paul era un uomo sorprendente. Impaziente, irrequieto, competitivo, provocatorio e brillante. Era un regolare all’ora del caffè per gli studenti laureati e la facoltà. Amava il taglio e la spinta del dibattito e dell’argomento su qualsiasi argomento ed era implacabile se trovava una debolezza logica in un punto di vista opposto. Non c’era semplicemente nessun posto dove nascondersi! Si è distinto per il suo intelletto affilatissimo, il suo fascino per le grandi domande, il suo strano interesse per il “passo perfetto” (ha portato un diapason all’ora del caffè e ha testato tutti) e la sua lieve irritazione con i pochi che hanno il passo perfetto. Era un uomo straordinario, un caro amico che ha avuto un grande impatto sulla mia vita, una luce con l’intero spettro dei colori.

Cohen è stato nominato Marjorie Mhoon Fair Professor in Quantitative Science a Stanford nel 1972, essendo il primo titolare di questa cattedra. Si ritirò formalmente nel 2004, ma continuò ad insegnare a Stanford fino a poco prima della sua morte. Morì di una rara malattia polmonare allo Stanford Hospital di Palo Alto.
Per quanto riguarda gli interessi di Cohen al di fuori della matematica, ha giocato sia il pianoforte e violino, ha cantato in un coro di Stanford, ed è stato un membro di un gruppo folk svedese. Era un linguista esperto che parlava svedese, francese, spagnolo, tedesco e yiddish. Lui e sua moglie hanno ospitato frequenti cene per studenti, colleghi e amici. Amava mostrare i visitatori in giro per San Francisco e la zona circostante.
Concludiamo questa biografia citando le reminiscenze di Cohen sul suo lavoro sull’ipotesi del continuum:-

… è un po ‘ curioso che in un certo senso l’ipotesi del continuum e l’assioma della scelta non siano problemi realmente difficili – non implicano complessità tecnica; tuttavia, all’epoca erano considerati difficili. Si potrebbe dire in modo umoristico che l’atteggiamento verso la mia prova era il seguente. Quando è stato presentato per la prima volta, alcune persone hanno pensato che fosse sbagliato. Poi è stato pensato per essere estremamente complicato. Poi è stato pensato per essere facile. Ma naturalmente è facile nel senso che c’è una chiara idea filosofica. C’erano punti tecnici, sapete, che mi infastidivano, ma fondamentalmente non era davvero un problema combinatorio enormemente coinvolto; era un’idea filosofica.