Il modello SIR è uno dei modelli compartimentali più semplici e molti modelli sono derivati di questa forma di base. Il modello è costituito da tre scomparti: –

S: Il numero di individui sensibili. Quando un individuo suscettibile e un individuo infettivo entrano in” contatto infettivo”, l’individuo suscettibile contrae la malattia e passa al compartimento infettivo. I: Il numero di individui infettivi. Questi sono individui che sono stati infettati e sono in grado di infettare individui sensibili. R per il numero di individui rimossi (e immuni) o deceduti. Questi sono individui che sono stati infettati e hanno recuperato dalla malattia e sono entrati nel compartimento rimosso o sono morti. Si presume che il numero di morti sia trascurabile rispetto alla popolazione totale. Questo compartimento può anche essere chiamato “recuperato”o ” resistente”.

Questo modello è ragionevolmente predittivo per le malattie infettive che vengono trasmesse da uomo a uomo e dove il recupero conferisce resistenza duratura, come il morbillo, la parotite e la rosolia.

Queste variabili (S, I e R) rappresentano il numero di persone in ogni compartimento in un determinato momento. Per rappresentare che il numero di individui sensibili, infettivi e rimossi può variare nel tempo (anche se la dimensione totale della popolazione rimane costante), rendiamo i numeri precisi una funzione di t(tempo): S(t), I(t) e R (t). Per una malattia specifica in una popolazione specifica, queste funzioni possono essere elaborate al fine di prevedere possibili focolai e portarli sotto controllo.

Come implicito dalla funzione variabile di t, il modello è dinamico in quanto i numeri in ciascun compartimento possono fluttuare nel tempo. L’importanza di questo aspetto dinamico è più evidente in una malattia endemica con un breve periodo infettivo, come il morbillo nel Regno Unito prima dell’introduzione di un vaccino nel 1968. Tali malattie tendono a verificarsi in cicli di focolai a causa della variazione del numero di suscettibili (S(t)) nel tempo. Durante un’epidemia, il numero di individui sensibili diminuisce rapidamente poiché più di loro sono infetti e quindi entrano nei compartimenti infettivi e rimossi. La malattia non può scoppiare di nuovo fino a quando il numero di suscettibili non si è ricostituito, ad esempio a causa della nascita della prole nel compartimento suscettibile.

ne consegue che:

S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = costante = N {\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{costante}}=N,}

esprimere in termini matematici la costanza della popolazione di N {\displaystyle N}

. Si noti che la relazione di cui sopra implica che basta studiare l’equazione per due delle tre variabili.

In secondo luogo, notiamo che la dinamica della classe infettiva dipende dal seguente rapporto:

R 0 = β γ, {\displaystyle R_{0} = {\frac {\beta} {\gamma }},}

il cosiddetto numero di riproduzione di base (chiamato anche rapporto di riproduzione di base). Questo rapporto è derivato come il numero atteso di nuove infezioni (queste nuove infezioni sono talvolta chiamate infezioni secondarie) da una singola infezione in una popolazione in cui tutti i soggetti sono sensibili. Questa idea può probabilmente essere più facilmente visto se diciamo che il tempo tipico tra i contatti è T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

, e il tipico tempo fino a quando la rimozione è T r = γ − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}

. Da qui ne consegue che, in media, il numero di contatti di un individuo infettivo con altri prima che l’infettivo sia stato rimosso è: T r / T c . Per maggiori informazioni: Per maggiori informazioni clicca qui.}

dividendo la prima equazione differenziale del terzo, separando le variabili e integrando otteniamo

S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R{0}(R(t)-R(0))/N},}

dove S ( 0 ) {\displaystyle S(0)}

e R ( 0 ) {\displaystyle R(0)}

sono i numeri iniziali, rispettivamente, sensibili e rimosso soggetti. Iscritto s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

per la percentuale iniziale di individui suscettibili, e s ∞ = S ( ∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}

e r ∞ = R ( ∞ ) / N {\displaystyle r{\infty }=R(\infty )/N}

per la proporzione di suscettibili e rimosso negli individui il limite t → ∞ , {\displaystyle t\to \infty ,}

uno ha s ∞ = 1 − r ∞ = s 0 e − R 0 ( r ∞ − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R{0}(r_{\infty }-r{0})}}

(si noti che l’infettive vano si svuota in questo limite).Questa equazione trascendentale ha una soluzione in termini di funzione W di Lambert, vale a dire

s ∞ = 1 − r ∞ = − R 0 − 1 W (−s 0 R 0 e − R 0 ( 1-r 0 ) ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Questo mostra che alla fine di un’epidemia conforme alle semplici ipotesi del modello SIR, a meno che s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, non tutti gli individui della popolazione sono stati rimossi, quindi alcuni devono rimanere sensibili. Una forza trainante che porta alla fine di un’epidemia è un calo del numero di individui infettivi. L’epidemia non termina in genere a causa di una completa mancanza di individui sensibili.

Il ruolo sia del numero di riproduzione di base che della suscettibilità iniziale sono estremamente importanti. Infatti, dopo aver riscritto l’equazione per gli individui infettivi come segue:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) γ io , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}

se ne ricava che se:

R 0 ⋅ S ( 0 ) > N {\displaystyle R{0}\cdot S(0)>N,}

poi:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

cioè, ci sarà una vera epidemia, con un aumento del numero dei infettive (che può raggiungere una notevole frazione della popolazione). Se, al contrario,

R 0 ⋅ S ( 0 ) < N {\displaystyle R{0}\cdot S(0)<N,}

d I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}

cioè, indipendentemente dalla dimensione iniziale della popolazione sensibili, la malattia può causare mai un corretto epidemia. Di conseguenza, è chiaro che sia il numero di riproduzione di base che la suscettibilità iniziale sono estremamente importanti.

La forza dell’infezionemodifica

Si noti che nel modello precedente la funzione:

F = β I , {\displaystyle F=\beta I,}

modella la velocità di transizione dal compartimento di individui sensibili al compartimento di individui infettivi, in modo che sia chiamata la forza dell’infezione. Tuttavia, per grandi classi di malattie trasmissibili è più realistico considerare una forza di infezione che non dipende dal numero assoluto di soggetti infettivi, ma dalla loro frazione (rispetto alla popolazione totale costante N {\displaystyle N}

): F = β I N . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Capasso e, successivamente, altri autori hanno proposto forze non lineari di infezione per modellare più realisticamente il processo di contagio.

Soluzioni analitiche esatte al modello SIREDIT

Nel 2014, Harko e coautori hanno derivato una cosiddetta soluzione analitica esatta (che comprende un integrale che può essere calcolato solo numericamente) al modello SIR. Nel caso senza configurazione dinamica vitale , per S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)}

, ecc. corrisponde il seguente parametrizzazione di S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}

R ( u ) = R ( 0 ) − r ln ⁡ ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}

t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

con condizioni iniziali

( S ( 1 ) , I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , u T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Da trascendentale equazione per R ∞ {\displaystyle R{\infty }}

sopra, ne segue che u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

se S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

e io ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

Un equivalente cosiddetta soluzione analitica (con il coinvolgimento di un integrale che può essere calcolato solo numericamente) trovato da Miller rendimenti

S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}

Qui ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)}

può essere interpretato come il numero previsto di trasmissioni che un individuo ha ricevuto dal tempo t {\displaystyle t}

. Le due soluzioni sono correlate da e-ξ (t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

Effettivamente lo stesso risultato può essere trovato nel lavoro originale di Kermack e McKendrick.

Queste soluzioni possono essere facilmente comprese osservando che tutti i termini sul lato destro delle equazioni differenziali originali sono proporzionali a I {\displaystyle I}

. Le equazioni possono essere così suddivise attraverso I {\displaystyle I}

, e il tempo riproporzionato in modo che l’operatore differenziale sul lato sinistro diventa semplicemente d / d τ {\displaystyle d/d\tau }

dove d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt}

, cioè τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt}

. Le equazioni differenziali sono ora tutte lineari, e la terza equazione, della forma d R / d τ = {\displaystyle dR / d \ tau=}

const. mostra che τ {\displaystyle \tau }

e R {\displaystyle R}

(e ξ {\displaystyle \xi }

sopra) sono semplicemente correlato linearmente.

Un approssimante analitico altamente accurato del modello SIR è stato fornito da Kröger e Schlickeiser, in modo che non sia necessario eseguire un’integrazione numerica per risolvere il modello SIR, per ottenere i suoi parametri dai dati esistenti o per prevedere le dinamiche future di un’epidemia modellata dal modello SIR. L’approximant coinvolge la funzione Lambert W che fa parte di tutti i software di visualizzazione dei dati di base come Microsoft Excel, MATLAB e Mathematica.

Il modello SIR con dinamica vitale e costante populationEdit

si Consideri una popolazione caratterizzata da un tasso di mortalità µ {\displaystyle \mu }

e il tasso di natalità Λ {\displaystyle \Lambda }

e dove una malattia trasmissibile, si sta diffondendo. Il modello con trasmissione ad azione di massa è: d S d t = Λ − µ S − β I S a N o d I d a t = β I S N − γ I − m I d a R d t = γ I − µ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda\mu S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma I-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}

per che l’equilibrio libero da malattia (DFE) è:

( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = ( Λ μ , 0 , 0 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.

In questo caso, possiamo ricavare un numero di riproduzione di base:

R 0 = β μ + γ , {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}

che ha proprietà di soglia. Infatti, indipendentemente dai valori iniziali biologicamente significativi, si può dimostrare che:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ, µ , 0 , 0 ) {\displaystyle R{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}

R 0 >> 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R 0 − 1 ) , γ β ( R 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R{0}>>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R{0}-1\right)\right).}

Il punto EE è chiamato Equilibrio Endemico (la malattia non è completamente debellata e rimane nella popolazione). Con euristica argomenti, si può mostrare che R 0 {\displaystyle R{0}}

può essere letto come il numero medio di infezioni causate da un singolo infettive soggette a una società interamente di popolazione sensibili, la suddetta relazione biologicamente significa che se questo numero è inferiore o uguale a uno, la malattia va estinto, mentre se questo numero è maggiore di uno la malattia rimarrà permanentemente endemica nella popolazione.

The SIR modelEdit

Nel 1927, W. O. Kermack e A. G. McKendrick crearono un modello in cui consideravano una popolazione fissa con solo tre compartimenti: suscettibile, S ( t ) {\displaystyle S(t)}

; infetti, I ( t ) {\displaystyle I(t)}

; e recuperato, R ( t ) {\displaystyle R(t)}

. I compartimenti utilizzati per questo modello sono costituiti da tre classi:

• S ( t ) {\displaystyle S(t)}
  

  viene utilizzato per rappresentare gli individui non ancora infettati dalla malattia al momento t, o quelli sensibili alla malattia della popolazione.

• I ( t ) {\displaystyle I(t)}
  

  indica gli individui della popolazione che sono stati infettati dalla malattia e sono in grado di diffondere la malattia a quelli della categoria suscettibile.

• R ( t ) {\displaystyle R(t)}
  

  è il compartimento utilizzato per gli individui della popolazione che sono stati infettati e quindi rimossi dalla malattia, a causa dell’immunizzazione o a causa della morte. Quelli in questa categoria non sono in grado di essere infettati di nuovo o di trasmettere l’infezione ad altri.

Il flusso di questo modello può essere considerato come segue:

S → I → R {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}

l’Utilizzo di una popolazione fissa, N = S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) {\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}

delle tre funzioni che risolve il valore di N {\displaystyle N}

dovrebbe rimanere costante all’interno della simulazione, se è una simulazione utilizzato per risolvere il modello SIR. In alternativa, l’approssimante analitico può essere utilizzato senza eseguire una simulazione. Il modello è iniziato con i valori di S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

e R ( t = 0 ) {\displaystyle R(t=0)}

. Questi sono il numero di persone nelle categorie sensibili, infette e rimosse a tempo uguale a zero. Se si presume che il modello SIR rimanga in ogni momento, queste condizioni iniziali non sono indipendenti. Successivamente, il modello di flusso aggiorna le tre variabili per ogni punto temporale con valori impostati per β {\displaystyle \beta }

e γ {\displaystyle \gamma }

. La simulazione aggiorna prima l’infetto dalla categoria suscettibile e quindi la categoria rimossa viene aggiornata dalla categoria infetta per il punto temporale successivo (t=1). Questo descrive le persone di flusso tra le tre categorie. Durante un’epidemia, le suscettibile di categoria non viene spostato con questo modello, β {\displaystyle \beta }

cambia nel corso dell’epidemia e così fa γ {\displaystyle \gamma }

. Queste variabili determinano la durata dell’epidemia e dovrebbero essere aggiornate con ogni ciclo. d S d t = − β S I N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}

d I d a t = β S I N − γ I {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I}

d R d t = γ I {\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}

Diverse ipotesi che sono state fatte nella formulazione di queste equazioni: In primo luogo, la popolazione deve essere considerato con un’uguale probabilità, come ogni altro individuo di contrarre la malattia con un tasso di {\displaystyle a}

e da un pari frazione b {\displaystyle b}

di persone che un individuo entra in contatto con per unità di tempo. Quindi, lasciate che β {\displaystyle \beta }

essere la moltiplicazione di un {\displaystyle a}

e b {\displaystyle b}

. Questa è la probabilità di trasmissione per la velocità di contatto. Inoltre, un individuo infetto viene a contatto con b {\displaystyle b}

persone per unità di tempo, considerando che solo una frazione, S N {\displaystyle {\frac {S}{N}}}

sono sensibili.Abbiamo, dunque, ogni infettivi in grado di infettare un b S = β S {\displaystyle abS=\beta S}

persone sensibili, e, di conseguenza, l’intero numero di susceptibles infettato da infettivi per unità di tempo è β S I {\displaystyle \beta SI}

. Per la seconda e la terza equazione, considerare la popolazione che lascia la classe suscettibile come uguale al numero che entra nella classe infetta. Tuttavia, un numero pari alla frazione γ {\displaystyle \gamma }

(che rappresenta la media di recupero/tasso di mortalità, o 1 / γ {\displaystyle 1/\gamma }

il dire infettiva periodo) di infettivi stanno lasciando questa classe per unità di tempo per inserire il rimosso di classe. Questi processi che avvengono simultaneamente sono indicati come la Legge dell’azione di massa, un’idea ampiamente accettata che il tasso di contatto tra due gruppi in una popolazione è proporzionale alla dimensione di ciascuno dei gruppi interessati. Infine, si presume che il tasso di infezione e recupero sia molto più veloce della scala temporale delle nascite e delle morti e, pertanto, questi fattori vengono ignorati in questo modello.

Steady-state solutionsEdit

La durata prevista di suscettibilità, sarà ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }

dove T L {\displaystyle T_{L}}

riflette il tempo vivo (aspettativa di vita) e T S {\displaystyle T_{S}}

riflette il tempo in sensibile di stato, prima di diventare infetto, che può essere semplificata per: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 µ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

tale che il numero di persone sensibili, è il numero di entrare sensibili vano µ N {\displaystyle \mu N}

volte la durata di suscettibilità: S = µ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

Analogamente, la steady-state di numero di persone infette è il numero di entrare in stato infettato da suscettibile di stato (numero di soggetti, tempi di tasso di infezione λ = β N {\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}

volte la durata della contagiosità 1 µ + v {\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}

: I = N μ μ + λ λ 1 µ + v . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Altri compartimentale modelsEdit

Ci sono molte modifiche del modello SIR, tra cui quelle che comprendono le nascite e le morti, in cui al momento di recupero non c’è immunità (SIS modello), in cui l’immunità dura solo per un breve periodo di tempo (SIRS), dove c’è un periodo di latenza della malattia in cui la persona non è infettiva (SEIS e SEIR), e dove i bambini possono nascere con l’immunità (MSIR).