Le equazioni in questa sezione non usano assiomi della meccanica quantistica ma usano invece relazioni per le quali esiste una corrispondenza diretta nella meccanica classica.

Ad esempio: un reticolo rigido regolare, cristallino (non amorfo) è composto da N particelle. Queste particelle possono essere atomi o molecole. N è un numero elevato, ad esempio dell’ordine di 1023, o dell’ordine del numero di Avogadro per un campione tipico di un solido. Poiché il reticolo è rigido, gli atomi devono esercitare forze l’uno sull’altro per mantenere ogni atomo vicino alla sua posizione di equilibrio. Queste forze possono essere forze di Van der Waals, legami covalenti, attrazioni elettrostatiche e altre, tutte dovute alla forza elettrica. Le forze magnetiche e gravitazionali sono generalmente trascurabili. Le forze tra ogni coppia di atomi possono essere caratterizzate da una funzione di energia potenziale V che dipende dalla distanza di separazione degli atomi. L’energia potenziale dell’intero reticolo è la somma di tutte le energie potenziali a coppie moltiplicate per un fattore di 1/2 per compensare il doppio conteggio:

1 2 ∑ i ≠ j V ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r{j}\right)}

dove ri è la posizione dell’i-esimo atomo, e V è il potenziale di energia tra due atomi.

È difficile risolvere questo problema di molti corpi esplicitamente nella meccanica classica o quantistica. Per semplificare il compito, di solito vengono imposte due importanti approssimazioni. Innanzitutto, la somma viene eseguita solo su atomi vicini. Sebbene le forze elettriche nei solidi reali si estendano all’infinito, questa approssimazione è ancora valida perché i campi prodotti dagli atomi distanti sono effettivamente schermati. In secondo luogo, i potenziali V sono trattati come potenziali armonici. Questo è permesso finché gli atomi rimangono vicini alle loro posizioni di equilibrio. Formalmente, questo è ottenuto da Taylor che espande V sul suo valore di equilibrio in ordine quadratico, dando V proporzionale allo spostamento x2 e alla forza elastica semplicemente proporzionale a x. L’errore nell’ignorare i termini di ordine superiore rimane piccolo se x rimane vicino alla posizione di equilibrio.

Il reticolo risultante può essere visualizzato come un sistema di sfere collegate da molle. La figura seguente mostra un reticolo cubico, che è un buon modello per molti tipi di solidi cristallini. Altri reticoli includono una catena lineare, che è un reticolo molto semplice che useremo a breve per modellare i fononi. (Per altri reticoli comuni, vedi struttura cristallina.)

L’energia potenziale del reticolo può ora essere scritta come

{{i j } ( n n ) 1 2 n n ω 2 ( R i − R j ) 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Qui, ω è la frequenza naturale dei potenziali armonici, che si presume essere la stessa poiché il reticolo è regolare. Ri è la coordinata di posizione dell’atomo ith, che ora misuriamo dalla sua posizione di equilibrio. La somma rispetto ai vicini più vicini è indicata (nn).

Reticolo wavesEdit

Phonon propagazione attraverso un reticolo quadrato (atom cilindrate esagerate)

a Causa di connessioni tra gli atomi, lo spostamento di uno o più atomi dalle loro posizioni di equilibrio dà origine a un insieme di vibrazioni, onde che si propagano attraverso la grata. Una di queste onde è mostrata nella figura a destra. L’ampiezza dell’onda è data dagli spostamenti degli atomi dalle loro posizioni di equilibrio. La lunghezza d’onda λ è contrassegnata.

Esiste una lunghezza d’onda minima possibile, data dal doppio della separazione di equilibrio a tra gli atomi. Qualsiasi lunghezza d’onda più corta di questa può essere mappata su una lunghezza d’onda più lunga di 2a, a causa della periodicità del reticolo. Questo può essere pensato come una conseguenza del teorema di campionamento di Nyquist–Shannon, i punti del reticolo sono visti come i “punti di campionamento” di un’onda continua.

Non tutte le possibili vibrazioni del reticolo hanno una lunghezza d’onda e una frequenza ben definite. Tuttavia, le modalità normali possiedono lunghezze d’onda e frequenze ben definite.

Reticolo unidimensionale

Animazione che mostra le prime 6 modalità normali di un reticolo unidimensionale: una catena lineare di particelle. La lunghezza d’onda più breve è in alto, con lunghezze d’onda progressivamente più lunghe sotto. Nelle linee più basse si può vedere il movimento delle onde a destra.

Per semplificare l’analisi necessaria per un reticolo tridimensionale di atomi, è conveniente modellare un reticolo 1-dimensionale o una catena lineare. Questo modello è abbastanza complesso da visualizzare le caratteristiche salienti dei fononi.

Trattamento classicomodifica

Le forze tra gli atomi sono considerate lineari e vicine, e sono rappresentate da una molla elastica. Si presume che ogni atomo sia una particella puntiforme e che il nucleo e gli elettroni si muovano a passo (teorema adiabatico):

n − 1 n n + 1 ← a →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→ → →→→ onu 1 un un + 1

dove n etichette l’n-esimo atomo, per un totale di N, è la distanza tra gli atomi quando la catena è in equilibrio, e l’onu lo spostamento dell’n-esimo atomo dalla sua posizione di equilibrio.

Se C è la costante elastica della molla e m la massa dell’atomo, allora l’equazione del moto dell’ennesimo atomo è

− 2 C u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Questo è un insieme di equazioni accoppiate.

Poiché ci si aspetta che le soluzioni siano oscillatorie, le nuove coordinate sono definite da una trasformata discreta di Fourier, al fine di disaccoppiarle.

Put

u n = N N a k / 2 π = 1 N Q k e i k n a . Per maggiori informazioni clicca qui. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Qui, na corrisponde e devolve alla variabile continua x della teoria dei campi scalari. I Qk sono conosciuti come le coordinate normali, le modalità di campo continuo φk.

La sostituzione nell’equazione del moto produce le seguenti equazioni disaccoppiate (ciò richiede una manipolazione significativa usando le relazioni di ortonormalità e completezza della trasformata discreta di Fourier,

2 C ( cos k k a − 1 ) Q k = md 2 Q k d t 2 . Per ulteriori informazioni, consultare il sito. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.} Queste sono le equazioni per gli oscillatori armonici disaccoppiati che hanno la soluzione Q k = A k e i ω k t ; ω k = 2 C m ( 1 − cos k k a ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Ogni coordinata normale Qk rappresenta una modalità vibrazionale indipendente del reticolo con numero d’onda k, che è nota come modalità normale.

La seconda equazione, per wk, è nota come relazione di dispersione tra la frequenza angolare e il numero d’onda.

Nel limite continuo, a→0, N→∞, con Na tenuto fisso, un → φ(x), un campo scalare, e ω ( k) a k a {\displaystyle \omega (k)\propto ka}

. Ciò equivale alla classica teoria dei campi scalari liberi, un insieme di oscillatori indipendenti.

Quantum treatmentEdit

Una catena armonica meccanica quantistica unidimensionale è costituita da N atomi identici. Questo è il più semplice modello meccanico quantistico di un reticolo che consente ai fononi di derivare da esso. Il formalismo per questo modello è facilmente generalizzabile a due e tre dimensioni.

In qualche contrasto con la sezione precedente, le posizioni delle masse non sono indicate da ui, ma, invece, da x1, x2 measured, come misurato dalle loro posizioni di equilibrio (cioè xi = 0 se la particella i è nella sua posizione di equilibrio.) In due o più dimensioni, gli xi sono quantità vettoriali. L’Hamiltoniana per questo sistema è

H = ∑ i = 1 N p 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { j } ( n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}

dove m è la massa di ciascun atomo (a patto che sia uguale per tutti), e l’xi e il pi, la posizione e quantità di moto operatori, rispettivamente, per l’atomo ith e la somma è fatta sui vicini più vicini (nn). Tuttavia ci si aspetta che in un reticolo potrebbero apparire anche onde che si comportano come particelle. È consuetudine trattare le onde nello spazio di Fourier che utilizza le modalità normali del wavevector come variabili invece delle coordinate delle particelle. Il numero di modalità normali è uguale al numero di particelle. Tuttavia, lo spazio di Fourier è molto utile data la periodicità del sistema.

Si può introdurre un insieme di N “coordinate normali” Qk, definite come le trasformate discrete di Fourier della xk e N “momenti coniugati” Πk definite come le trasformate di Fourier della pk:

Q k = 1 N l l e i k a l x l Π k = 1 N N l e − i k a l p l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}

La quantità kn risulta essere il numero d’onda del fonone, cioè 2π diviso per la lunghezza d’onda.

Questa scelta mantiene desiderato di commutazione relazioni in uno spazio reale o wavevector spazio

= i ℏ δ l , m = 1 N ∑ l , m e i g a l l e − i k ‘m = i ℏ N ∑ l i i a l e ( k − k’ ) = i ℏ δ k , k ‘ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\editormaniglie \delta _{l,m}\\\left&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik am}\left\\&={\frac {i\editormaniglie }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k’\right)}=i\editormaniglie \delta _{k,k’}\\\left&=\left=0\end{aligned}}}

Dal generale risultato

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k, Q, k, Q, k ‘∑ l i i a l e ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k Q k Q − k e ho una m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π Π k − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}

L’energia potenziale del termine

1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e i k − e − i d ) = 1 2 ∑ k I ω k 2 Q k Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}

dove

ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos ⁡ (k ) = 2 ω | peccato ⁡ k 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}

L’Hamiltoniana può essere scritto in wavevector spazio

H = 1 2 m ∑ k ( Π Π k − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}

I giunti tra le variabili di posizione se Q e Π fossero hermitiani (cosa che non sono), l’Hamiltoniana trasformata descriverebbe N oscillatori armonici disaccoppiati.

La forma della quantizzazione dipende dalla scelta delle condizioni al contorno; per semplicità, vengono imposte condizioni al contorno periodiche, definendo l’atomo (N + 1)come equivalente al primo atomo. Fisicamente, questo corrisponde all’unione della catena alle sue estremità. La quantizzazione risultante è

k = k n = 2 π n n a per n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.\ }

Il limite superiore a n deriva dalla lunghezza d’onda minima, che è il doppio della spaziatura del reticolo a, come discusso sopra.

Gli autovalori dell’oscillatore armonico o i livelli di energia per la modalità wk sono:

E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\editormaniglie \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

I livelli sono distribuiti uniformemente in:

1 2 ℏ ω , 3 ℏ 2 ω , 5 ℏ 2 ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\editormaniglie \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\editormaniglie \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\editormaniglie \omega \ \cdots }

dove 1/2ħw è il punto zero di energia di un oscillatore armonico quantistico.

Una quantità esatta di energia uccw deve essere fornita al reticolo dell’oscillatore armonico per spingerlo al livello di energia successivo. Rispetto al caso del fotone quando il campo elettromagnetico è quantizzato, il quanto dell’energia vibrazionale è chiamato fonone.

Tutti i sistemi quantistici mostrano simultaneamente proprietà ondulatorie e particellari. Le proprietà simili a particelle del fonone sono meglio comprese usando i metodi di seconda quantizzazione e tecniche di operatore descritte più avanti.

Reticolo tridimensionale

Questo può essere generalizzato ad un reticolo tridimensionale. Il wavenumber k è sostituito da un wavevector tridimensionale k. Inoltre, ogni k è ora associato a tre coordinate normali.

I nuovi indici s = 1, 2, 3 etichettano la polarizzazione dei fononi. Nel modello unidimensionale, gli atomi erano limitati a muoversi lungo la linea, quindi i fononi corrispondevano alle onde longitudinali. In tre dimensioni, la vibrazione non è limitata alla direzione di propagazione e può verificarsi anche nei piani perpendicolari, come le onde trasversali. Ciò dà origine alle coordinate normali aggiuntive, che, come indica la forma dell’Hamiltoniana, possiamo vedere come specie indipendenti di fononi.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

Per una matrice alternata unidimensionale di due tipi di ion o atomo di massa m1, m2 ripetuto periodicamente ad una distanza a, collegati da molle di molla costante K, due modi di risultato di vibrazione:

ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 sin 2 ⁡ k 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}

dove k è il wavevector delle vibrazioni relative alla sua lunghezza d’onda di k = 2 π λ {\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}

.

La connessione tra frequenza e wavevector, ω = ω(k), è nota come relazione di dispersione. Il segno più si traduce nella cosiddetta modalità ottica e il segno meno nella modalità acustica. Nella modalità ottica due atomi diversi adiacenti si muovono l’uno contro l’altro, mentre nella modalità acustica si muovono insieme.

La velocità di propagazione di un fonone acustico, che è anche la velocità del suono nel reticolo, è data dalla pendenza della relazione di dispersione acustica, w wk/k k (vedi velocità di gruppo.) A bassi valori di k (cioè lunghezze d’onda lunghe), la relazione di dispersione è quasi lineare e la velocità del suono è approssimativamente wa, indipendente dalla frequenza del fonone. Di conseguenza, pacchetti di fononi con lunghezze d’onda diverse (ma lunghe) possono propagarsi per grandi distanze attraverso il reticolo senza rompersi. Questo è il motivo per cui il suono si propaga attraverso i solidi senza distorsioni significative. Questo comportamento fallisce a grandi valori di k, cioè lunghezze d’onda corte, a causa dei dettagli microscopici del reticolo.

Per un cristallo che ha almeno due atomi nella sua cella primitiva, le relazioni di dispersione mostrano due tipi di fononi, vale a dire, modi ottici e acustici corrispondenti alla curva blu superiore e rossa inferiore nel diagramma, rispettivamente. L’asse verticale è l’energia o la frequenza di phonon, mentre l’asse orizzontale è il wavevector. I confini a-π / a e π/a sono quelli della prima zona di Brillouin. Un cristallo con N ≥ 2 atomi diversi nella cellula primitiva presenta tre modalità acustiche: una modalità acustica longitudinale e due modalità acustiche trasversali. Il numero di modalità ottiche è 3N-3. La figura inferiore mostra le relazioni di dispersione per diversi modi fononici in GaAs in funzione del vettore d’onda k nelle direzioni principali della sua zona di Brillouin.

Molte curve di dispersione dei fononi sono state misurate mediante scattering di neutroni anelastici.

La fisica del suono nei fluidi differisce dalla fisica del suono nei solidi, sebbene entrambe siano onde di densità: le onde sonore nei fluidi hanno solo componenti longitudinali, mentre le onde sonore nei solidi hanno componenti longitudinali e trasversali. Questo perché i fluidi non possono sostenere sollecitazioni di taglio (ma vedere fluidi viscoelastici, che si applicano solo alle alte frequenze).

Interpretazione dei fononi usando tecniche di quantizzazione secondamodifica

L’Hamiltoniana derivata sopra può apparire come una funzione hamiltoniana classica, ma se viene interpretata come un operatore, descrive una teoria quantistica dei campi dei bosoni non interagenti.La seconda tecnica di quantizzazione, simile al metodo dell’operatore ladder utilizzato per gli oscillatori armonici quantistici, è un mezzo per estrarre gli autovalori di energia senza risolvere direttamente le equazioni differenziali. Data l’Hamiltoniana H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

, come pure il coniugato posizione, Q k {\displaystyle Q_{k}}

e coniugato slancio Π k {\displaystyle \Pi _{k}}

definito il quantum della sezione di trattamento di cui sopra, possiamo definire la creazione e annientamento degli operatori: b k = I ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\editormaniglie }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}

e b k † = I ω k ℏ 2 ( Q − k − io ho ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\editormaniglie }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}

I seguenti commutatori possono essere facilmente ottenuti sostituendo nella canonica di commutazione relazione:

= δ k , k ‘= = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}

l’Utilizzo di questo, gli operatori bk† e bk può essere invertito per ridefinire il coniugato posizione e quantità di moto come:

Q k = ℏ 2 m ω k b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\editormaniglie }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}

e Π k = i ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\editormaniglie m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}

Direttamente sostituendo tali definizioni Q k {\displaystyle Q_{k}}

e Π k {\displaystyle \Pi _{k}}

in wavevector spazio Hamiltoniana, come sopra definito, e semplificando quindi i risultati in Hamiltoniani prendendo forma: H = ∑ k ℏ ω k b k + b k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\editormaniglie \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}

Questo è noto come la seconda quantizzazione tecnica, conosciuta anche come l’occupazione numero di formulazione, dove nk = bk†bk è il mestiere numero. Questo può essere visto come una somma di Hamiltoniani oscillatori indipendenti N, ciascuno con un vettore d’onda unico, e compatibile con i metodi utilizzati per l’oscillatore armonico quantistico (si noti che nk è hermitiano). Quando un’Hamiltoniana può essere scritta come una somma di sub-Hamiltoniani di pendolarismo, gli autostati di energia saranno dati dai prodotti degli autostati di ciascuno dei sub-Hamiltoniani separati. Lo spettro energetico corrispondente è quindi dato dalla somma dei singoli autovalori dei sub-Hamiltoniani.

Come con l’oscillatore armonico quantistico, si può mostrare che bk† e bk rispettivamente creano e distruggono un singolo campo di eccitazione, un fonone, con un’energia di ħwk.

Da questa tecnica si possono dedurre tre importanti proprietà dei fononi. Innanzitutto, i fononi sono bosoni, poiché qualsiasi numero di eccitazioni identiche può essere creato mediante l’applicazione ripetuta dell’operatore di creazione bk†. In secondo luogo, ogni fonone è una “modalità collettiva” causata dal movimento di ogni atomo nel reticolo. Questo può essere visto dal fatto che gli operatori di creazione e annichilazione, definiti qui nello spazio di quantità di moto, contengono somme sugli operatori di posizione e quantità di moto di ogni atomo quando sono scritti nello spazio di posizione (vedi spazio di posizione e quantità di moto). Infine, utilizzando la funzione di correlazione posizione–posizione, si può dimostrare che i fononi agiscono come onde di spostamento del reticolo.

Questa tecnica è prontamente generalizzata a tre dimensioni, dove l’Hamiltoniana assume la forma:

H = k k s s = 1 3 ω ω k , s ( b k , s † b k , s + 1 2 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. In questo caso, il sistema di gestione dei dati non è in grado di fornire informazioni dettagliate su come gestire i dati personali.}