Se allunghiamo un elastico attorno alla superficie di una mela, possiamo ridurlo fino a un punto spostandolo lentamente, senza strapparlo e senza permettergli di lasciare la superficie. D’altra parte, se immaginiamo che lo stesso elastico sia stato in qualche modo allungato nella direzione appropriata attorno a una ciambella, allora non c’è modo di restringerlo fino a un punto senza rompere né l’elastico né la ciambella. Diciamo che la superficie della mela è “semplicemente connessa”, ma che la superficie della ciambella non lo è. Poincaré, quasi cento anni fa, sapeva che una sfera bidimensionale è essenzialmente caratterizzata da questa proprietà di semplice connettività, e ha posto la domanda corrispondente per la sfera tridimensionale.

Questa domanda si è rivelata straordinariamente difficile. Quasi un secolo passato tra la sua formulazione nel 1904 da Henri Poincaré e la sua soluzione da Grigoriy Perelman, annunciato in preprints pubblicato su ArXiv.org nel 2002 e nel 2003. La soluzione di Perelman si basava sulla teoria di Ricci flow di Richard Hamilton e faceva uso di risultati sugli spazi di metriche dovuti a Cheeger, Gromov e Perelman stesso. In questi documenti Perelman ha anche dimostrato William Thurston Geometrizzazione congettura, un caso speciale di cui è la congettura di Poincaré. Vedi il comunicato stampa del 18 marzo 2010.

Immagine di credito: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/