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Definizione: La sequenza di Fibonacci è definita come \(F(0) = 0\), \(F (1) = 1\) e \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\) per \(n ≥ 2\). Quindi la sequenza(che inizia con \(F (0)\)) è 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….

Se vogliamo calcolare un singolo termine nella sequenza (ad esempio \(F(n)\)), ci sono un paio di algoritmi per farlo. Alcuni algoritmi sono molto più veloci di altri.

Algoritmi

Libro di testo ricorsivo (estremamente lento)

Ingenuamente, possiamo eseguire direttamente la ricorrenza come indicato nella definizione matematica della sequenza di Fibonacci. Sfortunatamente, è irrimediabilmente lento: usa\ (Θ(n)\) stack space e\ (Θ (φ^n)\) operazioni aritmetiche, dove \(φ = \ frac{\sqrt{5} + 1}{2}\) (il rapporto aureo). In altre parole, il numero di operazioni da calcolare \(F(n)\) è proporzionale alla risposta numerica finale, che cresce esponenzialmente.

Programmazione dinamica (lenta)

Dovrebbe essere chiaro che se abbiamo già calcolato \(F(k-2)\) e \(F(k-1)\), allora possiamo aggiungerli per ottenere \(F (k)\). Successivamente, aggiungiamo \(F(k-1)\) e \(F(k)\) per ottenere \(F (k+1)\). Ripetiamo fino a raggiungere \(k = n\). La maggior parte delle persone nota automaticamente questo algoritmo, specialmente quando calcola Fibonacci a mano. Questo algoritmo richiede\ (Θ(1)\) spazio e\ (Θ (n)\) operazioni.

Esponenziazione della matrice (veloce)

L’algoritmo si basa su questa identità dall’aspetto innocente (che può essere dimostrata dall’induzione matematica):

\( \left^n = \left \).

È importante utilizzare l’esponenziazione quadrando con questo algoritmo, perché altrimenti degenera nell’algoritmo di programmazione dinamica. Questo algoritmo richiede\ (Θ(1)\) spazio e\(Θ (\log n)\) operazioni. (Nota: Stiamo contando il numero di operazioni aritmetiche bigint, non operazioni di parole a larghezza fissa.)

Raddoppio veloce(più veloce)

Dato \(F(k)\) e \(F (k+1)\), possiamo calcolare questi:

\(\begin{align}F(2k) &= F (k) \left. \\F(2 k+1) &= F(k+1)^2 + F (k)^2.\ end {align}\)

Queste identità possono essere estratte dall’algoritmo di esponenziazione della matrice. In un certo senso, questo algoritmo è l’algoritmo di esponenziazione della matrice con i calcoli ridondanti rimossi. Dovrebbe essere un fattore costante più veloce dell’esponenziazione della matrice, ma la complessità temporale asintotica è sempre la stessa.

Sommario: I due algoritmi di Fibonacci veloci sono l’esponenziazione della matrice e il raddoppio veloce, ciascuno con una complessità asintotica di \(Θ(\log n)\) operazioni aritmetiche bigint. Entrambi gli algoritmi usano la moltiplicazione, quindi diventano ancora più veloci quando viene utilizzata la moltiplicazione Karatsuba. Gli altri due algoritmi sono lenti; usano solo addizioni e nessuna moltiplicazione.

Codice sorgente

Le implementazioni sono disponibili in più lingue:

  • Java: FastFibonacci.java (tutti e 3 gli algoritmi, timing benchmark, runnable programma principale)

  • Python: fastfibonacci.py (solo funzione di raddoppio veloce)

  • Haskell: fastfibonacci.hs (solo funzione di raddoppio veloce)

  • C#: FastFibonacci.cs (solo raddoppio veloce, programma principale eseguibile)
    (richiede. NET Framework 4.0 o superiore; compile with csc /r:System.Numerics.dll fastfibonacci.cs)

Benchmarks

Graphs

Benchmark graph

All algorithms, naive multiplication

Benchmark graph

All algorithms, Karatsuba multiplication

Benchmark graph

Fast algorithms, both multiplication algorithms

(Note: The graphs have logarithmic scales on the x and y axes.)

Table

n Fast doubling, Karatsuba multiplication Fast matrix, Karatsuba multiplication Fast doubling, naive multiplication Fast matrix, naive multiplication Slow dynamic programming Slow recursive
1 5 414 1 042 4 197 887 10 4
2 5 638 2 092 4 442 1 822 53 22
3 5 708 2 740 4 509 2 342 92 56
4 5 945 3 027 4 733 2 660 133 114
5 5 989 3 677 4 787 3 147 172 219
6 5 972 3 956 4 765 3 371 211 400
8 6 191 3 972 4 969 3 428 289 1 161
10 6 283 4 952 5 022 4 154 370 3 113
13 6 307 5 610 5 046 4 667 488 13 480
16 6 479 4 955 5 177 4 210 605 57 300
20 6 542 5 923 5 234 4 985 763 394 000
25 6 632 6 565 5 263 5 479 964 4 373 000
32 6 794 5 887 5 388 4 908 1 235 127 500 000
40 6 818 6 880 5 433 5 715 1 552 5 980 000 000
50 6 806 7 742 5 486 6 446 2 023
63 6 931 10 180 5 589 8 339 2 598
79 7 162 11 090 5 753 9 187 3 396
100 7 279 9 225 5 904 7 717 4 472
126 7 427 12 410 6 059 10 220 5 866
158 7 600 13 090 6 141 10 900 7 888
200 8 006 11 700 6 556 9 969 10 640
251 8 146 15 660 6 672 13 060 14 280
316 8 597 18 810 7 089 16 530 19 610
398 9 501 20 550 8 078 18 120 27 650
501 9 964 24 050 8 492 21 340 38 970
631 11 070 38 790 9 510 35 720 55 540
794 13 020 41 810 11 520 39 380 80 280
1 000 14 660 50 870 13 130 48 230 118 000
1 259 18 640 99 020 16 990 95 640 175 300
1 585 25 300 113 500 23 660 110 800 263 000
1 995 32 360 148 100 30 770 144 700 397 500
2 512 45 540 314 800 43 980 311 400 608 800
3 162 67 800 372 200 66 250 369 000 937 200
3 981 98 560 491 500 96 780 488 100 1 457 000
5 012 143 500 1 050 000 145 900 1 132 000 2 269 000
6 310 214 100 1 284 000 227 700 1 357 000 3 546 000
7 943 320 300 1 662 000 351 300 1 821 000 5 547 000
10 000 466 400 3 519 000 538 400 4 382 000 8 700 000
12 589 691 100 4 303 000 851 700 5 254 000 13 640 000
15 849 1 007 000 5 481 000 1 310 000 7 079 000 21 440 000
19 953 1 493 000 11 800 000 2 081 000 17 260 000 33 620 000
25 119 2 185 000 13 620 000 3 296 000 20 710 000 53 030 000
31 623 3 205 000 17 570 000 5 159 000 27 860 000 83 310 000
39 811 4 637 000 36 800 000 8 109 000 68 540 000 131 500 000
50 119 6 750 000 42 430 000 12 910 000 82 230 000 207 700 000
63 096 9 913 000 54 770 000 20 410 000 110 600 000 326 900 000
79 433 14 450 000 113 300 000 32 300 000 275 100 000 517 100 000
100 000 20 800 000 130 600 000 51 640 000 330 700 000 819 700 000
125 893 30 380 000 168 900 000 81 150 000 445 200 000 1 296 000 000
158 489 44 090 000 346 800 000 129 200 000 1 103 000 000 2 058 000 000
199 526 63 260 000 405 400 000 205 100 000 1 325 000 000 3 249 000 000
251 189 92 330 000 517 300 000 325 100 000 1 766 000 000 5 153 000 000
316 228 133 700 000 1 055 000 000 515 700 000 4 413 000 000 8 161 000 000
398 107 191 900 000 1 228 000 000 815 500 000 5 311 000 000 12 930 000 000
501 187 280 200 000 1 572 000 000 1 297 000 000 7 059 000 000 20 520 000 000
630 957 404 900 000 3 181 000 000 2 061 000 000 17 570 000 000 32 570 000 000
794 328 580 700 000 3 691 000 000 3 265 000 000 21 090 000 000 51 650 000 000
1 000 000 846 100 000 4 724 000 000 5 182 000 000 28 310 000 000 82 000 000 000
1 258 925 1 221 000 000 9 570 000 000 8 168 000 000 70 280 000 000 130 300 000 000
1 584 893 1 750 000 000 11 050 000 000 12 970 000 000 84 120 000 000 207 300 000 000
1 995 262 2 549 000 000 14 230 000 000 20 610 000 000 112 700 000 000 329 700 000 000
2 511 886 3 676 000 000 28 800 000 000 32 610 000 000 279 900 000 000 525 100 000 000
3 162 278 5 247 000 000 32 980 000 000 51 600 000 000 335 600 000 000
3 981 072 7 654 000 000

Tutti i tempi sono riportati in nanosecondi (ns), dato a 4 cifre significative. Tutti i test di cui sopra sono stati eseguiti su Intel Core 2 Quad Q6600 (2.40 GHz) utilizzando un singolo thread, Windows XP SP 3, Java 1.6.0_22.

Prove

Esponenziazione della matrice

Useremo l’induzione debole per dimostrare questa identità.

Caso base

Per \(n = 1\), chiaramente \ (\left ^ 1 = \ left\).

Fase di induzione

Assumere per \(n ≥ 1\) che \ (\left^n = \ left\). Quindi:

\(\left^{n+1} \\= \left^n \left \\= \left \left \\= \left \\= \left.\)

Raddoppio veloce

Assumeremo il fatto che il metodo di esponenziazione della matrice sia corretto per tutti \(n ≥ 1\).

\(\left \\= \left^{2n} \\= \left( \left^n \right)^2 \\= \left^2 \\= \left.\)

Pertanto, equiparando le celle nella matrice:

\(\begin{align}F(2n+1)&= F(n+1)^2 + F(n)^2. \\F(2n) &= F(n) \left \\&= F(n) \left \\&= F(n) \left. \\F(2n-1) &= F(n)^2 + F(n-1)^2.\end{align}\)