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In questo articolo, si è scelto di studiare gli scalari e vettori, le loro caratteristiche.

Quantità scalari o Scalari:

Le quantità fisiche che hanno solo grandezza e che possono essere specificate solo da un numero e da un’unità sono chiamate quantità scalari o scalari.

Per esempio quando stiamo specificando il tempo possiamo dire come 20 secondi, 1 anno, 24 ore, ecc. Qui stiamo dando grandezza solo cioè un numero e un’unità. In questo caso, la direzione non è richiesta.

Altri esempi di Scalari: Tempo, distanza, velocità, massa, densità, area, volume, lavoro, pressione, energia, ecc.

Caratteristiche degli Scalari:

• Le quantità scalari hanno solo una grandezza.
• Gli scalari possono essere aggiunti o sottratti l’uno dall’altro algebricamente.
• Quando si scrive quantità scalare una freccia non viene posta sulla testa del simbolo della quantità.

Quantità vettoriali o vettori:

Le quantità fisiche che hanno sia la grandezza che la direzione e che dovrebbero essere specificate sia dalla grandezza che dalla direzione sono chiamate quantità vettoriali o vettori.

Per esempio quando stiamo specificando lo spostamento del corpo, dobbiamo specificare la grandezza e la direzione. Quindi, lo spostamento è una quantità vettoriale.

Altri esempi di vettori: Spostamento, velocità, accelerazione, forza, quantità di moto, intensità elettrica, induzione magnetica, ecc.

Nota: Una quantità è una quantità vettoriale se e solo se ha direzione e grandezza e obbedisce alle regole dell’aggiunta vettoriale.

Caratteristiche dei vettori:

• Le quantità vettoriali hanno sia una grandezza che una direzione.
• I vettori non possono essere aggiunti o sottratti l’uno dall’altro algebricamente, ma dobbiamo adottare un metodo grafico.
• Quando si scrive quantità vettoriale una freccia viene posta sulla testa del simbolo della quantità.

Pseudo Vettori:

I vettori associati al movimento rotatorio sono chiamati pseudovettori. Sono anche indicati come vettori assiali. La loro direzione è lungo l’asse di rotazione.

Esempi: spostamento angolare, velocità angolare, accelerazione angolare, coppia, ecc.

Vettori polari:

I vettori associati all’effetto direzionale lineare sono chiamati vettori polari o vettori veri. Hanno il punto di partenza o il punto di applicazione.

Esempi: Velocità lineare, accelerazione lineare, forza, quantità di moto, ecc.

Tensori:

È una quantità fisica che non è né scalare né vettoriale. Non hanno una direzione precisa. Possono avere valori diversi in direzioni diverse. Queste quantità hanno grandezza e direzione ma non obbediscono alle regole dell’aggiunta vettoriale.

Esempi: Momento di inerzia, Stress, Tensione superficiale, corrente elettrica, ecc.

Notazione simbolica dei vettori:

Un vettore è rappresentato da una lettera con una punta di freccia. Quindi il vettore A è rappresentato come A. La grandezza del vettore è rappresentata come |A/o semplicemente A.

Un vettore può anche essere indicato con due lettere. Per esempio PQ, il che significa che il punto di partenza (la coda) del vettore è il punto P e il punto finale del vettore (la testa) è al punto D. La direzione del vettore sia dal punto P al punto Q

la Rappresentazione di un Vettore:

Un segmento di linea è disegnata in modo che la sua lunghezza rappresenta la grandezza della quantità di idonea scala e nella direzione del vettore.

Esempio: Un vettore di spostamento di 50 km verso nord-est può essere rappresentato come segue.

• Selezionare una scala adeguata, dire 1 cm = 10 km.
• Selezionare uno standard di direzione come mostrato.
• Disegna un segmento di linea di lunghezza 5 cm verso nord-est.
• Mostra la freccia in direzione nord-est.

Terminologia dei vettori:

Vettore unitario:

Un vettore avente una grandezza unitaria è chiamato vettore unitario. Il vettore unitario nella direzione del vettore Ā è indicato da  (un cappuccio).

Note:

• Se  à un vettore unitario allora|  / = A = 1 .
• I vettori unitari lungo le direzioni positive degli assi x, y e z sono rispettivamente m î, ĵ e
• Il vettore unitario lungo il vettore Ā è dato da  = Ā / |Ā |

Vettore Nullo o Zero:

Un vettore avente una magnitudine zero è chiamato vettore zero o Nullo. Il vettore nullo o zero è indicato con ō (barra zero).

Note:

• Per il vettore nullo, i punti iniziale e terminale coincidono.
• Qualsiasi vettore diverso da zero è chiamato vettore corretto.

Vettore libero:

Quando non vi è alcuna restrizione per scegliere l’origine del vettore, si chiama vettore libero.

Vettore localizzato:

Quando c’è una restrizione per scegliere l’origine del vettore, viene chiamato come vettore localizzato.

Vettore reciproco:

Il vettore che ha la stessa direzione di quello di Ā ma ha grandezza reciproca con quella di Ā è chiamato come vettore reciproco. È indicato e dato da

cioè Se AB = PQ allora |AB| = |PQ| e AB || PQ

Vettori collineari:

I vettori sono detti collineari se si trovano lungo la stessa linea o paralleli a una e la stessa linea. Se due vettori sono collineari, ognuno di essi può essere espresso come multiplo scalare dell’altro.

Come vettori:

I vettori che hanno la stessa direzione sono chiamati come vettori.

A differenza dei vettori:

Vengono chiamati vettori con direzioni opposte, a differenza dei vettori.

Vettori complanari:

I vettori sono detti complanari se si trovano nello stesso piano o paralleli a uno e allo stesso piano.

Negativo di un vettore:

Il vettore negativo è un vettore che ha la stessa grandezza di quella del vettore dato ma ha la direzione opposta a quella del vettore dato. Negativo del vettore Ā è indicato da-Ā.

AB = – BA

Uguaglianza dei vettori:

Si dice che due vettori siano uguali se e solo se hanno la stessa grandezza e la stessa direzione. Quindi vettori uguali hanno la stessa lunghezza, lo stesso supporto parallelo e lo stesso senso. Se una di queste cose non è la stessa, allora i due vettori non sono uguali.

Concetto di vettore di posizione di un punto:

Sia A qualsiasi punto nello spazio e O sia il punto fisso nello spazio, quindi il vettore di posizione (PV) del punto A w.r.t. a O è definito come il vettore OA. Il vettore posizione del punto di Un w.r.t. punto fisso O è contrassegnato da Un o.

AB in termini del vettore di posizione del suo endpoint:

Con il triangolo di legge, OA + AB = OB

∴ AB = OB – OA

∴ AB = B – A = (p.v B) – (p.v di A)

Vettori di unità standard o vettori di unità rettangolari:

Il vettore unitario lungo l’asse x positivo è indicato da î, il vettore unitario lungo l’asse y positivo è indicato da ĵ , il vettore unitario lungo l’asse z positivo è indicato da .

Se Una è risolta in due vettori e lungo l’asse x e l’asse y, rispettivamente, dal triangolo legge di addizione vettoriale

A = Ax + Ay

A = Ax î + Ay ĵ

La grandezza del vettore è dato da

sistema tridimensionale:

Se Una è risolta in tre vettori Ax, Ay, Az lungo l’asse x, asse y e asse z, rispettivamente, dal poligono di legge di addizione vettoriale

A = Ax + Ay + Az

A = Ax î + Ay ĵ + Az k

La grandezza del vettore è dato da

Note:

• La componente del vettore non può avere un ordine di grandezza maggiore rispetto al vettore stesso.
• Un vettore è vettore zero se tutti i suoi componenti sono zero.

la Moltiplicazione di un Vettore per uno Scalare:

Se A = Ax + Ay + Az è un vettore e ‘m’ è uno scalare, quindi abbiamo

m A =m Ax +m Ay +m Az

Esempio – 01:

Se P(3, -4, 5) è un punto nello spazio, quindi, trovare OP |OP| ed una unità vettoriale lungo OP.

Soluzione:

OP = 3i – 4j + 5k

|OP| = √(3)2+ (-4)2+ (5)2

= √9+ 16+ 25 = √50 = 5√2 unità

Unità di vettore lungo OP = OP/|OP| = (3i – 4j + 5k)/ 5√2

Esempio – 02:

• Se Un(1, 2, 3) e B(2, -1, 5) sono due punti nello spazio, quindi, trovare AB, |AB| e un vettore unitario lungo AB.

Vettore di posizione del punto A = a = OA = i + 2j + 3k

Vettore di posizione del punto B= b = OB = 2i – j + 5k

AB = b – a = (2i – j + 5k) – (i + 2j + 3k)