Il problema generale della trisezione angolare è risolvibile utilizzando strumenti aggiuntivi, e quindi andando al di fuori della struttura greca originale di compass e straightedge.

Sono stati proposti molti metodi errati di trisezione dell’angolo generale. Alcuni di questi metodi forniscono approssimazioni ragionevoli; altri (alcuni dei quali sono menzionati di seguito) coinvolgono strumenti non consentiti nel problema classico. Il matematico Underwood Dudley ha dettagliato alcuni di questi tentativi falliti nel suo libro I Trisettori.

Approssimazione per bisezionimodifica

La trisezione può essere approssimata ripetendo il metodo della bussola e della retta per bisettare un angolo. La serie geometrica 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ oppure 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ può essere usato come base per le bisezioni. Un’approssimazione a qualsiasi grado di precisione può essere ottenuta in un numero finito di passaggi.

Utilizzo di origamiEdit

La trisezione, come molte costruzioni impossibili da righello e bussola, può essere facilmente realizzata con le operazioni di piegatura della carta o origami. Gli assiomi di Huzita (tipi di operazioni di piegatura) possono costruire estensioni cubiche (radici cubiche) di date lunghezze, mentre righello e bussola possono costruire solo estensioni quadratiche (radici quadrate).

l’Utilizzo di un linkageEdit

Sylvester Link Ventola

Ci sono un certo numero di collegamenti semplici che possono essere utilizzati per fare uno strumento per trisect angoli compresi Kempe è Trisector e Silvestro di Collegamento del Ventilatore o Isoklinostat.

Con un destro triangolare rulerEdit

Tripartizione dell’angolo tramite il Rechtwinkelhaken secondo Ludwig Bieberbach, con la continuazione della costruzione, animazione 1 min 35 s, di cui è in vacanza, 30 ‘ s.

Nel 1932, Ludwig Bieberbach pubblicato nel Journal für die reine und angewandte Mathematik il suo lavoro Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Egli afferma in esso (traduzione libera):

” Come è noto … ogni costruzione cubica può essere fatta risalire alla trisezione dell’angolo e alla moltiplicazione del cubo, cioè all’estrazione della terza radice. Ho solo bisogno di mostrare come questi due compiti classici possono essere risolti per mezzo del gancio ad angolo retto.”

La seguente descrizione della costruzione adiacente (animazione) contiene la loro continuazione fino alla completa trisezione dell’angolo.

Si inizia con la prima unità di cerchio intorno al suo centro Un {\displaystyle A}

, il primo angolo dell’arto B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

e la seconda unità di cerchio intorno a P {\displaystyle P}

dopo di esso. Ora il diametro B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

da P {\displaystyle P}

è estesa per la circle line di questo cerchio unitario, il punto di intersezione O {\displaystyle O}

creato. Seguendo l’arco di cerchio intorno a P {\displaystyle P}

con il raggio B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

e il disegno del secondo angolo arto dall’angolo δ {\displaystyle \delta }

, il punto C {\displaystyle C}

risultati. Ora viene utilizzato il cosiddetto mezzo di costruzione aggiuntivo, nell’esempio illustrato è il Geodreieck. Questa geometria del triangolo, come viene anche chiamato, è ora posizionata sul disegno nel modo seguente: Il vertice dell’angolo retto determina il punto S {\displaystyle S}

sulla gamba angolo P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, un cathetus del triangolo passante per il punto O {\displaystyle O}

e l’altro colpisce il cerchio unitario A {\displaystyle A}

. Dopo il collegamento con il punto O {\displaystyle O}

a S {\displaystyle S}

e disegnare la tangente da S {\displaystyle S}

per l’unità cerchio attorno a Un {\displaystyle A}

il sopra citato angolo destro gancio rispettivamente Rechtwinkelhaken è mostrato. L’angolo racchiuso dai segmenti O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

e P S {\displaystyle {\overline {PS}}}

è così esattamente δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

. Si va avanti con il parallelo O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

da P {\displaystyle P}

, alternativo angolo δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

e il punto D {\displaystyle D}

sono stati creati. Un ulteriore parallelo a O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

da Un {\displaystyle A}

determina il punto di contatto E {\displaystyle E}

la tangente con il cerchio unitario su Un {\displaystyle A}

. Infine, disegnare una linea retta da P {\displaystyle P}

tramite E {\displaystyle E}

fino a che non interseca il cerchio unitario in F {\displaystyle F}

. Quindi l’angolo δ {\displaystyle \ delta}

ha esattamente tre parti.

Con un ausiliario curveEdit

• Tripartizione utilizzando la spirale Archimedea

• Tripartizione utilizzando il Maclaurin trisectrix

Ci sono alcune curve chiamato trisectrices che, se protratto nel piano di utilizzo di altri metodi, può essere utilizzato per trisect arbitrario angoli. Gli esempi includono il trisectrix di Colin Maclaurin, dato in coordinate Cartesiane con l’implicita equazione

2 x ( x 2 + y 2) = ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

e la spirale Archimedea. La spirale può, infatti, essere utilizzata per dividere un angolo in un numero qualsiasi di parti uguali.

Con una marcata rulerEdit

Tripartizione dell’angolo utilizzando contrassegnato righello

un Altro modo di trisect un angolo arbitrario da parte di un “piccolo” passaggio al di fuori del greco quadro è tramite un righello con due segni di un set di distanza. La costruzione successiva è originariamente dovuta ad Archimede, chiamata costruzione di Neusi, cioè che utilizza strumenti diversi da un dritto non marcato. I diagrammi che usiamo mostrano questa costruzione per un angolo acuto, ma funziona davvero per qualsiasi angolo fino a 180 gradi.

Questo richiede tre fatti dalla geometria (a destra):

1. set completo di angoli su una linea retta aggiungere a 180°,
2. La somma degli angoli di ogni triangolo è di 180°, e,
3. due lati uguali di un triangolo isoscele incontrerà il terzo angolo.

Sia l la linea orizzontale nel diagramma adiacente. L’angolo a (a sinistra del punto B) è oggetto di trisezione. Innanzitutto, un punto A viene disegnato al raggio di un angolo, un’unità a parte B. Viene disegnato un cerchio di raggio AB. Quindi, entra in gioco il markedness del sovrano: un segno del righello è posto ad A e l’altro a B. Mantenendo il righello (ma non il segno) toccando A, il righello viene fatto scorrere e ruotato fino a quando un segno è sul cerchio e l’altro è sulla linea l. Il segno sul cerchio è etichettato C e il segno sulla linea è etichettato D. Questo assicura che CD = AB. Viene disegnato un raggio BC per rendere ovvio che i segmenti di linea AB, BC e CD hanno tutti la stessa lunghezza. Ora, i triangoli ABC e BCD sono isosceli, quindi (di fatto 3 sopra) ognuno ha due angoli uguali.

Ipotesi: Dato AD è una linea retta, e AB, BC e CD hanno tutti la stessa lunghezza,

Conclusione: angolo b = a/3.

Prova:

1. Dal fatto 1) sopra, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   °.

2. Guardando il triangolo BCD, dal fatto 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
   

   °.

3. Dalle ultime due equazioni, c=2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. Dal Fatto che 1) di cui sopra, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
   

   °, quindi un + ( 180 {\displaystyle a+(180}

   

   ° − 4 b ) + b = 180 {\displaystyle -4b)+b=180}

   

   °.

Compensazione, a – 3b = 0, o a = 3b, e il teorema è dimostrato.

Ancora una volta, questa costruzione è uscita dal quadro delle costruzioni consentite utilizzando un rettilineo marcato.

Con una stringEdit

Thomas Hutcheson pubblicò un articolo su the Mathematics Teacher che usava una stringa invece di una bussola e un bordo dritto. Una stringa può essere usata come un bordo dritto (allungandolo) o una bussola (fissando un punto e identificandone un altro), ma può anche avvolgere un cilindro, la chiave della soluzione di Hutcheson.

Hutcheson costruì un cilindro dall’angolo da trisettare disegnando un arco attraverso l’angolo, completandolo come un cerchio e costruendo da quel cerchio un cilindro su cui era inscritto un triangolo equilatero (un angolo di 360 gradi diviso in tre). Questo è stato quindi “mappato” sull’angolo da trisettare, con una semplice prova di triangoli simili.

Con un “tomahawk”Modificare

Un tomahawk trisecting un angolo. La maniglia forma un trisettore e la linea blu mostrata forma l’altra.

Un “tomahawk” è una forma geometrica costituita da un semicerchio e due segmenti di linea ortogonali, in modo tale che la lunghezza del segmento più corto sia uguale al raggio del cerchio. La trisezione viene eseguita appoggiando l’estremità del segmento più corto del tomahawk su un raggio, il bordo del cerchio sull’altro, in modo che la “maniglia” (segmento più lungo) attraversi il vertice dell’angolo; la linea di trisezione corre tra il vertice e il centro del semicerchio.

Si noti che mentre un tomahawk è costruibile con bussola e straightedge, non è generalmente possibile costruire un tomahawk in qualsiasi posizione desiderata. Pertanto, la costruzione di cui sopra non contraddice la non tracciabilità degli angoli con righello e bussola da soli.

Il tomahawk produce lo stesso effetto geometrico del metodo di piegatura della carta: la distanza tra il centro del cerchio e la punta del segmento più corto è il doppio della distanza del raggio, che è garantito per contattare l’angolo. È anche equivalente all’uso di un righello L di architetti (Piazza del falegname).

Con bussole interconnessedit

Un angolo può essere trisected con un dispositivo che è essenzialmente una versione a quattro punte di una bussola, con collegamenti tra i poli progettati per mantenere uguali i tre angoli tra i poli adiacenti.