Lavorando 2.000 anni prima dello sviluppo del calcolo, il matematico greco Archimede elaborò una semplice formula per il volume di una sfera:

Dei suoi molti matematici contributi, Archimede era più orgoglioso di questo risultato, persino a chiedere che metodo ha usato per lavorare la formula di un diagramma di circoscrivere una sfera all’interno di un cilindro lungo con il rapporto 2:3— essere impresso sulla sua lapide.

La formula di Archimede potrebbe essere stata un colpo di genio scientifico nel 250 a.C., ma con l’aiuto del calcolo moderno la derivazione è estremamente semplice. In questo post spiegherò un modo per derivare la famosa formula e spiegare come può essere fatto in dimensioni diverse dalle solite tre.

La derivazione

Considera lo schema seguente. È una sfera con raggio r. L’obiettivo è trovare il volume, ed ecco come lo facciamo.

Notare che l’unica cosa che si può facilmente trovare l’area di un singolo orizzontale fetta della palla. Questo è il disco ombreggiato nella parte superiore del diagramma, che viene disegnato all’altezza z. Il disco ha un raggio di x, che avremo bisogno di trovare l’area del disco. Per trovare x, possiamo formare un triangolo rettangolo con i lati z e x e l’ipotenusa r. Questo è disegnato nella figura. Quindi possiamo facilmente risolvere per x.

Con il teorema di Pitagora, sappiamo che

salta risolvere per x che abbiamo

Poi la zona ombreggiata disco è semplicemente pi volte il quadrato del raggio, o

Ora che abbiamo l’area di un disco orizzontale, vogliamo trovare l’area di tutti i dischi orizzontali all’interno della palla sommata insieme. Questo ci darà il volume della sfera.

Per fare ciò, prendiamo semplicemente l’integrale definito della formula dell’area del disco dall’alto per tutte le possibili altezze z, che sono tra-r (nella parte inferiore della palla) e r (nella parte superiore della palla). Che è, il nostro volume è dato da

Che è la formula del volume che stavamo cercando.

Questa stessa logica può essere utilizzata per ricavare formule per il volume di una “palla” anche in dimensioni 4, 5 e superiori. In questo modo, puoi mostrare che il volume di una sfera unitaria in una dimensione (una linea) è solo 2; il volume, in due dimensioni (un disco) è

e — come abbiamo dimostrato — il volume in tre dimensioni (una sfera) è

Continuare a quattro, cinque, e, infine, in n dimensioni, un risultato sorprendente appare.

Si scopre che il volume di una sfera unitaria raggiunge i picchi a cinque dimensioni, e quindi procede a ridursi successivamente, avvicinandosi infine a zero quando la dimensione n va all’infinito.