Articles

角度三等分

6月 17, 2021 by admin

角度三等分の一般的な問題は、追加のツールを使用して解決可能であり、したがって、コンパスと直線の元のギリシャの枠組みの外

一般的な角度を三等分する多くの誤った方法が提案されている。これらの方法のいくつかは合理的な近似を提供し、他の方法（そのうちのいくつかは以下に記載されている）は、古典的な問題で許可されていないツール数学者のUnderwood Dudleyは、彼の本の中でこれらの失敗した試みのいくつかを詳述しています三等分線。

連続二等分による近似編集
linkageEditを使用して
右三角形rulerEdit
補助曲線を持つ
マークされたrulerEditで
相互接続されたcompassesEdit

連続二等分による近似編集

三等分は、角度を二等分するためのコンパスと直線法の繰り返しによって近似することができます。幾何学的シリーズ1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ または1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 二等分の基礎として使用することができます。任意の程度の精度への近似は、有限のステップ数で得ることができる。h3>

メイン記事

: 折り紙の数学►角度を三等分する

三等分は、定規やコンパスでは不可能な多くの構造と同様に、紙の折り畳みや折り紙の操作によって簡単に達成す Huzitaの公理（折りたたみ演算のタイプ）は、与えられた長さの立方拡張（立方体の根）を構成することができますが、定規とコンパスは二次拡張（平方根）のみを構

linkageEditを使用して

シルベスターのリンクファン

ケンペの三等分線と三等分線を含む角度を三等分するための楽器を作るために使用できる単純なリンケージがいくつかあります。シルベスターのリンクファンまたはisoklinostat。

右三角形rulerEdit

ルートヴィヒビーバーバッハによると、Rechtwinkelhakenによる角度の三等分、建設,アニメーション1分35秒,そのうちの最後に壊れます30秒.

1932年に,ルートヴィヒbieberbachはジャーナルfür die reine und angewandte mathematik彼の作品zur lehre von den kubischen konstruktionenに掲載されました. 彼はそこに（自由な翻訳）述べています：

“知られているように。.. すべての立方体の構成は、角度の三等分と立方体の乗算、すなわち第三の根の抽出にさかのぼることができます。私は、これらの2つの古典的なタスクが直角フックによってどのように解決できるかを示すだけでよい。”

隣接する構成（アニメーション）の以下の説明は、完全な角度三等分までのそれらの継続が含まれています。

中心a{\displaystyle A}

$A$

、最初の角度肢B P{\displaystyle{\overline{BP}}}

${\displaystyle{\overline{BP}}}$

、およびp{\displaystyle P}の周りの第二の単位円で始まる。div> $p$ それに続いて。ここで、直径B P{\displaystyle{\overline{BP}}}

${\displaystyle{\overline{BP}}}$

p{\displaystyle P}

$P$

はこの単位円の円線、交点O{\displaystyle O}

$o$

が作成されています。 P{\displaystyle P}

$P$

の周りの円弧に続いて、半径B P{\displaystyle{\overline{BP}}}

${\displaystyle{\overline{BP}}}$

角度δ{\displaystyle\delta}

$p$

と角度δ{\displaystyle\delta}

$p$

と角度δ{\displaystyle\delta}

$p$

と角度δ{\displaystyle\delta}

$p$

$\delta$ \delta、ポイントc{\displaystyle c}

$c$

結果。ここで、いわゆる追加建設平均が使用され、図示の例ではGeodreieckです。直角の頂点は、角度脚P C{\displaystyle{\overline{PC}}}

${\displaystyle{\overline{PC}}}$

上の点S{\displaystyle s}

$s$

を決定する。三角形のうち、点o{\displaystyle o}

$o$

を通過し、もう一方は単位円a{\displaystyle a}

$a$

に影響を与える。点O{\displaystyle O}

$O$

をS{\displaystyle S}

$S$

に接続し、s{\displaystyle S}

$S$

から接線をa{\displaystyle A}

の周りの単位円に描画した後 $A$ a、それぞれrechtwinkelhaken上記の直角フックが示されています。セグメントO S{\displaystyle{\overline{OS}}}

${\displaystyle{\overline{OS}}}$

とP S{\displaystyle{\overline{PS}}}

${\displaystyle{\overline{PS}}}$

で囲まれた角度は、したがって正確にδ3{\displaystyle{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{\デルタ}{3}}}

${\displaystyle{\frac{\delta}{3}}}$

。これは、O S{\displaystyle{\overline{OS}}}

${\displaystyle{\overline{OS}}}$

P{\displaystyle P}

$P$

と平行になり、代替角δ3{\displaystyle{\frac{\delta}{3}}}

${\displaystyle{\frac{\delta}{3}}}$

と点d{\displaystyle d}

$d$

が作成されています。 O S{\displaystyle{\overline{OS}}}

${\displaystyle{\overline{OS}}}$

からA{\displaystyle A}

$A$

は接触点E{\displaystyle E}

$E$

a{\displaystyle a}

$a$

を中心とする単位円との接線から。最後に、P{\displaystyle P}

$P$

からE{\displaystyle E}

$E$

F{\displaystyle F}

$F$

の単位円と交差するまで直線を引く。したがって、角度δ{\displaystyle\delta}

$\delta$

は正確に三つの部分を持つ。

補助曲線を持つ

アルキメデスのスパイラルを使用した三等分
アルキメデスのスパイラルを使用した三等分
maclaurin trisectrixを使用した三等分

他の方法を使用して平面上に描かれた場合、任意の角度を三等分するために使用するこ例としては、暗黙の方程式によってデカルト座標で与えられるコリン−マクローリンの三等分線が挙げられる

2x(x2+y2)=a(3×2-y2),{\displaystyle2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

${\displaystyle2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}$ ${\displaystyle2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}$ ${\displaystyle2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})3x^{2}-y^{2}）、}$

アルキメデスのスパイラル。スパイラルは、実際には、角度を任意の数の等しい部分に分割するために使用することができます。

マークされたrulerEditで

マークされた定規を使用して角度の三等分

ギリシャの枠組みの外の”小さな”ステップで任意の角度を三等分するもう一つの手段は、二つのマークが離れて設定された距離を持つ定規を介して行われます。次の建設は、もともとノイシス建設と呼ばれるアルキメデスによるものであり、すなわち、マークされていない直線以外のツールを使用する。私たちが使用する図は、鋭角のためにこの構造を示していますが、それは確かに180度までの任意の角度のために働きます。

これは、ジオメトリから三つの事実を必要とします（右）：

直線上の角度の任意の完全なセットは、180°に追加し、
任意の三角形の角度の合計は180°であり、
二等辺三角形の任意の二つの等しい辺は、同じ角度で三番目を満たします。li>

lを隣接する図の水平線とします。角度a（点Bの左）は三等分の対象です。まず、点Aは、Bから1単位離れた角度の光線で描画されます。そして、定規の印が遊びに来ます: 定規の一方のマークはAに、もう一方のマークはBに配置されます。aに触れたまま定規（マークではありません）は、一方のマークが円上にあり、他方がl行上にあるまで、ルーラーはスライドして回転します。円上のマークはCとラベル付けされ、行上のマークはDとラベル付けされます。これにより、CD=ABが保証されます。半径BCは、線分AB、BC、およびCDがすべて同じ長さであることを明らかにするために描画されます。さて、三角形ABCとBCDは二等辺三角形なので、（上記の事実3によって）それぞれ2つの等しい角度を持っています。

仮説

仮説: ADが直線であり、AB、BC、およびCDがすべて同じ長さであると仮定すると、

結論：角度b=a/3。

証明:

上記の事実1)から、e+c=180{\displaystyle e+c=180}
$e+c=180$

°。
三角形BCDを見ると、2)e+2b=180{\displaystyle e+2b=180}
$e+2b=180$

°。
最後の二つの方程式から、c=2b{\displaystyle c=2b}
$c=2b$

。
From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
$d+2c=180$

°, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

$d=180$

° − 2 c {\displaystyle -2c}

$-2c$

, so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

$d=180$

° − 4 b {\displaystyle -4b}

$-4b$

.
上記の事実1から、a+d+b=180{\displaystyle a+d+b=180}
$a+d+b=180$

°、したがってa+(180{\displaystyle a+(180}

$a+(180$

°−4b)+b=180{\displaystyle-4b)+b=180}

$-4b)+b=180$

°。

クリア、a−3b=0、またはa=3bであり、定理が証明されています。

再び、この構造は、マークされた直線を使用して、許可された構造の枠組みの外に踏み出しました。Thomas HutchesonはMathematics Teacherに、コンパスと直線のエッジの代わりに文字列を使用する記事を掲載しました。文字列は、まっすぐなエッジ（それを伸ばすことによって）またはコンパス（ある点を固定し、別の点を識別することによって）のいずれかとして使用す

ハッチソンは、角度を横切って円弧を描き、それを円として完成させ、その円から正三角形が内接する円柱（360度の角度を三つに分割したもの）を構築することによって三等分される角度から円柱を構築した。これは、同様の三角形の簡単な証明で、三等分される角度に「マッピング」されました。h3>

角度を三等分するトマホーク。ハンドルは1つの三等分線を形成し、表示されている青い線は他の三等分線を形成します。

“トマホーク”は、半円と二つの直交する線分からなる幾何学的形状であり、短い線分の長さは円の半径に等しくなります。三等分は、トマホークの短いセグメントの端を一方の光線に傾け、円の端を他方の光線に傾けて、”ハンドル”（長いセグメント）が角度の頂点を横切るように実行され、三等分線は頂点と半円の中心の間を走る。

トマホークはcompassとstraightedgeで構築可能ですが、一般的には目的の位置にトマホークを構築することはできません。したがって、上記の構成は、定規とコンパスだけでの角度の非交差性と矛盾しない。

トマホークは、紙折り法と同じ幾何学的効果を生成します：円の中心と短いセグメントの先端との間の距離は、角度に接触することが保証されている半径それはまた建築家のL定規（大工の正方形）の使用と同等である。

相互接続されたcompassesEdit

角度は、隣接するプロング間の三つの角度を等しく保つように設計されたプロング間のリンケージで、本質的にコンパスの四

Company Pride