een systeem van lineaire vergelijkingen kan worden opgelost door de vergrote matrix te reduceren tot gereduceerde echelon vorm.

een matrix kan worden gewijzigd in de gereduceerde rij echelon vorm, of rij gereduceerd tot de gereduceerde rij echelon vorm met behulp van de elementaire rij operaties. Deze zijn:

1. verwissel een rij van de matrix met een andere van de matrix.
2. vermenigvuldig één rij van de matrix met een niet-nul scalaire constante.
3. Vervang de ene rij door de ene rij plus een constante keer een andere rij van de matrix.

bijvoorbeeld, gegeven het volgende lineaire systeem met overeenkomstige augmented matrix:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve dit systeem, de matrix moet worden gereduceerd tot gereduceerde echelon vorm.

Stap 1: wissel van rij 1 en rij 3. Alle voorloopnullen zijn nu onder niet-nul voorloopingangen.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Stel rij 2 in op rij 2 plus (-1) keer rij 1. Met andere woorden, Trek rij 1 af van rij 2. Dit elimineert het eerste item van rij 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Stap 4: Stel rij 3 in op rij 3 plus (-1) keer rij 2. Met andere woorden, Trek rij 2 af van rij 3. Dit elimineert de tweede regel van rij 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: vermenigvuldig elke rij met de reciproque van de eerste niet-nulwaarde. Zo begint elke toer met een 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is nu in rij echelon-vorm: alle niet-nulrijen staan boven alle rijen van alle nullen (er zijn geen nulrijen), elke voorloopingang van een rij bevindt zich in een kolom rechts van de voorloopingang van de rij erboven en alle vermeldingen in een kolom onder een voorloopingang zijn nullen.

zoals later kan en zal worden getoond, kan men vanuit deze vorm zien dat het systeem oneindig veel oplossingen heeft. Om deze oplossingen te krijgen, wordt de matrix verder gereduceerd tot gereduceerde echelon vorm.

Stap 6: Stel rij 2 in op rij 2 plus (-1) keer rij 3 en rij 1 naar rij 1 plus (-2) keer rij 3. Dit elimineert de vermeldingen boven de eerste vermelding van rij 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Zet toer 1 op toer 1 plus 3 keer toer 2. Dit elimineert de vermelding boven de eerste vermelding van rij 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a gereduceerde echelon-vorm, aangezien de leidende vermelding in elke rij zonder nul nul is 1 en elke leidende 1 de enige vermelding zonder nul nul in de kolom is.

van hieruit kan de oplossing van het systeem worden gelezen:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}