Arbeidet 2000 år før utviklingen av kalkulator, den greske matematikeren Archimedes utarbeidet en enkel formel for volumet av en sfære:

div av hans mange matematiske bidrag var arkimedes mest stolt av dette resultatet, og gikk så langt som å be om at metoden han brukte til å utarbeide formelen — et diagram som omkranser en sfære inne i en sylinder sammen med forholdet 2:3— ble trykt på hans gravsten.Archimedes ‘ formel kan ha vært et slag av vitenskapelig geni i 250 F. KR., men med hjelp av moderne kalkulator er avledningen ekstremt enkel. I dette innlegget vil jeg forklare en måte å utlede den berømte formelen på, og forklare hvordan det kan gjøres i andre dimensjoner enn de vanlige tre.

Derivasjonen

Vurder diagrammet nedenfor. Det er en sfære med radius r. målet er å finne volumet, og her er hvordan vi gjør det.

legg merke til at en ting vi lett kan finne er området for en enkelt horisontal skive av ballen. Dette er den skyggefulle disken øverst på diagrammet, som er tegnet i høyden z. disken har en radius på x, som vi må finne området på disken. For å finne x, kan vi danne en riktig trekant med sider z og x, og hypotenuse r. dette er tegnet i figuren. Da kan vi enkelt løse for x.

Ved Pythagorasetningen vet vi at

hoppe løse for x vi har

området på den skyggelagte platen er ganske enkelt pi ganger radien i andre, eller

Nå som vi har området på en horisontal disk, vil vi finne området på alle horisontale disker inne i ballen summert sammen. Det vil gi oss volumet av sfæren.

For å gjøre dette tar vi bare det bestemte integralet av diskområdeformelen ovenfra for alle mulige høyder z, som er mellom-r (nederst på ballen) og r (øverst på ballen). Det vil si at volumet vårt er gitt av

som er volumformelen vi lette etter.

denne samme logikken kan brukes til å utlede formler for volumet av en «ball» i 4, 5 og høyere dimensjoner også. Når du gjør det, kan du vise at volumet av en enhetskule i en dimensjon (en linje) bare er 2; volumet i to dimensjoner (en disk) er

og — som vi nettopp har vist — volumet i tre dimensjoner (en sfære) er

fortsetter videre til fire, fem og til slutt n dimensjoner, vises et overraskende resultat.det viser seg at volumet av en enhetskule topper i fem dimensjoner, og fortsetter deretter å krympe etterpå, til slutt nærmer seg null når dimensjonen n går til uendelig.