et system av lineære ligninger kan løses ved å redusere sin augmented matrix i redusert echelon form.

en matrise kan endres til sin reduserte rad echelon form, eller rad redusert til sin reduserte rad echelon form ved hjelp av elementære rad operasjoner. Disse Er:

1. Utveksler en rad av matrisen med en annen av matrisen.
2. Multipliser en rad av matrisen med en ikke-null skalar konstant.
3. Erstatt en rad med en rad pluss en konstant ganger en annen rad i matrisen.

for eksempel, gitt følgende lineære system med tilsvarende forstørret matrise:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve dette systemet må matrisen reduseres til redusert echelonform.

Trinn 1: Bytt rad 1 og rad 3. Alle ledende nuller er nå under ikke-null ledende oppføringer.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Sett rad 2 til rad 2 pluss (-1) ganger rad 1. Med andre ord trekker du rad 1 fra rad 2. Dette vil eliminere den første oppføringen av rad 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Trinn 4: Sett rad 3 til rad 3 pluss (-1) ganger rad 2. Med andre ord trekker du rad 2 fra rad 3. Dette vil eliminere den andre oppføringen av rad 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: Multipliser hver rad med gjensidig av sin første ikke-nullverdi. Dette vil gjøre at hver rad starter med en 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is nå i rad echelon form: Alle ikke-null rader er over noen rader med alle nuller (det er ingen null rader), hver ledende oppføring av en rad er i en kolonne til høyre for den ledende oppføringen av raden over den og alle oppføringer i en kolonne under en ledende oppføring er nuller.

Som kan og vil bli vist senere, fra dette skjemaet kan man observere at systemet har uendelig mange løsninger. For å få disse løsningene, blir matrisen ytterligere redusert til redusert echelonform.

Trinn 6: Sett rad 2 til rad 2 pluss (-1) ganger rad 3 og rad 1 til rad 1 pluss (-2) ganger rad 3. Dette vil eliminere oppføringene over den ledende oppføringen av rad 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Sett rad 1 til rad 1 pluss 3 ganger rad 2. Dette eliminerer oppforingen over den ledende oppforingen av rad 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a redusert echelon form, siden den ledende oppføringen i hver ikke-null rad er 1 og hver ledende 1 er den eneste ikke-null oppføringen i sin kolonne.

Fra dette kan løsningen av systemet leses:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}