Biografi

Paul Cohens foreldre, Abraham Og Minnie Cohen, Var Jødiske innvandrere til Usa fra sitt hjemland Polen. Abraham Cohen var i utgangspunktet en merkelig jobb mann, snu hånden til en rekke forskjellige jobber, mens hans kone brakt i noen sårt tiltrengt penger til familien fra dressing. Paul var den yngste av foreldrenes fire barn, og han vokste opp I Brooklyn, New York. Han ble oppdratt av sin mor fra en alder av ni siden på den tiden hans foreldre skilt. Interessert i matematikk fra barndommen, begynte han å studere avansert matematikk fra en ung alder. Han :-

… var bare ni år gammel da hans søster Sylvia sjekket ut en bok om kalkulus fra Et new York-bibliotek for ham. Bibliotekarer var motvillige til å la henne få boken, mye mindre for sin yngre bror, og hevdet at selv noen høyskoleprofessorer ikke forstod kalkulator.

gjennom tenårene ble han ansett som en matematisk vidunderbarn, fantastisk rundt ham med evner han viste i matematikk konkurranser. Han gikk På Stuyvesant High School I New York city, og ble uteksaminert i 1950 i en alder av seksten år. Denne skolen, med høy anseelse for matematikk og naturfag, aksepterte kun de beste studentene etter å ha tatt en opptaksprøve. Etter eksamen Fra Stuyvesant High School, Var Cohen student Ved Brooklyn College fra 1950 til 1953, men forlot uten å ta en grad etter å ha blitt tatt opp for å oppgradere studier Ved University Of Chicago etter å ha besøkt for å diskutere sine forskningsalternativer I Chicago. Han studerte for sin mastergrad I Chicago, ta kurs for å passe inn med sitt mål på den tiden som var å drive forskning i tallteori. Hans kunnskap om tallteori før ankomst I Chicago var fra en rekke klassiske tekster som han hadde lest på Egen hånd mens På College. For å passe inn med dette målet begynte han å jobbe med tallteori overvåket Av André Weil. Han ble tildelt Sin Mastergrad i 1954, men han kom til å være mer interessert i det faktum at visse resultater i tallteori var undecidable enn i tallteori selv, Tallteori, men forble et tema av interesse for ham gjennom hele sin karriere:-

han gjorde en vane å spørre fakultetet og medstudenter hva de viktigste problemene var i sine felt fordi de var de eneste problemene han ønsket å løse.

Fortsetter å studere Ved Chicago for sin doktorgrad under tilsyn Av Antoni Zygmund han ble tildelt Sin Doktorgrad i 1958 for sin doktoravhandling Emner I Teorien Om Unikhet Av Trigonometriske Serien. I denne avhandlingen sier Cohen at han:-

… ønsker å uttrykke sin dypeste takknemlighet Til Professor A Zygmund for hans konstante hjelp og oppmuntring under utarbeidelsen av denne avhandlingen.

Han begynner Introduksjonen ved å sette temaet i oppgaven i sammenheng :-

teorien om unikhet av trigonometriske serier kan betraktes som arsing fra spørsmålet om å bestemme I hvilken forstand Fourier-serien av en funksjon kan betraktes som den legitime utvidelsen av funksjonen i en uendelig trigonometrisk serie. Vi vet selvfølgelig at hvis serien konvergerer bundet til funksjonen, så må koeffisientene til serien faktisk gis Av Euler-Fourier-Formlene. Men i fravær av en slik tilstand kan vi spørre oss selv om to trigonometriske serier kan konvergere til samme funksjon overalt. Svaret på dette spørsmålet er negativt og ble i hovedsak bevist av Riemann, beviset ble fullført Av Cantor. Det er med erstatning av tilstanden konvergens overalt med konvergens nesten overalt, at teorien om sett av unikhet er bekymret.

årene som forskningsstudent var gode For Cohen, og Han gjorde mange vennskap med medstudenter, vennskap som skulle vare gjennom hele livet. John Thompson var en slik stipendiat forskning student Ved Chicago. Cohen, gjennom disse vennskapene, hadde også begynt å interessere seg for logikk: –

Som kandidatstudent Var Cohens forbindelse med logikk hans vennskap med En livlig gruppe studenter som ble logikere; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan og Stanley Tennenbaum. For en stund bodde han I Tennenbaum hus og absorbert logikk ved osmose, for det var ingen kurs i logikk I Chicago matematisk institutt.

i 1957, før tildelingen av sin doktorgrad, Cohen ble utnevnt Som Instruktør I Matematikk Ved University Of Rochester for et år. Han tilbrakte deretter studieåret 1958-59 Ved Massachusetts Institute of Technology før han tilbrakte 1959-61 som stipendiat Ved Institute For Advanced Study Ved Princeton. Dette var år Hvor Cohen gjorde en rekke betydelige matematiske gjennombrudd. I Faktorisering i gruppe algebraer (1959) viste han at enhver integrerbar funksjon på en lokalt kompakt gruppe er konvolusjonen av to slike funksjoner, og løser et problem som stilles Av Walter Rudin. I On a conjecture Of Littlewood and idempotent measures (1960) gjorde Cohen et betydelig gjennombrudd i å løse Littlewood-Formodningen. Han hadde tidligere skrevet til Harold Davenport fortelle ham om dette resultatet og Davenport svarte :-

… Til Paul sier At Hvis Paul bevis holdt opp, han ville ha bedret en generasjon Av Britiske analytikere som hadde jobbet hardt på dette problemet. Paul bevis holdt opp; Faktisk, Davenport var den første til å forbedre På Paul resultat.

I 1961 Cohen ble utnevnt til fakultetet Ved Stanford University som assisterende professor i matematikk. Han ble forfremmet til førsteamanuensis i matematikk i året etter, og også i 1962, ble tildelt En Alfred P Sloan research fellowship. I August 1962 cohen deltok I Den Internasjonale Kongressen For Matematikere I Stockholm. Han var en invitert høyttaler gi adressen Idempotente tiltak og homomorphisms av gruppe algebraer. På et cruise fra Stockholm Til Leningrad, etter Kongressen, Møtte Cohen Christina Karls Fra Malung, Sverige. De giftet seg 10. oktober 1963 og fikk tre sønner, tvillingene Eric Og Steven, Og Charles.han ble forfremmet til professor Ved Stanford University i 1964 etter å ha, på denne tiden, løst en av de mest utfordrende åpne problemer i matematikk. Cohen brukte en teknikk kalt «tvinge» for å bevise uavhengigheten i mengdelære av aksiom av valget og av den generaliserte kontinuum hypotesen. Angus MacIntyre skriver :-

et dramatisk aspekt av kontinuumhypotesen er At Cohen var en selvlært utenforstående i logikk. Hans arbeid med mengdelære og p-adiske felt har en veldig karakteristisk stil, kombinatorisk og heller fri for generell teori.

i Cohen forklarer hvordan Han kom til ideen om å tvinge Fra å lese Kurt Gö ‘ S The Consistency of The Continuum Hypothesis, en bok som består av notater fra et kurs gitt Ved Institutt For Avansert Studie i 1938-39. Continuum hypothesis problem Var Den Første Av David Hilbert berømte 23 problemer levert Til Den Andre Internasjonale Kongressen For Matematikere I Paris i 1900. Hilbert berømte tale Problemene I Matematikk utfordret (og i dag fortsatt utfordringer) matematikere å løse disse grunnleggende spørsmål Og Cohen har æren av å løse Problem 1.han hadde begynt å arbeide med uavhengigheten av kontinuumhypotesen mot slutten av 1962. I April 1963 følte han ting klikker på plass :-

det er visse øyeblikk i enhver matematisk oppdagelse når løsningen av et problem foregår på et så underbevisst nivå at det i ettertid virker umulig å dissekere det og forklare opprinnelsen. Snarere presenterer hele ideen seg på en gang, ofte kanskje i en vag form, men blir gradvis mer presis.

Etter å ha lest cohens bevis som han sendte i et brev av 9. Mai 1963, svarte Kurt Gö ham:-

la meg gjenta at det virkelig er en glede å lese beviset på kontinuumhypotes uavhengighet. Jeg tror at du i alle viktige henseender har gitt best mulig bevis, og dette skjer ikke ofte. Å lese beviset ditt hadde en like hyggelig effekt på meg som å se et veldig godt spill.

Cohen snakket om sitt arbeid på uavhengighet av aksiom av valget og kontinuum hypotesen fra aksiomer Av Zermelo-Fraenkel settteori i et foredrag Uavhengighet resultater i mengdelære levert på det internasjonale symposium på ‘Theory Of Modeller’ På Berkeley på 4 juli 1963. Hans bevis dukket opp i de to avisene uavhengigheten av kontinuumhypotesen (1963) og uavhengigheten av kontinuumhypotesen. (1964). Andrzej Mostowski, gjennomgå den første av disse, skriver:-

disse resultatene presenterer de etterlengtede løsningene av de mest fremragende åpne problemene med aksiomatisk settteori og bør vurderes som det viktigste fremskrittet i studiet av aksiomatisk settteori siden publiseringen Av G ④els 1940-monografi «kontinuumhypotesens konsistens» (1940). … Til denne anmelderen virker Det mer enn sannsynlig at innflytelsen Fra Cohens oppdagelse vil være minst like dyp i metamathematikk som i den generelle matematikkfilosofien (og kanskje ikke bare av matematikk).

Angus MacIntyre, som var utdannet student Ved Stanford fra 1964 til 1967, skriver: –

han inspirerte meg da jeg var ung matematiker. Jeg har aldri hørt ham foredrag om settteori, men heller på algebraisk geometri og p-adiske felt. Han hadde en veldig spesiell stil, full av entusiasme og veldig ‘hender på. Han brukte så lite generell teori som mulig og formidlet alltid en følelse av at han kom til hjertet av ting. Hans teknikker, selv i noe så abstrakt som settteori, var veldig konstruktive. Han var skremmende smart, og man måtte være naiv eller eksepsjonelt altruistisk for å sette sitt»vanskeligste problem»Til Paul jeg visste på 60-tallet.

Se en artikkel Av Paul Cohen om matematikk og undervisning på DENNE LINKEN
I 1966 publiserte Cohen monograph Set theory og continuum hypothesis basert på et kurs han ga På Harvard våren 1965. Azriel Lé (som først hørte Cohens resultater på Berkeley model theory conference) skriver:-

denne monografien er for det meste en utstilling av forfatterens berømte resultater, nemlig uavhengigheten av kontinuumhypotesen og det valgte aksiom. I tillegg presenterer den ogsa de viktigste klassiske resultatene i logikk og settteori. … Denne boken presenterer en frisk og intuitiv tilnærming, og det gir noen glimt inn i den mentale prosessen som førte forfatteren til hans funn. Leseren finner i denne boken akkurat den rette mengden filosofiske kommentarer for en matematisk monografi.

Samme år Ble Cohen tildelt Fieldsmedaljen for sitt fundamentale arbeid med mengdelære. Det ble presentert for Ham Av Mstislav Vsevolodovich Keldysh, President FOR USSR Academy of Sciences, på 1966 International Congress Of Mathematicians I Moskva. Bare En Fieldsmedalje (Lars Ahlfors) har blitt tildelt Fieldsmedaljen i yngre alder. Alonzo Church ga En tale Til Kongressen Om Paul J Cohen og continuum-problemet som beskriver Cohens bemerkelsesverdige prestasjoner. Fields-Medaljen var imidlertid ikke Den første Prisen Som Cohen mottok. I 1964 ble han tildelt Bô Minnepris Fra American Mathematical Society: –

…For hans papir, På en formodning Av Littlewood og idempotent tiltak, American Journal Of Mathematics 82 (1960), 191-212.

Tre år senere, I 1967, mottok Cohen National Medal of Science: –

for epokegjørende resultater i matematisk logikk som har opplevd og utvidet undersøkelser i grunnlaget for matematikk.

han mottok prisen Fra President Lyndon B Johnson i en seremoni i Det Hvite Hus den 13. februar 1968. Han har også blitt valgt inn I National Academy Of Sciences, American Academy Of Arts and Sciences, Og som æres utenlandsk medlem Av London Mathematical Society.i tillegg til sitt arbeid med mengdelære, jobbet Cohen med differensialligning og harmonisk analyse. Dawn Levy rapporterer i kommentarer om Cohen Av Peter Sarnak (professor i matematikk Ved Princeton og en tidligere doktorgradsstudent Av Cohen med avhandlingen Prime Geodesic Theorems (1980)):-

Paul Cohen var en av de mest strålende matematikere i det 20.århundre. Som mange store matematikere, hans matematiske interesser og bidrag var svært bred, alt fra matematisk analyse og differensialligninger til matematisk logikk og tallteori. Denne bredden ble fremhevet i En konferanse holdt På Stanford i September i fjor som feiret Cohens arbeid og hans 72-årsdag. Samlingen besto av ledende eksperter på ulike felt som normalt ikke ville finne seg å lytte til de samme foredragene. … Cohen var en dynamisk og entusiastisk foreleser og lærer. Han fikk matematikken til å se enkel og enhetlig ut. Han var alltid ivrig etter å dele sine mange ideer og innsikt i ulike felt. Hans lidenskap for matematikk aldri avtatt.

Macintyre skriver om viktige papirer Cohen produsert etter hans fremragende resultater på kontinuum hypotesen:-

I 1969 cohen publisert en svært original papir på p-adic celle nedbrytning, noe som gir en konstruktiv versjon Av den berømte resultatene Av Ax-Kochen-Ersov. Det er nå grunnleggende for logisk analyse av motivisk integrasjon. Fra 1969 viet Cohen seg til Noen av De mest utfordrende og urokkelige problemene, som Riemann-Hypotesen. Han var en lidenskapelig og inspirerende matematiker.

Kathy Owen, som tilbrakte Tid På Stanford på 1970-tallet, skrev om Cohen på den tiden: –

Paul var en forbløffende mann. Utålmodig, rastløs, konkurransedyktig, provoserende og strålende. Han var en vanlig på kaffe time for hovedfagsstudenter og fakultetet. Han elsket kutt-og-stakk av debatt og argument om et emne og var ubarmhjertig hvis han fant en logisk svakhet i et motsatt synspunkt. Det var rett og slett ingen steder å gjemme seg! Han skilte seg ut for sitt knivskarpe intellekt, sin fascinasjon for de store spørsmålene, sin merkelige interesse for «perfekt tonehøyde» (han tok en stemmegaffel til coffee hour og testet alle) og hans milde irritasjon med de få som har perfekt tonehøyde. Han var en bemerkelsesverdig mann, en kjær venn som hadde stor innvirkning på livet mitt, et lys med hele spekteret av farger.

Cohen ble utnevnt Til Marjorie Mhoon Fair Professor I Kvantitativ Vitenskap Ved Stanford I 1972, som den første innehaveren av denne stolen. Han pensjonerte seg formelt i 2004, men fortsatte å undervise Ved Stanford til kort tid før sin død. Han døde av en sjelden lungesykdom på Stanford Hospital I Palo Alto.Når Det gjelder cohens interesser utenfor matematikken, spilte Han både piano og fiolin, sang I Et Stanford-kor og var medlem av en svensk folkegruppe. Han var en dyktig lingvist som snakket svensk, fransk, spansk, tysk og Jiddisk. Han og hans kone arrangerte hyppige middagsselskaper for studenter, kolleger og venner. Han elsket å vise besøkende Rundt San Francisco og området rundt.
la Oss avslutte denne biografien ved å sitere Cohens erindringer om hans arbeid med kontinuumhypotesen: –

… det er litt nysgjerrig at kontinuumhypotesen og aksiomet av valg i en viss forstand ikke er veldig vanskelige problemer – de involverer ikke teknisk kompleksitet; likevel, da de ble ansett som vanskelige. Man kan si på en humoristisk måte at holdningen til mitt bevis var som følger. Da det først ble presentert, trodde noen at det var feil. Da ble det antatt å være ekstremt komplisert. Da ble det antatt å være lett. Men selvfølgelig er det lett i den forstand at det er en klar filosofisk ide. Det var tekniske punkter, du vet, som plaget meg, men i utgangspunktet var det egentlig ikke et enormt involvert kombinatorisk problem; det var en filosofisk ide.