Phonon
ligningene i denne delen bruker ikke aksiomer av kvantemekanikk, men bruker i stedet relasjoner som det eksisterer en direkte korrespondanse i klassisk mekanikk.
for eksempel: en stiv vanlig, krystallinsk (ikke amorf) gitter består Av n partikler. Disse partiklene kan være atomer eller molekyler. N er et stort antall, si om rekkefølgen av 1023, eller på Rekkefølgen av Avogadro-nummeret for en typisk prøve av et fast stoff. Siden gitteret er stivt, må atomene utøve krefter på hverandre for å holde hvert atom nær sin likevektsposisjon. Disse kreftene kan være Van Der Waals-krefter, kovalente bindinger, elektrostatiske attraksjoner og andre, som alle til slutt skyldes den elektriske kraften. Magnetiske og gravitasjonskrefter er generelt ubetydelige. Kreftene mellom hvert par atomer kan karakteriseres av en potensiell energifunksjon V som avhenger av avstanden for separasjon av atomene. Den potensielle energien til hele gitteret er summen av alle parvise potensielle energier multiplisert med en faktor på 1/2 for å kompensere for dobbelttelling:
1 2 ∑ i ≠ j v ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\venstre(r_{i}-r_{j}\høyre)}
hvor ri er posisjonen til ith-atomet, og v er den potensielle energien mellom to atomer.Det er vanskelig å løse dette mange kroppsproblemet eksplisitt i enten klassisk eller kvantemekanikk. For å forenkle oppgaven blir to viktige tilnærminger vanligvis pålagt. For det første utføres summen bare over nærliggende atomer. Selv om de elektriske kreftene i ekte faste stoffer strekker seg til uendelig, er denne tilnærmingen fortsatt gyldig fordi feltene produsert av fjerne atomer blir effektivt screenet. For Det andre behandles potensialene V som harmoniske potensialer. Dette er tillatt så lenge atomene forblir nær deres likevektsposisjoner. Formelt oppnås Dette Ved At Taylor utvider V om sin likevektsverdi til kvadratisk rekkefølge, noe Som gir V proporsjonal med forskyvningen x2 og den elastiske kraften ganske enkelt proporsjonal med x. Feilen i å ignorere høyere ordensvilkår forblir liten hvis x forblir nær likevektsposisjonen.
den resulterende gitteret kan visualiseres som et system av baller forbundet med fjærer. Følgende figur viser et kubisk gitter, som er en god modell for mange typer krystallinsk fast stoff. Andre gitter inkluderer en lineær kjede, som er et veldig enkelt gitter som vi snart vil bruke til modellering av fononer. (For andre vanlige gitter, se krystallstruktur.)
gitterets potensielle energi kan nå skrives som
∑ {i j } (n n ) 1 2 n n ω 2 (R I − r j ) 2 . {\displaystyle \ sum _{\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}} nn \ omega ^{2} \ venstre (R_{i}-r_{j}\høyre)^{2}.}
her er ω den naturlige frekvensen av de harmoniske potensialene, som antas å være den samme siden gitteret er vanlig. Ri er posisjonskoordinaten til ith-atomet, som vi nå måler fra sin likevektsposisjon. Summen over nærmeste naboer er betegnet (nn).
Gitterbølgeredit
Fonon som forplanter seg gjennom et firkantet gitter (atomforskyvninger sterkt overdrevet) på grunn av forbindelsene mellom atomer, forskyvningen av en eller flere atomer.atomer fra deres likevektsposisjoner gir opphav Til et sett vibrasjonsbølger som forplanter seg gjennom gitteret. En slik bølge er vist i figuren til høyre. Amplituden til bølgen er gitt av forskyvningene av atomene fra deres likevektsposisjoner. Bølgelengden λ er merket.
det er en minimum mulig bølgelengde, gitt ved to ganger likevektsseparasjonen a mellom atomer. Enhver bølgelengde kortere enn dette kan kartlegges på en bølgelengde lengre enn 2a, på grunn av periodiciteten av gitteret. Dette kan tenkes som en konsekvens Av Nyquist-Shannon samplingsteorem, gitterpunktene blir sett på som «samplingspunkter» av en kontinuerlig bølge.
Ikke alle mulige gittervibrasjoner har en veldefinert bølgelengde og frekvens. Imidlertid har de normale modusene veldefinerte bølgelengder og frekvenser.
endimensjonal latticeEdit
for å forenkle analysen som trengs for et 3-dimensjonalt gitter av atomer, er det praktisk å modellere en 1-dimensjonal gitter eller lineær kjede. Denne modellen er kompleks nok til å vise de viktigste funksjonene i fononer.
Klassisk behandlingrediger
kreftene mellom atomene antas å være lineære og nærmeste nabo, og de representeres av en elastisk fjær. Hvert atom antas å være en punktpartikkel og kjernen og elektronene beveger seg i trinn (adiabatisk teorem):
n − 1 n n + 1 → en →
···o+++++++++o++++++o+++++o+++++o+++++o+++++o+++++o++++++o+++++o+++ + + + o···
→ → → → → → un − 1 un + 1
der n merker det nte atom ut av totalt n, a er Avstanden mellom atomer når kjedet er koblet til hverandre.i likevekt, og un forskyvningen av det nte atom fra sin likevektsposisjon.
Hvis C er den elastiske konstanten av våren og m massen av atomet, så er bevegelsesligningen for det nte atom
− 2 C u n + C (u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . {\displaystyle-2Cu_{n}+C\venstre(u_{n+1}+u_{n-1}\høyre)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}
dette er et sett med koblede ligninger.
Siden løsningene forventes å være oscillerende, defineres nye koordinater av en diskret Fourier-transformasjon for å avkoble dem.
Sett
u n = ∑ n a k / 2 π = 1 N q k e i k n a . {\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}
her tilsvarer og tilfaller den kontinuerlige variabelen x av skalar feltteori. Qk er kjent som de normale koordinatene, continuum field modes φ.
Substitusjon i bevegelsesligningen produserer følgende frakoplede ligninger (dette krever en signifikant manipulering ved hjelp av ortonormalitet og fullstendighetsrelasjoner av den diskrete Fourier-transformasjonen,
2 C (cos k a – 1) Q k = m d 2 Q k d t 2. {\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}
dette er ligningene for avkoblede harmoniske oscillatorer som har løsningen Q k = a k e i ω k t; ω k = 2 C m (1 − cos k a ) . {\displaystyle Q_{K}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}
hver normal koordinat qk representerer en uavhengig vibrasjonsmodus av gitteret med wavenumber k, som er kjent som en normal modus.
den andre ligningen, for wk, er kjent som dispersjonsrelasjonen mellom vinkelfrekvensen og bølgetallet.
i kontinuumsgrensen er en→0, N→ ∞, med na Holdt fast, un → φ(x), et skalarfelt og ω ( k ) ∝ k a {\displaystyle \ omega (k) \ propto ka}
. Dette utgjør klassisk fri skalar feltteori, en samling av uavhengige oscillatorer.
Kvantebehandlingrediger
en endimensjonal kvantemekanisk harmonisk kjede består Av n identiske atomer. Dette er den enkleste kvantemekaniske modellen av et gitter som gjør at fononer kan oppstå fra det. Formalismen for denne modellen er lett generaliserbar til to og tre dimensjoner.
i noen kontrast til den forrige delen, er posisjonene til massene ikke betegnet av ui, men i stedet av x1, x2…, målt fra deres likevektsposisjoner (dvs. xi = 0 hvis partikkel i er i likevektsposisjonen.) I to eller flere dimensjoner er xi vektorkvantiteter. Hamiltonian for dette systemet er
h = ∑ i = 1 N jeg 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i j } ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}^{2} {2m}}+{\frac {1} {2}} m\omega ^{2}\sum _{\{ij\} (\mathrm {nn})} \venstre(X_{i}-X_{j}\høyre)^{2}}
hvor m Er massen til hvert atom (Forutsatt at det er lik for alle), og xi og pi er Henholdsvis Posisjons-og momentumoperatørene, for ith atom og summen er laget over nærmeste naboer (nn). Men man forventer at i en gitter kan det også oppstå bølger som oppfører seg som partikler. Det er vanlig å håndtere bølger I Fourier-rom som bruker normale moduser av wavevector som variabler i stedet koordinater av partikler. Antall normale moduser er det samme som antall partikler. Imidlertid Er Fourier-rommet veldig nyttig gitt systemets periodicitet.
et sett Med N «normale koordinater» Qk kan innføres, definert som de diskrete Fourier − transformasjonene av xk og N «konjugert momenta» Π definert som Fourier-transformasjonene av pk:
Q k = 1 N ∑ l e i k a l x L Π k = 1 N ∑ l e-i k a l l l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\Pi _{k}&={\frac {1} {\sqrt {N}}}\sum _det er ikke noe problem.\end{aligned}}}
mengden kn viser seg å være bølgetallet til fononet, dvs. 2π delt på bølgelengden.
dette valget beholder de ønskede kommutasjonsrelasjonene i enten ekte rom eller wavevektorrom
= i ℏ δ l , m = 1 n ∑ l , m e i k a l e − i k ‘a m = i ℏ n ∑ l e i a l ( k − k’ ) = i ℏ δ k , k ‘ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\hbar \delta _{l,m}\\\venstre&={\frac {1}{n}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ikam}\venstre\\&={\frac {i\hbar }{n}}\sum _{l}e^{ial\venstre(k-k’\høyre)}=i\hbar \Delta _{k,k’}\\\venstre&=\venstre=0\end{aligned}}}
Fra den generelle resultat
∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k Q k Q k ‘∑ l e i a l ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k Q k-Q − k k e i a m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{justert}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{justert}}}
Den potensielle energien sikt er
1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k-Q − k ( 2 − e i k − e − i q ) = 1 2 ∑ k jeg ω k 2 Q k − Q-k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\venstre(x_{j}-x_{j+1}\høyre)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}q_{k}q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}q_{k}q_{-k}}
hvor @ k = 2 ( 1 − cos (k a ) = 2 ω | sin k 2|{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\venstre(1-\cos {ka}\høyre)}}=2\omega \venstre|\sin {\frac {ka}{2}}\høyre/}
Hamiltonen kan skrives i wavevektorrom som
h = 1 2 m ∑ k ( Π k π − k + m 2 ω k 2 q k q ) {\displaystyle {\mathcal {h}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\venstre(\pi _{k}\pi _{−k}+m^{2}\omega _{k}^{2}q_{k}q_ {- k}\høyre)}
koblingene mellom posisjonsvariablene har blitt transformert bort; Hvis Q og Π var Hermitian (som de ikke er), ville den transformerte Hamiltonian beskrive N frakoblede harmoniske oscillatorer.
formen av kvantiseringen avhenger av valget av grensebetingelser; for enkelhet er periodiske grensebetingelser pålagt, og definerer (N + 1) th atom som ekvivalent med det første atom. Fysisk tilsvarer dette å bli med i kjeden i sine ender. Den resulterende kvantiseringen er
k = k n = 2 π n n a for n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k = k_{n}={\frac {2 \ pi n}{Na}} \ quad {\mbox{for }}n=0, \ pm 1, \ pm 2,\ldots \ pm {\frac {N}{2}}.\ }
den øvre grensen til n kommer fra minimumsbølgelengden, som er to ganger gitteravstanden a, som diskutert ovenfor.
harmoniske oscillator egenverdier eller energinivåer for modusen wk er:
e n = ( 1 2 + n ) ℏ ω = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\venstre({\tfrac {1}{2}+n\høyre)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots}
nivåene er jevnt fordelt på:
1 2 ℏ ω , 3 2 ℏ ω , 5 2 ℏ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }
hvor 1/2ħ er nullpunktsenergien til en kvanteharmonisk oscillator.
det harmoniske oscillatorgitteret må tilføres en eksakt mengde energi for å skyve den til neste energinivå. I forhold til fotonsaken når det elektromagnetiske feltet er kvantisert, kalles kvantum av vibrasjonsenergi en fonon.
alle kvantesystemer viser bølgelignende og particlelike egenskaper samtidig. De partikkellignende egenskapene til fononet forstås best ved hjelp av metodene for andre kvantisering og operatorteknikker beskrevet senere.
Tredimensjonal latticeEdit
dette kan generaliseres til et tredimensjonalt gitter. Wavenumber k er erstattet av en tredimensjonal wavevector k. Videre er hver k nå forbundet med tre normale koordinater.
de nye indeksene s = 1, 2, 3 merker polarisasjonen av fononene. I den endimensjonale modellen var atomene begrenset til å bevege seg langs linjen, slik at fononene korresponderte med langsgående bølger. I tre dimensjoner er vibrasjon ikke begrenset til forplantningsretningen, og kan også forekomme i de vinkelrette planene, som tverrbølger. Dette gir opphav til de ekstra normale koordinatene, som, som Formen Av Hamiltonian indikerer, kan vi se som uavhengige arter av fononer.
Dispersion relationEdit
for et endimensjonalt vekslende utvalg av to typer ion eller atom av masse m1, gjentas m2 periodisk på avstand a, forbundet med fjærer av fjærkonstant K, to vibrasjonsresultater:
ω ± 2 = k ( 1 m 1 + 1 m 2) ± k ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 sin 2 k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=k\venstre({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}\høyre)\pm k{\sqrt {\venstre({\frac {1} {m_{1}}}\frac {1} {m_{2}}}\høyre)^{2}-{\frac {4\sin ^{2} {\frac {ka} {2}}} {m_{1} m_{2}}}}},}
hvor k er wavevector av vibrasjonen relatert til dens bølgelengde ved k = 2 π λ {\displaystyle k = {\tfrac {2 \ pi} {\lambda}}}
.
forbindelsen mellom frekvens og wavevector, ω = ω(k), kalles et spredningsforhold. Plustegnet resulterer i den såkalte optiske modusen, og minustegnet til akustisk modus. I optisk modus beveger to tilstøtende forskjellige atomer seg mot hverandre, mens de i akustisk modus beveger seg sammen.
forplantningshastigheten til en akustisk fonon, som også er lydens hastighet i gitteret, er gitt av skråningen av det akustiske dispersjonsforholdet, ∂wk / ∂k (se gruppehastighet .) Ved lave verdier av k (dvs. lange bølgelengder) er dispersjonsforholdet nesten lineært, og lydens hastighet er omtrent wa, uavhengig av fononfrekvensen. Som et resultat kan pakker med fononer med forskjellige (men lange) bølgelengder forplante seg for store avstander over gitteret uten å bryte fra hverandre. Dette er grunnen til at lyden forplanter seg gjennom faste stoffer uten betydelig forvrengning. Denne oppførselen mislykkes ved store verdier av k, dvs. korte bølgelengder, på grunn av de mikroskopiske detaljene i gitteret.for en krystall som har minst to atomer i sin primitive celle, viser dispersjonsrelasjonene to typer fononer, nemlig optiske og akustiske moduser som svarer til henholdsvis den øvre blå og nedre røde kurven i diagrammet. Den vertikale aksen er energien eller frekvensen til phonon, mens den horisontale aksen er wavevector. Grensene at −π/a og π/a er grensene for den første Brillouin-sonen. En krystall Med n ≥ 2 forskjellige atomer i den primitive cellen viser tre akustiske moduser: en langsgående akustisk modus og to tverrgående akustiske moduser. Antall optiske moduser ER 3N-3. Den nedre figuren viser dispersjonsrelasjoner for flere phonon moduser I GaAs som en funksjon av wavevector k i de viktigste retninger Av Sin Brillouin sone.mange phonon dispersjonskurver har blitt målt ved uelastisk nøytronspredning.lydens fysikk i væsker er forskjellig fra lydens fysikk i faste stoffer, selv om begge er tetthetsbølger: lydbølger i væsker har bare langsgående komponenter, mens lydbølger i faste stoffer har langsgående og tverrgående komponenter. Dette skyldes at væsker ikke kan støtte skjærspenninger (men se viskoelastiske væsker, som bare gjelder for høye frekvenser).
Tolkning av fononer ved hjelp av andre kvantiseringsteknikkerrediger
Den ovenfor avledede Hamiltonian kan se ut som en klassisk Hamiltonian-funksjon, men hvis den tolkes som en operatør, beskriver den en kvantefeltteori om ikke-interagerende bosoner.Den andre kvantiseringsteknikken, som ligner på stigeoperatørmetoden som brukes til kvantharmoniske oscillatorer, er et middel til å trekke ut energi egenverdier uten å løse differensialligningene direkte. Gitt Hamiltonian, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}
, Så vel Som den konjugerte posisjonen, Q k {\displaystyle Q_{k}}
, Og Konjugert Momentum Π K {\displaystyle \pi _{k}}
definert i kvantebehandlingsdelen ovenfor kan vi definere skapelses-og annihilasjonsoperatører: b k = jeg ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i} og{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}
og b k † = jeg ω k 2 ℏ ( Q − k − jeg jeg ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dolk }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i} og{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}
følgende kommutatorer kan enkelt oppnås ved å erstatte i den kanoniske kommutasjonsrelasjonen:
= δ k , k ‘, = = 0 {\displaystyle \venstre=\delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}
ved hjelp av dette kan operatørene bk† og bk inverteres for å omdefinere konjugert posisjon og momentum som:
Q k = ℏ 2 m ω k ( b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dolk }+b_{-k}\right)}
og Π k = jeg ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=jeg{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dolk }-b_{-k}\right)}
Direkte ved å erstatte disse definisjonene Med Q k {\displaystyle q_{k}}
og Π k {\displaystyle \Pi _{k}}
I Wavevector space Hamiltonian, slik det er definert over, og forenkling resulterer Da i hamiltonian Som Tar skjemaet: H = ∑ k ℏ ω k ( b k † b + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {h}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\venstre({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}\høyre)}
dette er kjent som den andre kvantiseringsteknikken, også kjent som okkupasjonsnummerformuleringen, hvor nk = bk†bk er okkupasjonsnummeret. Dette kan ses å være en sum Av n uavhengige oscillator-Hamiltonians, hver med en unik bølgevektor, og kompatibel med metodene som brukes for kvanteharmonisk oscillator (merk at nk er hermitian). Når En Hamiltonian kan skrives som en sum av pendling sub-Hamiltonians, vil energi egenstatene bli gitt av produktene av egenstater av hver av de separate Sub-Hamiltonians. Det tilsvarende energispekteret er da gitt av summen av de individuelle egenverdiene til Sub-Hamiltonians.
som med quantum harmonic oscillator, kan man vise at bk† og bk henholdsvis skaper og ødelegger en enkelt felteksitasjon, en fonon, med en energi av ħ.
Tre viktige egenskaper av fononer kan utledes fra denne teknikken. For det første er fononer bosoner, siden et hvilket som helst antall identiske eksitasjoner kan opprettes ved gjentatt bruk av opprettelsesoperatøren bk†. For det andre er hver fonon en «kollektiv modus» forårsaket av bevegelsen av hvert atom i gitteret. Dette kan ses fra det faktum at skapelses-og annihilasjonsoperatørene, definert her i momentumrom, inneholder summer over posisjons-og momentumoperatørene til hvert atom når de skrives i posisjonsrom (Se posisjon og momentumrom). Til slutt, ved hjelp av posisjon – posisjon korrelasjonsfunksjonen, kan det vises at fononer fungerer som bølger av gitterforskyvning.
denne teknikken generaliseres lett til tre dimensjoner, hvor Hamiltonian tar formen:
h = ∑ k ∑ s = 1 3 ℏ ω k , s ( b k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ sum _{k} \ sum _{s = 1}^{3}\hbar \, \ omega _{k, s} \ venstre({b_{k, s}}^{\dagger }b_{k, s}+{\tfrac {1}{2}}\høyre).}
