det generelle problemet med vinkel triseksjon er løsbar ved hjelp av ekstra verktøy, og dermed går utenfor den opprinnelige greske rammen av kompass og straightedge.

mange feil metoder for å trisisere den generelle vinkelen har blitt foreslått. Noen av disse metodene gir rimelige tilnærminger; andre (noen som er nevnt nedenfor) involverer verktøy som ikke er tillatt i det klassiske problemet. Matematikeren Underwood Dudley har beskrevet noen av disse mislykkede forsøkene i sin bok The Trisectors.

Tilnærming ved suksessive bisectionsrediger

Triseksjon kan tilnærmes ved repetisjon av kompasset og straightedge-metoden for halvering av en vinkel. Den geometriske serien 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ eller 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ kan brukes som grunnlag for biseksjonene. En tilnærming til en hvilken som helst grad av nøyaktighet kan oppnås i et begrenset antall trinn.

bruke origamiEdit

Triseksjon, som mange konstruksjoner umulig av linjal og kompass, kan lett oppnås ved bruk av papirbretting eller origami. Huzitas aksiomer (typer foldeoperasjoner) kan konstruere kubiske utvidelser (kuberøtter) av gitte lengder, mens linjal-og-kompass kun kan konstruere kvadratiske utvidelser (firkantede røtter).

Bruke en linkageEdit

Sylvesters Link Fan

vinkler inkludert kempes trisector og sylvesters link fan eller isoklinostat.

med en høyre trekantet rulerEdit

i 1932, ludwig bieberbach publisert i journal fü die reine und angewandte mathematik sitt arbeid zur lehre von den kubischen konstruktionen. Han sier deri (gratis oversettelse):

» Som det er kjent … hver kubisk konstruksjon kan spores tilbake til triseksjonen av vinkelen og til multiplikasjonen av kuben, det vil si utvinningen av den tredje roten. Jeg trenger bare å vise hvordan disse to klassiske oppgavene kan løses ved hjelp av den rette vinkelkroken.»

følgende beskrivelse av tilstøtende konstruksjon (animasjon) inneholder deres fortsettelse opp til hele vinkelen triseksjon.

den begynner med den første enhetssirkelen rundt dens senter a {\displaystyle a}

, den første vinkelen b p {\displaystyle {\overline {BP}}}

, og den andre enhetssirkelen Rundt P {\displaystyle p}

følger den. Nå er diameteren B p {\displaystyle {\overline {BP}}}

fra p {\displaystyle p}

er utvidet til sirkellinjen i denne enhetssirkelen, skjæringspunktet o {\displaystyle o}

blir opprettet. Etter sirkelbuen rundt P {\displaystyle p}

med radiusen B p {\displaystyle {\overline {BP}}}

og tegningen av den andre vinkelen lem fra vinkelen δ {\displaystyle \delta }

, punktet c {\displaystyle c}

resultater. Nå brukes det såkalte ekstra konstruksjonsmiddelet, I det illustrerte eksemplet Er Det Geodreieck. Denne geometritrekanten, som den også kalles, er nå plassert på tegningen på følgende måte: toppunktet i den rette vinkelen bestemmer punktet s {\displaystyle s}

På vinkelbenet P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, et katetus av trekanten passerer Gjennom Punktet o {\displaystyle o}

og den andre påvirker enhetssirkelen a {\displaystyle A}

. Etter tilkobling av punktet o {\displaystyle o}

Til s {\displaystyle s}

og tegning av tangenten fra s {\displaystyle s}

til Enhetssirkelen rundt a {\displaystyle a}

, vises den ovennevnte høyrevinkelkroken henholdsvis rechtwinkelhaken. Vinkelen omsluttet Av segmentene o {\displaystyle {\overline {OS}}}

og P s {\displaystyle {\OVERLINE {PS}}}

er dermed Nøyaktig Δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

. Det fortsetter med parallellen Til o s {\displaystyle {\overline {OS}}}

fra p {\displaystyle p}

, den alternative vinkelen δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}

og punktet d {\displaystyle d}

blir opprettet. En ytterligere parallell Til O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

fra a {\displaystyle a}

bestemmer kontaktpunktet E {\displaystyle e}

fra tangenten med enhetssirkelen om a {\displaystyle a}

. Til slutt tegner Du en rett linje fra P {\displaystyle P}

gjennom e {\displaystyle e}

til den krysser enhetssirkelen I F {\displaystyle F}

. Dermed har vinkelen δ {\displaystyle \ delta }

nøyaktig tre deler.

Med en ekstra curveEdit

• Triseksjon ved Hjelp Av Den Arkimediske spiralen

• trisection bruker maclaurin trisectrix

det er visse kurver kalt trisectrices Som, hvis trukket På Flyet Ved hjelp av andre metoder, kan brukes til å trisect vilkårlig vinkler. Eksempler inkluderer Trisektrisen Til Colin Maclaurin, gitt I Kartesiske koordinater ved den implisitte ligningen

2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

og den arkimediske spiral. Spiralen kan faktisk brukes til å dele en vinkel i et hvilket som helst antall like deler.

med en merket rulerEdit

Triseksjon av vinkelen ved hjelp av merket linjal

En annen måte å trisektere en vilkårlig vinkel med et «lite» trinn utenfor det greske rammeverket er via en linjal med to merker a sette Avstand fra hverandre. Den neste konstruksjonen skyldes Opprinnelig Archimedes, kalt En Neusis-konstruksjon, dvs. som bruker andre verktøy enn en un-merket straightedge. Diagrammene vi bruker viser denne konstruksjonen for en spiss vinkel, men det fungerer faktisk for alle vinkler opp til 180 grader.

dette krever tre fakta fra geometri (til høyre):

1. ethvert komplett sett med vinkler på en rett linje legger til 180°,
2. summen av vinkler i en hvilken som helst trekant er 180°, og
3. alle to like sider av en likebent trekant vil møte den tredje i samme vinkel.

La l være den horisontale linjen i det tilstøtende diagrammet. Vinkel a (venstre for punkt B) er gjenstand for triseksjon. Først tegnes et punkt A i en vinkelstråle, en enhet bortsett Fra B. en sirkel med radius AB tegnes. Deretter, markedness av herskeren kommer inn i bildet: ett merke på linjalen er plassert På A og Det Andre På B. mens linjalen (men ikke merket) berører A, skyves linjalen og roteres til ett merke er på sirkelen og det andre er på linjen l. merket På sirkelen er merket C og merket På linjen er merket D. DETTE sikrer AT CD = AB. En radius BC er tegnet for å gjøre det klart at linjesegmentene AB, BC og CD alle har samme lengde. Nå er trekanter ABC OG BCD isosceles, således (Ved Faktum 3 ovenfor) har hver to like vinkler.

Hypotese: Gitt AD er en rett linje, OG AB, BC og CD har alle like lengde,

Konklusjon: vinkel b = a / 3.

Bevis:

1. Fra Faktum 1) ovenfor, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   °.

2. Ser på trekant BCD, Fra Faktum 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
   

   °.

3. fra de to siste ligningene, c = 2 b {\displaystyle c = 2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. Fra Faktum 1) ovenfor, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
   

   °, således a + ( 180 {\displaystyle a+(180}

   /div>

   ° − 4 b ) + b = 180 {\displaystyle-4b)+b=180}

   

   °.

Clearing, a – 3b = 0 eller a = 3b, og teoremet er bevist.

Igjen gikk denne konstruksjonen utenfor rammen av tillatte konstruksjoner ved å bruke en merket straightedge.

med en strengrediger

Thomas Hutcheson publiserte en artikkel i Matematikklæreren som brukte en streng i stedet for kompass og rett kant. En streng kan brukes som enten en rett kant (ved å strekke den) eller et kompass (ved å fikse ett punkt og identifisere et annet), men kan også vikle rundt en sylinder, nøkkelen Til Hutchesons løsning.

Hutcheson konstruerte en sylinder fra vinkelen som skulle trisekteres ved å tegne en bue over vinkelen, fullføre den som en sirkel, og konstruere fra den sirkelen en sylinder som en, si, like-sidig trekant ble innskrevet (en 360 graders vinkel delt i tre). Dette ble deretter «kartlagt» på vinkelen som skulle trisiseres, med et enkelt bevis på lignende trekanter.

Med en «tomahawk»Rediger