Phonon
de vergelijkingen in deze sectie maken geen gebruik van axioma ‘ s van de kwantummechanica, maar gebruiken in plaats daarvan relaties waarvoor er een directe overeenkomst bestaat in de klassieke mechanica.
bijvoorbeeld: een stijf, regelmatig, kristallijn (niet amorf) rooster bestaat uit N-deeltjes. Deze deeltjes kunnen atomen of moleculen zijn. N is een groot getal, bijvoorbeeld in de Orde van 1023, of in de Orde van het Avogadro-getal voor een typisch monster van een vaste stof. Omdat het rooster stijf is, moeten de atomen krachten op elkaar uitoefenen om elk atoom in de buurt van zijn evenwichtspositie te houden. Deze krachten kunnen zijn van der Waals krachten, covalente bindingen, elektrostatische aantrekkingen, en anderen, die allemaal uiteindelijk te wijten zijn aan de elektrische kracht. Magnetische en gravitatiekrachten zijn over het algemeen verwaarloosbaar. De krachten tussen elk paar atomen kunnen worden gekenmerkt door een potentiële energiefunctie V die afhankelijk is van de afstand van scheiding van de atomen. De potentiële energie van het gehele rooster is de som van alle paarsgewijze potentiële energieën vermenigvuldigd met een factor 1/2 om dubbeltelling te compenseren:
1 2 ≠ i ≠ j V ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{I\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}
waarin RI de positie van het IDE atoom is, en V de potentiële energie tussen twee atomen.
Het is moeilijk om dit veellichaamsprobleem expliciet op te lossen in zowel de klassieke als de kwantummechanica. Om de taak te vereenvoudigen, worden gewoonlijk twee belangrijke benaderingen opgelegd. Ten eerste wordt de som alleen uitgevoerd over naburige atomen. Hoewel de elektrische krachten in reële vaste stoffen zich tot in het oneindige uitstrekken, is deze benadering nog steeds geldig omdat de velden die door verre atomen worden geproduceerd effectief worden afgeschermd. Ten tweede worden de potentialen V behandeld als harmonische potentialen. Dit is toegestaan zolang de atomen dicht bij hun evenwichtspositie blijven. Formeel wordt dit bereikt door Taylor v over zijn evenwichtswaarde uit te breiden naar kwadratische orde, waardoor V proportioneel is aan de verplaatsing x2 en de elastische kracht gewoon proportioneel is aan x. De fout in het negeren van hogere ordetermen blijft klein als x dicht bij de evenwichtspositie blijft.
het resulterende rooster kan worden gevisualiseerd als een systeem van kogels verbonden door veren. De volgende figuur toont een kubisch rooster, dat een goed model is voor vele soorten kristallijne vaste stof. Andere roosters omvatten een lineaire keten, een zeer eenvoudig rooster dat we binnenkort zullen gebruiken voor het modelleren van fononen. (Voor andere veelvoorkomende roosters, zie kristalstructuur.)
De potentiële energie van het rooster kan nu worden geschreven als
{{i j } ( n n ) 1 2 N N ω 2 ( R i − R j ) 2 . {\displaystyle \ sum _{\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}
Hier is ω de natuurlijke frequentie van de harmonische potentialen, die verondersteld worden hetzelfde te zijn omdat het rooster regelmatig is. Ri is de positiecoördinaat van het I-De Atoom, die we nu meten vanuit zijn evenwichtspositie. De som over dichtstbijzijnde buren wordt aangeduid (nn).
Lattice wavesEdit
vanwege de verbindingen tussen atomen, de verplaatsing van een of meer atomen uit hun evenwichtspositie geeft aanleiding tot een reeks trillingsgolven die zich door het rooster verspreiden. Een dergelijke golf wordt weergegeven in de figuur aan de rechterkant. De amplitude van de golf wordt gegeven door de verplaatsingen van de atomen uit hun evenwichtspositie. De golflengte λ is gemarkeerd.
Er is een minimaal mogelijke golflengte, gegeven door tweemaal de evenwichtsscheiding a tussen atomen. Om het even welke golflengte korter dan dit kan op een golflengte langer dan 2a worden in kaart gebracht, toe te schrijven aan de periodiciteit van het rooster. Dit kan worden gezien als een gevolg van de Monsternamestelling van Nyquist–Shannon, de roosterpunten worden gezien als de “bemonsteringspunten” van een continue golf.
niet elke mogelijke roostertrilling heeft een duidelijk gedefinieerde golflengte en frequentie. Echter, de normale modi bezitten goed gedefinieerde golflengten en frequenties.
eendimensionaal latticeEdit
om de analyse die nodig is voor een 3-dimensionaal rooster van atomen te vereenvoudigen, is het handig om een 1-dimensionaal rooster of lineaire keten te modelleren. Dit model is complex genoeg om de opvallende kenmerken van fononen weer te geven.
Classical treatmentEdit
de krachten tussen de atomen worden verondersteld lineair te zijn en het dichtstbijzijnde buurland, en worden vertegenwoordigd door een elastische veer. Elk atoom wordt verondersteld een puntdeeltje te zijn en de kern en elektronen bewegen in stap (adiabatische stelling):
n − 1 n n + 1 ← A →
···o+++++++++o++++++o++++++o+++++o+++++o+++++o+++++o+++++o···
→ un − 1 un un+1
waar n het n-De Atoom van een totaal van N aangeeft, is a de afstand tussen atomen wanneer de keten in evenwicht is, en un de verplaatsing van het n-de atoom uit zijn evenwichtspositie.
als C de elastische constante van de veer is en m de massa van het atoom, dan is de bewegingsvergelijking van het n − De Atoom
− 2 C u N + C ( U N + 1 + u n-1 ) = M d 2 u N d T 2 . {\displaystyle-2Cu_{n} + c \ left (u_{n + 1}+u_{n-1}\right) = m {\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}
Dit is een verzameling gekoppelde vergelijkingen.
aangezien de oplossingen naar verwachting Oscillerend zijn, worden nieuwe coördinaten gedefinieerd door een discrete fouriertransformatie, om ze te ontkoppelen.
Put
u n = ∑ N a k / 2 π = 1 N Q K e i k N a . {\displaystyle u_{n}= \ sum _{Nak / 2 \ pi = 1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}
Hier komt na overeen en wordt deze overgedragen aan de continue variabele x van de scalaire veldtheorie. De Qk staan bekend als de normale coördinaten, continuüm veldmodi φk.
substitutie in de bewegingsvergelijking produceert de volgende ontkoppelde vergelijkingen ( dit vereist een significante manipulatie met behulp van de orthonormaliteit en volledigheidsrelaties van de discrete fouriertransformatie,
2 C (cos k a − 1 ) Q k = m D 2 Q k d t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m {\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}
dit zijn de vergelijkingen voor ontkoppelde harmonische oscillatoren met de oplossing Q k = A K E I ω k t ; ω k = 2 C m ( 1 − cos k a ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\Omega _{k}t}; \ qquad \ Omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}} (1-\cos {ka})}}.}
elke normale coördinaat Qk vertegenwoordigt een onafhankelijke trillingsmodus van het rooster met wavenumber k, die bekend staat als een normale modus.
de tweede vergelijking, voor wk, staat bekend als de dispersierelatie tussen de hoekfrequentie en het wavenumber.
In de continuümlimiet, a→0, N→∞, Met Na vastgehouden vast, un → φ(x), een scalair veld, en ω ( k ) ∝ k a {\displaystyle \Omega (k)\propto ka}
. Dit komt neer op de klassieke vrije scalaire veldtheorie, een assemblage van onafhankelijke oscillatoren.
Kwantumbehandelingdit
een eendimensionale kwantummechanische harmonische keten bestaat uit n identieke atomen. Dit is het eenvoudigste kwantummechanische model van een rooster dat fononen laat ontstaan. Het formalisme voor dit model is gemakkelijk generaliseerbaar tot twee en drie dimensies.
in tegenstelling tot de vorige sectie worden de posities van de massa ‘ s niet aangeduid met ui, maar in plaats daarvan met x1, x2…, gemeten vanuit hun evenwichtsposities (d.w.z. xi = 0 als deeltje i op zijn evenwichtspositie staat. In twee of meer dimensies zijn de xi vectorgrootheden. De Hamiltonian voor dit systeem is
H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i j } ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\som _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\som _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}
waar is m de massa van het atoom (in de veronderstelling dat gelijk is voor iedereen), en xi en pi zijn de positie en het momentum van de exploitanten, respectievelijk, voor het IDE atoom en de som wordt gemaakt over de dichtstbijzijnde buren (nn). Men verwacht echter dat er in een rooster ook golven kunnen verschijnen die zich als deeltjes gedragen. Het is gebruikelijk om te gaan met golven in Fourier ruimte die normale modi van de wavevector gebruikt als variabelen in plaats van coördinaten van deeltjes. Het aantal normale modi is gelijk aan het aantal deeltjes. De fourierruimte is echter zeer nuttig gezien de periodiciteit van het systeem.
Een verzameling van n “normale coördinaten” Qk kan worden ingevoerd, gedefinieerd als de discrete Fouriertransformaties van de xk en N “conjugaatmomenta” Πk gedefinieerd als de Fouriertransformaties van de pk:
Q k = 1 n ∑ l e I k a l x L Π K = 1 n ∑ l e − i K a l p l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}
de hoeveelheid kn blijkt het wavenummer van het fonon te zijn, d.w.z. 2π gedeeld door de golflengte.
Deze keuze behoudt de gewenste commutatie relaties in real ruimte of wavevector ruimte
= ik ℏ δ l , m = 1 N ∑ l , m e i k a l e − i k ‘m = i ℏ N ∑ l e i a l ( k − k’ ) = i ℏ δ k , k = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left&={\frac {1}{N}}\som _{l,m}e^{ikal}e^{-ik ben}\left\\&={\frac {i\hbar }{N}}\som _{l}e^{ial\left(k-k’\right)}=i\hbar \delta _{k,k’}\\\left&=\left=0\end{aligned}}}
Van de algemene resultaat
∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k V k V k ‘∑ l e i a l ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k Q k Q − k e i a m k o l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{aligned}\som _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\som _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\som _{l}e^{ial\left(k)+k’\right)}e^{iamk’}=\som _{k}Q_{k}Q_ {k}e^{iamk}\\\som _{l}{p_{l}}^{2}&=\som _{k}\Pi _{k}\Pi _{k}\end{aligned}}}
De potentiële energie termijn is
1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e i k − e − i-q ) = 1 2 ∑ k I ω k 2 Q k − Q k) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\som _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\som _{k}Q_{k}Q_ {k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\som _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_ {k}}
waar
ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos (k ) = 2 ω | sin k 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}
De Hamiltonian kan worden geschreven in wavevector ruimte
H = 1 2 m ∑ k ( Π k Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\som _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_ {k}\right)}
De koppelingen tussen de positie van variabelen zijn weg getransformeerd; als de Q en Π Hermitiaan waren (wat ze niet zijn), zou de getransformeerde Hamiltoniaan n ontkoppelde harmonische oscillatoren beschrijven.
de vorm van de kwantisatie hangt af van de keuze van de randvoorwaarden; voor de eenvoud worden periodieke randvoorwaarden opgelegd, waarbij het (N + 1)th atoom wordt gedefinieerd als equivalent aan het eerste atoom. Fysiek komt dit overeen met het verbinden van de keten aan de uiteinden. De resulterende kwantisatie is
k = k n = 2 π N N A Voor n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n} = {\frac {2 \ pi n}{Na}} \ quad {\mbox{for }}n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ldots\pm {\frac {N}{2}}.\ }
de bovengrens aan n komt van de minimale golflengte, die tweemaal de rasterafstand a is, zoals hierboven besproken.
de eigenwaarden of energieniveaus van de harmonische oscillator voor de modus wk zijn:
E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }
De niveaus gelijkmatig verdeeld op:
1 2 ℏ ω , 3 2 ℏ ω , 5 2 ℏ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }
waar 1/2ħw is de nul-punt energie van een quantum harmonische oscillator.
een exacte hoeveelheid energie moet aan het harmonische oscillatorrooster worden geleverd om het naar het volgende energieniveau te duwen. In vergelijking met het foton geval wanneer het elektromagnetisch veld wordt gekwantiseerd, wordt de kwantum van trillingsenergie een phonon genoemd.
alle kwantumsystemen vertonen tegelijkertijd golfachtige en particlachtige eigenschappen. De deeltjesachtige eigenschappen van het phonon worden het best begrepen met behulp van de methoden van tweede kwantisatie en operator technieken die later worden beschreven.
driedimensionaal latticeEdit
Dit kan worden gegeneraliseerd naar een driedimensionaal rooster. Het wavenumber k wordt vervangen door een driedimensionale wavevector k. Verder wordt elke k nu geassocieerd met drie normale coördinaten.
de nieuwe indices s = 1, 2, 3 labelen de polarisatie van de fononen. In het eendimensionale model waren de atomen beperkt tot het bewegen langs de lijn, zodat de fononen overeenkwamen met longitudinale golven. In drie dimensies is trillingen niet beperkt tot de voortplantingsrichting, en kan ook optreden in de loodrechte vlakken, zoals dwarsgolven. Dit geeft aanleiding tot de extra normale coördinaten, die, zoals de vorm van de Hamiltoniaan aangeeft, we kunnen zien als onafhankelijke soorten fononen.
Dispersion relationEdit
voor een eendimensionale afwisselende array van twee typen ionen of atomen met een massa m1, m2, periodiek herhaald op een afstand a, verbonden door veren met een veerconstante K, twee trillingsmodi:
ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m-2 ) 2 − 4 sin 2 k 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}
waar k de wavevector van de trillingen in verband met de golflengte door k = 2 π λ {\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}
.
de verbinding tussen frequentie en wavevector, ω = ω(k), staat bekend als een dispersierelatie. Het plusteken resulteert in de zogenaamde optische modus, en het minteken in de akoestische modus. In de optische modus bewegen twee aangrenzende verschillende atomen tegen elkaar aan, terwijl ze in de akoestische modus samen bewegen.
De propagatiesnelheid van een akoestisch fonon, die ook de geluidssnelheid in het rooster is, wordt gegeven door de helling van de akoestische dispersierelatie, ∂wk/∂k (Zie groepssnelheid. Bij lage waarden van k (d.w.z. lange golflengten) is de dispersierelatie bijna lineair en is de geluidssnelheid ongeveer wa, onafhankelijk van de fononfrequentie. Als gevolg hiervan kunnen pakketten fononen met verschillende (maar lange) golflengten zich verspreiden over grote afstanden over het rooster zonder uit elkaar te breken. Dit is de reden dat geluid zich voortplant door vaste stoffen zonder significante vervorming. Dit gedrag faalt bij grote waarden van k, d.w.z. korte golflengten, toe te schrijven aan de microscopische details van het rooster.
voor een kristal dat ten minste twee atomen in zijn primitieve cel heeft, vertonen de dispersierelaties twee soorten fononen, namelijk optische en akoestische modi die respectievelijk overeenkomen met de bovenste blauwe en onderste rode curve in het diagram. De verticale as is de energie of frequentie van phonon, terwijl de horizontale as de golfvector is. De grenzen op-π / A en π / a zijn die van de eerste Brillouinzone. Een kristal met n ≥ 2 verschillende atomen in de primitieve cel vertoont drie akoestische modi: een longitudinale akoestische modus en twee transversale akoestische modi. Het aantal optische modi is 3N-3. De onderste figuur toont de dispersierelaties voor verschillende phononmodi in GaAs als functie van wavevector k in de hoofdrichtingen van zijn Brillouinzone.
vele phonondispersiecurves zijn gemeten door inelastische neutronenverstrooiing.
de fysica van geluid in vloeistoffen verschilt van de fysica van geluid in vaste stoffen, hoewel beide dichtheidsgolven zijn: geluidsgolven in vloeistoffen hebben alleen longitudinale componenten, terwijl geluidsgolven in vaste stoffen longitudinale en transversale componenten hebben. Dit komt omdat vloeistoffen schuifspanningen niet kunnen ondersteunen (maar zie visco-elastische vloeistoffen, die alleen van toepassing zijn op hoge frequenties).
interpretatie van fononen met behulp van tweede kwantisatietechniekedit
de hierboven afgeleide Hamiltoniaan kan op een klassieke Hamiltonfunctie lijken, maar als het wordt geïnterpreteerd als een operator, dan beschrijft het een kwantumveldtheorie van niet-interagerende bosonen.De tweede kwantisatietechniek, vergelijkbaar met de ladder operator methode die wordt gebruikt voor kwantum harmonische oscillatoren, is een middel om energie eigenwaarden te extraheren zonder de differentiaalvergelijkingen direct op te lossen. Gezien de Hamiltonian, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}
, evenals de toegevoegde positie, Q k {\displaystyle Q_{k}}
, en het momentum Π k {\displaystyle \Pi _{k}}
gedefinieerd in de quantum behandeling hierboven, kunnen we bepalen de schepping en vernietiging operators: b k = I ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}
en b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i i ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_ {k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}
De volgende commutators kan eenvoudig worden verkregen door het invullen in de canonieke commutatie relatie:
= δ k , k , = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k)’},\quad {\Big }=\left=0}
met Behulp van deze, de exploitanten bk† en bk kan worden omgekeerd om het herdefiniëren van het conjugaat positie en momentum:
Q k = ℏ 2 m ω k b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_ {k}\right)}
en Π k = i ℏ m ω k) 2 ( b k) † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_ {k}\right)}
Direct deze definities vervangen door Q k {\displaystyle Q_{k}}
en Π k {\displaystyle \Pi _{k}}
in de golfvector ruimte Hamiltoniaan, zoals hierboven gedefinieerd, en vereenvoudiging resulteert dan in de Hamiltoniaan in de vorm: H = ∑ k ℏ ω k b k † b (k + 1) 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\som _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}
Dit is bekend als de tweede kwantisatie techniek, ook wel bekend als de bezetting aantal formulering, waarbij nk = bk†bk is de bezetting nummer. Dit kan worden gezien als een som van n onafhankelijke Oscillator Hamiltonianen, elk met een unieke golfvector, en compatibel met de methoden die worden gebruikt voor de kwantum harmonische oscillator (merk op dat nk hermitiaan is). Wanneer een Hamiltoniaan kan worden geschreven als een som van pendelende Sub-Hamiltonianen, zullen de energie-eigenstates worden gegeven door de producten van eigenstates van elk van de afzonderlijke sub-Hamiltonianen. Het overeenkomstige energiespectrum wordt dan gegeven door de som van de individuele eigenwaarden van de sub-Hamiltonianen.
net als bij de kwantumharmonische oscillator kan men aantonen dat BK† en bk respectievelijk een enkele veldexcitatie creëren en vernietigen, een phonon, met een energie van ħwk.
uit deze techniek kunnen drie belangrijke eigenschappen van fononen worden afgeleid. Ten eerste zijn fononen bosonen, omdat een willekeurig aantal identieke excitaties kan worden gecreëerd door herhaalde toepassing van de creatieoperator BK†. Ten tweede is elk fonon een “collectieve modus” die wordt veroorzaakt door de beweging van elk atoom in het rooster. Dit kan worden gezien uit het feit dat de schepping en vernietiging operators, hier gedefinieerd in momentum ruimte, sommen bevat over de positie en momentum operators van elk atoom wanneer geschreven in positie ruimte (zie positie en momentum ruimte). Ten slotte kan met behulp van de positie–positie correlatiefunctie worden aangetoond dat fononen fungeren als golven van roosterverplaatsing.
deze techniek wordt gemakkelijk veralgemeend naar drie dimensies, waarbij de Hamiltoniaan de vorm aanneemt:
H = ∑ k ∑ s = 1 3 ω ω k , s ( b k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ sum _{k} \ sum _{s = 1}^{3}\hbar \,\omega _{k, s}\left ({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k, s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}
