ęstość pierwotnego, i ρ m {\displaystyle \ Rho _ {m}}

jest gęstością satelity. Można to zapisać równoważnie jako d = R M ( 2 M M M ) 1 3 {\displaystyle d=r_{m}\left(2{\frac {M_{m}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

gdzie R M {\displaystyle R_{m}}

jest promieniem wtórnego, M M {\displaystyle M_{m}}

jest masą pierwotnego, A M M {\displaystyle M_{m}}

jest masą drugorzędną.

nie zależy to od wielkości obiektów, ale od stosunku gęstości. Jest to odległość orbitalna, w której luźny materiał (np. regolit) na powierzchni satelity najbliżej pierwotnego zostanie odciągnięty, a podobnie materiał po stronie przeciwnej do pierwotnego również odejdzie od satelity, a nie w jego kierunku.

należy zauważyć, że jest to przybliżony wynik, ponieważ siła bezwładności i sztywna struktura są ignorowane w jej wyprowadzeniu.

okres orbitalny zależy wtedy tylko od gęstości wtórnej:

p = 2 π ( D 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( D 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ m) 1 / 2 = 6 π g ρ m {\displaystyle P=2 \pi \ left ({\frac {d^{3}} {GM_{m}}} \ right)^{1/2}=2\pi \left ({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{m}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\Rho _{m}}}}}

gdzie G jest stałą grawitacyjną. Na przykład gęstość 3.346 g/cm3 (gęstość naszego Księżyca) odpowiada okresowi orbitalnemu 2,552 godziny.

wyprowadzenie formulaEdit

aby wyznaczyć granicę Roche’ a, należy wziąć pod uwagę małą masę u {\displaystyle u}

na powierzchni satelity. Istnieją dwie siły na tej masie u {\displaystyle u}

: przyciąganie grawitacyjne w kierunku satelity i przyciąganie grawitacyjne w kierunku głównego. Załóżmy, że satelita znajduje się w swobodnym opadaniu wokół pierwotnego i że siła pływowa jest jedynym istotnym określeniem przyciągania grawitacyjnego pierwotnego. To założenie jest uproszczeniem, ponieważ swobodne spadanie naprawdę odnosi się tylko do planetarnego centrum, ale wystarczy do tego wyprowadzenia.

przyciąganie grawitacyjne F G {\displaystyle F_{\text{G}}}

na masie u {\displaystyle u}

w kierunku satelity o masie m {\displaystyle m}

I promień R {\displaystyle r}

można wyrazić zgodnie z prawem grawitacji Newtona. F G = G m U R 2 {\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

Siła pływowa F T {\displaystyle F_{\text{T}}}

na masie u {\displaystyle u}

w kierunku pierwotnego o promieniu r {\displaystyle r}

I masa m {\displaystyle m}

, w odległości d {\displaystyle d}

między środkami dwóch ciał, można wyrazić w przybliżeniu jako F T = 2 G M U R D 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}}

.

aby uzyskać to przybliżenie, Znajdź różnicę w przyciąganiu grawitacyjnym pierwotnego w centrum satelity i na krawędzi satelity najbliżej pierwotnego:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

w przybliżeniu gdzie r ≪ R {\displaystyle r\ll R}

I R < d {\displaystyle r<d}

, można powiedzieć, że R 2 {\displaystyle R^{2}}

w liczniku i każde wyrażenie z R {\displaystyle r}

w mianowniku idzie do zera, co daje nam: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

lub

G m U R 2 = 2 G M U R D 3 {\displaystyle {\frac {GMU}{r^{2}}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}}

,

co daje granicę Roche ’ a, d {\displaystyle d}

, as D = R ( 2 M M ) 1 3 {\displaystyle D=r\left(2\,{\frac {m}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}

promień satelity nie powinien pojawiać się w wyrażeniu dla granicy, więc jest ponownie zapisywany pod względem gęstości.

dla kuli masa m {\displaystyle M}

może być zapisana jako M = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \Rho _{M}R^{3}}{3}}}

gdzie R {\displaystyle R}

jest promieniem pierwotnego.

i podobnie

m = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle m = {\frac {4 \pi \ Rho _{M}r^{3}}{3}}}

gdzie R {\displaystyle r}

jest promieniem satelity.

Zamiana mas w równaniu na granicę Roche ’ a i anulowanie 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

daje d = r ( 2 ρ M R 3 ρ M R 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\Rho _{M}R^{3}}}\right)^{1/3}}

,

które można uprościć do następującej granicy Roche ’ a:

d = r ( 2 ρ m ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26 R\left({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

.

dokładniejszy wzór

ponieważ bliski Satelita prawdopodobnie będzie krążyć po prawie kołowej orbicie z rotacją synchroniczną, zastanów się, w jaki sposób siła odśrodkowa z rotacji wpłynie na wyniki. Ta siła jest

f c = ω 2 u R = G M U R D 3 {\displaystyle F_ {C}= \ omega ^{2} ur={\frac {GMur} {d^{3}}}}

i zostaje dodana do FT. Wykonanie obliczenia równowagi sił daje ten wynik dla granicy Roche ’ a:

d = R M ( 3 ρ m ρ m ) 1 3 ≈ 1,442 R M ( ρ m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {Rho _{m}} {\Rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (1)

lub: D=R M ( 3 M M M m ) 1 3 ≈ 1.442 R M ( M M M m ) 1 3 {\displaystyle d = r_{m}\left(3\;{\frac {M_{m}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{m}}{M_{m}}}\right) ^ {\frac{1}{3}}}

………. (2)

użyj m = 4 π ρ M R 3 3 {\displaystyle m={\frac {4\pi \Rho _{M}r^{3}}{3}}}

(gdzie r {\displaystyle r}

jest promieniem satelity), aby zastąpić ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

w formula_1 możemy mieć trzeci wzór:
d = (9 M M 4 π ρ m) 1 3 ≈ 0.8947 ( m m ρ m ) 1 3 {\displaystyle d=\left ({\frac {9m_{m}}{4\pi \Rho _{m}}}\right)^{\frac {1{3}}\ok.0.8947 \ left ({\frac {M_{m}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}

………. (3)

tak więc, wystarczy obserwować masę gwiazdy (planety) i oszacować gęstość planety (satelity), aby obliczyć granicę Roche ’ a planety (satelity) w układzie gwiazdowym (planetarnym).

granica Roche 'a, sfera Hill’ a i promień planetEdit

rozważmy planetę o gęstości ρ m {\displaystyle \Rho _{m}}

I promieniu r {\displaystyle r}

, orbitującą wokół gwiazdy withis jest fizycznym znaczeniem granicy Roche ’ a, Roche Lobe i sfera górska.

Wzór(2) można opisać w następujący sposób: R Roche = R Wzgórze 3 M 3 = R wtórny 3 M 3 {\styl wyświetlania R_{\text{Roche}}=R_{\text{Wzgórze}}{\sqrt{\frakcja {3 M}{m}}}=R_{\text{wtórny}}{\sqrt{\frakcja {3 M}{m}}}}

idealna matematyczne symetria.
to astronomiczne znaczenie granicy Roche ’ a i sfery Hilla.

Uwaga: granica Roche 'a i sfera Hill’ a są zupełnie inne od siebie, ale oba są dziełem Édouarda Roche ’ a.

Sfera górska ciała astronomicznego to obszar, w którym dominuje przyciąganie satelitów, podczas gdy granica Roche ’ a to minimalna odległość, do której Satelita może zbliżyć się do swojego pierwotnego ciała bez siły pływowej pokonującej wewnętrzną grawitację trzymającą satelitę razem.

Uwaga : granica Roche 'a i sfera Hill’ a są zupełnie inne od siebie, ale oba są dziełem Édouarda Roche ’ a.

Sfera górska ciała astronomicznego to obszar, w którym dominuje przyciąganie satelitów, podczas gdy granica Roche ’ a to minimalna odległość, do której Satelita może zbliżyć się do swojego pierwotnego ciała bez siły pływowej pokonującej wewnętrzną grawitację trzymającą satelitę razem.

fluid satellitesEdit

dokładniejsze podejście do obliczania granicy Roche ’ a uwzględnia deformację satelity. Ekstremalnym przykładem może być ciekły Satelita orbitujący wokół planety, gdzie jakakolwiek siła działająca na satelitę deformowałaby go w wydłużoną sferoidę.

obliczenie jest złożone i jego wynik nie może być przedstawiony w dokładnym wzorze algebraicznym. Sam Roche opracował następujący przybliżony roztwór dla granicy Roche ’ a:

d ≈ 2,44 r ( ρ m ρ m ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2,44 r\left({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\right)^{1/3}}

jednak lepsze przybliżenie, które bierze pod uwagę celność pierwotną i masę satelity, wynosi:

d ≈ 2,423 r ( ρ m ρ m ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m M ) 1 − C / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\approx 2.423 r\Left({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3m}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {M}{M}})}{1-c/r}}\right)^{1/3}}

gdzie C / R {\displaystyle c/r}

Współczynnik liczbowy jest obliczany za pomocą komputera.

roztwór płynu jest odpowiedni dla ciał, które są tylko luźno połączone, takich jak kometa. Na przykład rozpadająca się Orbita komety Shoemaker–Levy 9 wokół Jowisza przekroczyła granicę Roche ’ a w lipcu 1992, powodując jej rozpad na kilka mniejszych fragmentów. Przy kolejnym podejściu w 1994 roku fragmenty zderzyły się z planetą. Shoemaker-Levy 9 został po raz pierwszy zaobserwowany w 1993 roku, ale jego orbita wskazywała, że został przechwycony przez Jowisza kilka dekad wcześniej.

wyprowadzenie wzoru

ponieważ obudowa satelity płynnego jest delikatniejsza niż sztywna, Satelita jest opisany z pewnymi uproszczonymi założeniami. Po pierwsze, załóżmy, że obiekt składa się z niezciśniętego płynu o stałej gęstości ρ m {\displaystyle \rho _{m}}

i objętości v {\displaystyle V}

, które nie zależą od zewnętrznych ani wewnętrznych sił.

Po Drugie, Załóżmy, że Satelita porusza się po orbicie kołowej i pozostaje w synchronicznym obrocie. Oznacza to, że prędkość kątowa ω {\displaystyle \omega }

, przy której obraca się wokół środka masy, jest taka sama jak prędkość kątowa, przy której porusza się wokół całego barycentra systemu.

prędkość kątowa ω {\displaystyle \omega}

jest określona przez trzecie prawo Keplera: ω 2 = G M + M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M+m}{d^{3}}}.}

gdy M jest znacznie większe od M, będzie to bliskie

ω 2 = G M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M} {d^{3}}}.}

synchroniczny obrót oznacza, że ciecz nie porusza się, a problem można uznać za statyczny. Dlatego lepkość i tarcie cieczy w tym modelu nie odgrywają roli, ponieważ te ilości odgrywałyby rolę tylko dla poruszającego się płynu.

biorąc pod uwagę te założenia, należy wziąć pod uwagę następujące siły:

• siła grawitacji spowodowana ciałem głównym;
• siła odśrodkowa w obrotowym układzie odniesienia; i
• pole grawitacyjne satelity.

ponieważ wszystkie te siły są konserwatywne, można je wyrazić za pomocą potencjału. Ponadto powierzchnia satelity jest równorzędna. W przeciwnym razie różnice potencjału spowodowałyby powstanie sił i ruchu niektórych części cieczy na powierzchni, co jest sprzeczne z założeniem modelu statycznego. Biorąc pod uwagę odległość od bryły głównej, należy określić formę powierzchni spełniającą warunek ekwipotencjalny.

ponieważ Orbita została przyjęta kołowo, całkowita siła grawitacyjna i orbitalna siła odśrodkowa działające na ciało główne odwołaj. To pozostawia dwie siły: siłę pływową i rotacyjną siłę odśrodkową. Siła pływowa zależy od położenia względem środka masy, rozważanego już w modelu sztywnym. Dla małych ciał odległość cząstek cieczy od środka ciała jest mała w stosunku do odległości d do ciała głównego. W ten sposób siła pływowa może być linearyzowana, co daje taki sam wzór dla FT, jak podano powyżej.

podczas gdy siła ta w modelu sztywnym zależy tylko od promienia r satelity, w przypadku płynu należy wziąć pod uwagę wszystkie punkty na powierzchni, a siła pływowa zależy od odległości Δd od środka masy do danej cząstki rzutowanej na linię łączącą satelitę z ciałem głównym. Nazywamy Δd odległością radialną. Ponieważ siła pływowa jest liniowa w Δd, powiązany potencjał jest proporcjonalny do kwadratu zmiennej i dla m ≪ m {\displaystyle m\ll m}

mamy V T = − 3 G M 2 d 3 Δ D 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3gm}{2D^{3}}}\Delta D^{2}\,}

podobnie, siła odśrodkowa ma potencjał

v c = − 1 2 ω 2 δ D 2 = − g m 2 D 3 δ D 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\DELTA D^{2}=-{\frac {GM}{2D^{3}}\DELTA D^{2}\,}

dla prędkości obrotowej kątowej ω {\displaystyle \omega}

.

chcemy określić kształt satelity, dla którego suma potencjału samoistnego i Vt + VC jest stała na powierzchni ciała . Ogólnie rzecz biorąc, taki problem jest bardzo trudny do rozwiązania, ale w tym konkretnym przypadku można go rozwiązać umiejętnie zgadując ze względu na kwadratową zależność potencjału pływowego od odległości radialnej Δd do pierwszego zbliżenia, możemy zignorować potencjał odśrodkowy VC i rozważyć tylko potencjał pływowy VT.

ponieważ potencjał VT zmienia się tylko w jednym kierunku, tj. kierunku w kierunku głównego korpusu, można oczekiwać, że Satelita przyjmie postać osiowo symetryczną. Dokładniej, możemy przyjąć, że przybiera ona formę bryły rewolucji. Potencjał własny na powierzchni takiej bryły obrotu może zależeć tylko od odległości radialnej od środka masy. Rzeczywiście, przecięcie satelity i płaszczyzny prostopadłej do linii łączącej ciała jest dyskiem, którego granica według naszych założeń jest okręgiem o stałym potencjale. Jeżeli różnica między potencjałem samoistnym A VT jest stała, to oba potencjały muszą zależeć w ten sam sposób od Δd. Innymi słowy, potencjał własny musi być proporcjonalny do kwadratu Δd. Następnie można wykazać, że rozwiązaniem ekwipotencjalnym jest elipsoida obrotu. Biorąc pod uwagę stałą gęstość i objętość, potencjał własny takiego ciała zależy tylko od mimośrodu ε elipsoidy:

V s = V S 0 + g π ρ M ⋅ F ( ε) Δ Δ D 2 , {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \Rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta D^{2},}

gdzie V S 0 {\displaystyle v_{S_{0}}}

jest stałym potencjałem własnym na przecięciu okrągłej krawędzi ciała i płaszczyzna symetrii środkowej określona równaniem δd=0.

funkcję bezwymiarową f należy wyznaczyć na podstawie dokładnego rozwiązania potencjału elipsoidy

f ( ε ) = 1 − ε 2 ε 3 ⋅ {\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

i, co zaskakujące, nie zależy od głośności satelity.

chociaż Jawna forma funkcji f wygląda na skomplikowaną, jasne jest, że możemy i wybieramy wartość ε tak, aby potencjał VT był równy VS plus stała niezależna od zmiennej Δd. W wyniku kontroli następuje to, gdy

2 g π ρ M R 3 D 3 = g π ρ M F ( ε ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \Rho _{M}R^{3}}{D^{3}}}=G\pi \Rho _{m}f(\varepsilon )}

to równanie można rozwiązać numerycznie. Wykres wskazuje, że istnieją dwa rozwiązania i tym samym mniejszy reprezentuje stabilną postać równowagi (elipsoidę o mniejszej mimośrodzie). Rozwiązanie to określa mimośrodowość elipsoidy pływowej jako funkcję odległości do ciała głównego. Pochodna funkcji f ma wartość zerową, w której osiąga się maksymalną mimośrodowość. Odpowiada to granicy Roche ’ a.

dokładniej, granica Roche ’ a jest określona przez fakt, że funkcja f, którą można uznać za nieliniową miarę siły ściskającej elipsoidę w kierunku kulistego kształtu, jest ograniczona tak, że istnieje mimośrodowość, przy której ta siła skurczowa staje się maksymalna. Ponieważ siła pływowa wzrasta, gdy Satelita zbliża się do głównego ciała, jest oczywiste, że istnieje krytyczna odległość, w której elipsoida jest rozerwana.

maksymalną mimośrodowość można obliczyć liczbowo jako zero pochodnej f’. Jeden otrzymuje

ε max ≈ 0 . 86 {\displaystyle \varepsilon _{\text{max}} \ approx 0{.}86}

co odpowiada stosunkowi osi elipsoidy 1: 1.95. Wstawiając to do wzoru na funkcję f można określić minimalną odległość, w jakiej elipsoida istnieje. To jest granica Roche ’ a,

d ≈ 2 . 423 ⋅ r ρ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d\approx 2{.423\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{m}} {\Rho _{m}}}\,.}

Co zaskakujące, włączając w to potencjał odśrodkowy robi zadziwiająco małą różnicę, chociaż obiekt staje się elipsoidą Roche ’ a, ogólną elipsoidą trójosiową o wszystkich osiach o różnej długości. Potencjał staje się znacznie bardziej skomplikowaną funkcją długości osi, wymagającą funkcji eliptycznych. Jednak rozwiązanie działa podobnie jak w przypadku tylko pływów i znajdujemy

D ≈ 2 . 455 ⋅ r ρ ρ m ρ m 3 . {\displaystyle d\approx 2{.455\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{m}} {\Rho _{m}}}\,.}