reprezentowanie pola magnetycznego potencjału wektorowego (a), strumienia magnetycznego (B) i gęstości prądu (j) wokół cewki toroidalnej o przekroju kołowym. Grubsze linie oznaczają linie pola o wyższej średniej intensywności. Okręgi w przekroju rdzenia reprezentują strumień B wychodzący z obrazu. Znaki Plus na drugim przekroju rdzenia reprezentują strumień B wchodzący na obraz. Przyjęto Div a = 0.

Since the equations ∇ × A = B {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \ }

, and ∇ × B = μ 0 j {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} \ }

(assuming quasi-static conditions, i.e. ∂ E ∂ T → 0 {\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}\rightarrow 0}

) mają tę samą formę, wtedy linie i kontury a odnoszą się do B, podobnie jak linie i kontury B odnoszą się do j. strumień B (jaki byłby wytwarzany w induktorze toroidalnym) jest jakościowo taki sam jak Pole B wokół pętli prądu. Rysunek po lewej stronie przedstawia pole A wokół cewki toroidalnej. Grubsze linie oznaczają ścieżki o wyższej średniej intensywności (krótsze ścieżki mają większą intensywność, tak że Całka ścieżki jest taka sama). Linie są po prostu rysowane, aby dobrze wyglądać i nadawać ogólny wygląd pola A.

działanie transformatora toroidalnego w obecności całkowitego ograniczenia pola Bedit

POLA E i B można obliczyć z pól a i ϕ {\displaystyle \phi\,}

(skalarny potencjał elektryczny) B = ∇ × A . {\displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {a} .}

I : E = − ∇ ϕ − ∂ a ∂ t {\displaystyle \mathbf {e} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}}

i tak nawet jeśli obszar poza uzwojeniami jest pozbawiony pola B, to jest wypełniony niezerowym polem E. Ilość ∂ a ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}}

odpowiada za pożądane sprzężenie pola magnetycznego między pierwotnym i wtórnym, podczas gdy ilość ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \Phi\,}

jest odpowiedzialny za niepożądane sprzężenie pola elektrycznego między pierwotnym i wtórnym. Projektanci transformatorów próbują zminimalizować sprzężenie pola elektrycznego. W pozostałej części tej sekcji, ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \Phi\,}

zostanie przyjęte jako zero, o ile nie określono inaczej.

stosuje się twierdzenie Stokesa, tak że Całka ścieżki A jest równa zamkniętemu przepływowi B, tak jak Całka ścieżki B jest równa stałej razy prąd zamknięty

Całka ścieżki e wzdłuż uzwojenia wtórnego daje indukowaną wtórną siłę EMF (Electro-Motive Force).

E M F = ∮ p a t h E ⋅ d l = − ∮ p a t h ∂ A ∂ t ⋅ d l = − ∂ ∂ t ∮ p a t h A ⋅ d l = − ∂ ∂ t ∫ s u r f a c e B ⋅ d s {\displaystyle \mathbf {EMF} =\oint _{path}\mathbf {E} \cdot {\rm {d}}l=-\oint _{path}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}l=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{path}\mathbf {A} \cdot {\rm {d}}l=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{surface}\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}s}

który mówi, że EMF jest równy szybkości zmiany strumienia B zamkniętego przez uzwojenie, co jest zwykle wynikiem.

transformator toroidalny sprzężenie wektorowe z pierwotnego do wtórnego w obecności całkowitego ograniczenia pola Bedit

na tym rysunku, niebieskie kropki wskazują, gdzie strumień B z prądu pierwotnego wychodzi z obrazu, a znaki plus wskazują, gdzie trafia do obrazu.

Wyjaśnienie rysunkuedytuj

ten rysunek pokazuje pół przekroju transformatora toroidalnego. Przyjmuje się warunki Quasi-statyczne, więc Faza każdego pola jest wszędzie taka sama. Transformator, jego uzwojenia i wszystkie rzeczy są rozmieszczone symetrycznie wokół osi symetrii. Uzwojenia są takie, że nie ma prądu obwodowego. Wymagania są spełnione dla pełnego wewnętrznego zamknięcia pola B ze względu na prąd pierwotny. Rdzeń i uzwojenie pierwotne są reprezentowane przez szaro-brązowy torus. Uzwojenie pierwotne nie jest pokazane, ale prąd w uzwojeniu na powierzchni przekroju jest pokazany jako złote (lub pomarańczowe) elipsy. Pole B spowodowane prądem pierwotnym jest całkowicie ograniczone do obszaru zamkniętego przez uzwojenie pierwotne (tj. rdzeń). Niebieskie kropki na przekroju lewej ręki wskazują, że linie strumienia B w rdzeniu wychodzą z przekroju lewej ręki. Na drugim przekroju niebieskie znaki plus wskazują, że strumień B wchodzi tam. Pole E pochodzące z prądów pierwotnych przedstawia się jako zielone elipsy. Uzwojenie wtórne jest pokazane jako brązowa linia opadająca bezpośrednio do osi symetrii. W normalnej praktyce dwa końce wtórnego są połączone długim drutem, który pozostaje daleko od torusa, ale aby zachować absolutną symetrię osiową, całe urządzenie jest wyobrażone jako znajdujące się wewnątrz doskonale przewodzącej kuli, z drutem wtórnym „uziemionym” do wnętrza kuli na każdym końcu. Wtórny jest wykonany z drutu oporowego, więc nie ma oddzielnego obciążenia. Pole e wzdłuż wtórnika powoduje prąd w wtórniku (żółte strzałki), co powoduje pole B wokół wtórnika (pokazane jako niebieskie elipsy). To pole B wypełnia przestrzeń, również wewnątrz rdzenia transformatora, więc w końcu istnieje ciągłe niezerowe pole B od pierwotnego do wtórnego, jeśli wtórne nie jest otwarte. Iloczyn krzyżowy POLA E (pochodzącego z prądów pierwotnych) i pola B (pochodzącego z prądów wtórnych) tworzy wektor Poyntinga, który wskazuje od pierwotnego do wtórnego.