Ogólny problem trisekcji kątowej można rozwiązać za pomocą dodatkowych narzędzi, a tym samym wyjść poza oryginalne greckie ramy compass i straightedge.

zaproponowano wiele błędnych metod trisekcji kąta ogólnego. Niektóre z tych metod zapewniają rozsądne przybliżenia; inne (niektóre z nich są wymienione poniżej) obejmują narzędzia niedozwolone w klasycznym problemie. Matematyk Underwood Dudley opisał niektóre z tych nieudanych prób w swojej książce Trisectors.

przybliżanie przez kolejne bisekcjeedit

Trisekcja może być przybliżona przez powtórzenie metody kompasu i straightedge do dzielenia kąta. Seria geometryczna 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ lub 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ może być stosowany jako podstawa do bisekcji. Przybliżenie do dowolnego stopnia dokładności można uzyskać w skończonej liczbie kroków.

Korzystanie z origamiEdit

Trisection, podobnie jak wiele konstrukcji niemożliwych przez linijkę i kompas, można łatwo osiągnąć za pomocą operacji składania papieru, lub origami. Aksjomaty huzity (rodzaje operacji składania) mogą konstruować rozszerzenia sześcienne (pierwiastki sześcienne) o danej długości, podczas gdy linijka i kompas mogą konstruować tylko rozszerzenia kwadratowe (pierwiastki kwadratowe).

Korzystanie z linkageEdit

wentylator Sylvestra

istnieje wiele prostych linków, które można wykorzystać do wykonania instrumentu do trójwymiarowego kąta, w tym trisector Kempe i Fan linka Sylvestra lub isoklinostat.

z trójkątną regułą prawej strony

Trisekcja kąta za pomocą Rechtwinkelhaken zgodnie do Ludwiga bieberbacha, z kontynuacją budowy, animacja 1 min 35 S, z czego przerwa na końcu 30 s.

w 1932 roku Ludwig Bieberbach opublikował w Journal für die reine und angewandte Mathematik swoje dzieło zur Lehre von den kubischen konstruktionen. Stwierdza w nim (w wolnym tłumaczeniu):

” jak wiadomo… każda konstrukcja sześcienna może być przypisana do trisekcji kąta i mnożenia sześcianu, czyli ekstrakcji trzeciego pierwiastka. Muszę tylko pokazać, jak te dwa klasyczne zadania można rozwiązać za pomocą haka pod kątem prostym.”

poniższy opis sąsiedniej konstrukcji (animacji) zawiera ich kontynuację aż do całkowitego trójwymiarowania kąta.

zaczyna się od pierwszego okręgu jednostki wokół jej środka A {\displaystyle A}

, pierwszego kąta kończyny B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

, a druga jednostka krąży wokół P {\displaystyle p}

po nim. Teraz średnica B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

z P {\displaystyle P}

jest rozszerzona do linii okręgu tego okręgu jednostki, punktu przecięcia O {\displaystyle o}

w trakcie tworzenia. Po łuku okręgu wokół P {\displaystyle p}

z promieniem B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

i rysunkiem drugiej kończyny kątowej z kąta δ {\displaystyle \Delta }

, punkt C {\displaystyle C}

wyniki. Obecnie stosuje się tzw. dodatkową średnicę konstrukcyjną, w ilustrowanym przykładzie jest to Geodreieck. Ten trójkąt geometrii, jak jest również nazywany, jest teraz umieszczony na rysunku w następujący sposób: wierzchołek kąta prostego określa punkt S {\displaystyle S}

na nodze kątowej P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, cewka trójkąta przechodzi przez punkt o {\displaystyle o}

, a drugi wpływa na okrąg jednostki A {\displaystyle A}

. Po podłączeniu punktu O {\displaystyle O}

do S {\displaystyle S}

I narysowaniu stycznej z S {\displaystyle S}

div>do okręgu jednostkowego wokół A {\displaystyle a}

, pokazany jest wyżej wymieniony hak kątowy odpowiednio rechtwinkelhaken. Kąt zamknięty segmentami O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

I p s {\displaystyle {\overline {PS}}}

jest więc dokładnie δ 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

. Ciągnie się równolegle do O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

z P {\displaystyle P}

, alternatywny kąt δ 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

i punkt d {\displaystyle d}

są tworzone. Kolejne równoległe do O S {\displaystyle {\overline {OS}}}

z A {\displaystyle a}

określa punkt styku E {\displaystyle e}

od stycznej z okręgiem jednostkowym o {\displaystyle A}

. Na koniec narysuj prostą linię od P {\displaystyle P}

poprzez E {\displaystyle E}

aż przecina okrąg jednostki w F {\displaystyle f}

. Tak więc kąt δ {\displaystyle \ delta}

ma dokładnie trzy części.

z pomocniczym curveEdit

• Trisekcja przy użyciu spirali Archimedean

• trisekcja przy użyciu Maclaurin trisectrix

istnieją pewne krzywe zwane trisectrices, które, jeśli są narysowane na płaszczyźnie przy użyciu innych metod, mogą być użyte do trisectacji dowolnych kątów. Przykłady obejmują trisectrix Colina Maclaurina, podany we współrzędnych kartezjańskich przez równanie niejawne

2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

i spirala Archimedean. Spirala może być w rzeczywistości używana do dzielenia kąta na dowolną liczbę równych części.

z zaznaczoną regułą

Trisekcja kąta za pomocą zaznaczonej linijki

innym sposobem trisekcji dowolnego kąta za pomocą „małego” kroku poza grecką ramą jest poprzez linijkę z dwoma znakami w określonej odległości od siebie. Następna konstrukcja pochodzi od Archimedesa, nazywanego konstrukcją Neusis, tzn. używającego narzędzi innych niż nieoznaczony straightedge. Diagramy, których używamy pokazują tę konstrukcję dla kąta ostrego, ale rzeczywiście działa dla dowolnego kąta do 180 stopni.

To wymaga trzech faktów z geometrii (po prawej):

1. każdy pełny zestaw kątów na linii prostej dodaje się do 180°,
2. suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180°, a
3. dowolne dwa równe boki trójkąta równoramiennego spotkają się z trzecim pod tym samym kątem.

niech l będzie linią poziomą na sąsiednim diagramie. Kąt a (na lewo od punktu B) jest przedmiotem trisekcji. Po pierwsze, punkt A jest narysowany na promieniu kąta, o jedną jednostkę poza B. narysowany jest okrąg o promieniu AB. Wtedy w grę wchodzi znamienność władcy: jeden znak linijki jest umieszczony na A, a drugi na B. utrzymując linijkę (ale nie znak) dotykającą a, linijka jest przesuwana i obracana, aż jeden znak znajduje się na okręgu, a drugi na linii l. znak na okręgu jest oznaczony C, a znak na linii jest oznaczony D. zapewnia to, że CD = AB . Promień BC jest narysowany tak, aby było oczywiste, że segmenty linii AB, BC i CD mają jednakową długość. Teraz Trójkąty ABC i BCD są równoramienne, a zatem (w rzeczywistości 3 powyżej) każdy ma dwa równe kąty.

hipoteza: Dana AD jest linią prostą, a AB, BC i CD mają jednakową długość,

wniosek: kąt b = a/3.

dowód:

1. z faktu 1) powyżej, e + C = 180 {\displaystyle e+C=180}
   

   °.

2. patrząc na Trójkąt BCD, z faktu 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e + 2B=180}
   

   °.

3. z dwóch ostatnich równań, c = 2 B {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. z faktu 1) powyżej, A + D + b = 180 {\displaystyle A+d+b=180}
   

   °, a zatem A + ( 180 {\displaystyle A+(180}

   

   ° − 4 B ) + B = 180 {\displaystyle-4B)+B=180}

   

   °.

, A-3b = 0, LUB a = 3b, i twierdzenie jest udowodnione.

ponownie konstrukcja ta wyszła poza ramy dozwolonych konstrukcji, stosując oznaczony straightedge.

ze stringeditem

Thomas Hutcheson opublikował artykuł w „the Mathematics Teacher”, w którym użył Sznurka zamiast kompasu i prostej krawędzi. Sznurek może być używany jako prosta krawędź (przez rozciąganie) lub kompas (przez mocowanie jednego punktu i identyfikację drugiego), ale może również owijać się wokół cylindra, klucza do rozwiązania Hutchesona.

Hutcheson skonstruował cylinder z kąta, który miał być przecięty przez narysowanie łuku w poprzek kąta, wypełniając go jako okrąg i konstruując z tego okręgu cylinder, na którym zapisano, powiedzmy, trójkąt równoboczny (kąt 360 stopni podzielony na trzy). Następnie „odwzorowano” to na kąt, który ma być trisected, z prostym dowodem podobnych trójkątów.

z „tomahawk”Edytuj

a tomahawk trisecting an angle. Uchwyt tworzy jeden trisektor, a niebieska linia tworzy drugi.

„tomahawk” to geometryczny kształt składający się z półkola i dwóch prostopadłych segmentów linii, takich, że długość krótszego segmentu jest równa promieniu okręgu. Trisekcja jest wykonywana przez pochylenie końca krótszego segmentu tomahawka na jednym promieniu, krawędź koła na drugim, tak że” uchwyt ” (dłuższy segment) przecina wierzchołek kąta; linia trisekcji biegnie między wierzchołkiem a środkiem półkola.

zauważ, że chociaż tomahawk jest skonstruowany z compass i straightedge, generalnie nie jest możliwe skonstruowanie tomahawka w dowolnej żądanej pozycji. Tak więc powyższa konstrukcja nie stoi w sprzeczności z nierównomiernością kątów z linijką i kompasem.

tomahawk daje taki sam efekt geometryczny jak metoda składania papieru: odległość między środkiem okręgu a wierzchołkiem krótszego segmentu jest dwukrotnie większa niż odległość promienia, co gwarantuje kontakt z kątem. Jest również odpowiednikiem zastosowania linijki architekci L (Plac stolarza).

z połączonymi kompasamiedit

kąt może być trisected z urządzeniem, które jest zasadniczo czterostronną wersją kompasu, z powiązaniami między zębami zaprojektowanymi tak, aby trzy kąty między sąsiednimi zębami były równe.