o problema geral da trissecção de ângulo é solucionável usando ferramentas adicionais, e assim indo para fora da estrutura original grega da bússola e da linha reta.foram propostos muitos métodos incorrectos de trissecção do ângulo geral. Alguns destes métodos fornecem aproximações razoáveis; outros (alguns dos quais são mencionados abaixo) envolvem ferramentas não permitidas no problema clássico. O matemático Underwood Dudley detalhou algumas dessas tentativas fracassadas em seu livro Os Trissetores.

Aproximação por bissectionsedit sucessivos

Trisection pode ser aproximada pela repetição da bússola e método de straightedge para bissectar um ângulo. A série geométrica 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ ou 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ pode ser usado como base para as bisseções. Uma aproximação a qualquer grau de precisão pode ser obtida em um número finito de passos.utilizar origamiEdit

Trissection, like many constructions impossible by ruler and compass, can easily be accomplished by the operations of paper folding, or origami. Axiomas de Huzita (tipos de operações dobráveis) podem construir extensões cúbicas (raízes cúbicas) de certos comprimentos, enquanto que réguas e bússolas podem construir apenas extensões quadráticas (raízes quadraticas).

Usando um linkageEdit

Sylvester Link do Fã

Há um número de ligações simples, que pode ser usado para fazer um instrumento para trisect ângulos, incluindo Kempe do Trisector e Sylvester Link do Ventilador ou Isoklinostat.

Com direito triangular rulerEdit

Trisection do ângulo por meio do Rechtwinkelhaken de acordo com Ludwig Bieberbach, com a continuação da construção, animação 1 min 35 s, de que quebra no final de 30 s.

Em 1932, Ludwig Bieberbach publicado no Journal für die reine und angewandte Mathematik seu trabalho Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. Ele afirma nele (tradução livre):

“Como é conhecido … cada construção cúbica pode ser traçada de volta para a trissecção do ângulo e para a multiplicação do cubo, ou seja, a extração da terceira raiz. Só preciso de mostrar como estas duas tarefas clássicas podem ser resolvidas através do gancho de ângulo recto.”

a seguinte descrição da construção adjacente (animação) contém sua continuação até a trissecção de ângulo completo.

Ele começa com a primeira unidade de círculo em torno de seu centro Uma {\displaystyle A}

, o primeiro ângulo do membro B P {\displaystyle {\overline {PB}}}

e a segunda unidade de círculo em torno de P {\displaystyle P}

a seguir. Agora, o diâmetro B P {\displaystyle {\overline {PB}}}

a partir de P {\displaystyle P}

é estendido para o círculo do círculo unitário, o ponto de intersecção O {\displaystyle O}

que está sendo criado. A seguir, o arco do círculo em torno de P {\displaystyle P}

com o raio B P {\displaystyle {\overline {PB}}}

e o desenho do segundo ângulo do membro do ângulo δ {\displaystyle \delta }

, o ponto C {\displaystyle C}

resultados. Agora o chamado meio de construção adicional é usado, no exemplo ilustrado é o Geodreieck. Esta geometria do triângulo, como também é chamado, é agora colocado sobre o desenho da seguinte forma: O vértice do ângulo reto, que determina o ponto S {\displaystyle S}

no ângulo de perna P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, um cateto do triângulo passa pelo ponto O {\displaystyle O}

e a outra afeta a unidade do círculo Uma {\displaystyle A}

. Depois de ligar o ponto O {\displaystyle O}

S {\displaystyle S}

desenho e a tangente de S {\displaystyle S}

para o círculo de unidade em torno de Um {\displaystyle Um}

, o referido ângulo direito de gancho, respectivamente Rechtwinkelhaken é mostrado. O ângulo entre a segmentos S S {\displaystyle {\overline {OS}}}

e P S {\displaystyle {\overline {PS}}}

é, portanto, exatamente δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

. Ele continua com a paralela a S S {\displaystyle {\overline {OS}}}

a partir de P {\displaystyle P}

, o suplente ângulo δ 3 {\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}

e o ponto D {\displaystyle D}

estão sendo criados. Uma outra paralela a S S {\displaystyle {\overline {OS}}}

a partir de Uma {\displaystyle A}

determina o ponto de contato E {\displaystyle E}

a partir da tangente com a unidade de círculo sobre Uma {\displaystyle A}

. Finalmente, desenhar uma linha reta a partir de P {\displaystyle P}

através de E {\displaystyle E}

até que ele cruza o círculo unitário no F {\displaystyle F}

. Assim, o ângulo δ {\displaystyle \delta }

tem exactamente três partes.

Com um auxiliar de curveEdit

• Trisection usando a espiral de Arquimedes

• Trisection usando o Maclaurin trisectrix

Há certas curvas chamado trisectrices que, se desenhado no avião usando outros métodos, pode ser usado para trisect arbitrário ângulos. Exemplos incluem o trisectrix de Colin Maclaurin, dada em coordenadas Cartesianas pela equação implícita

2 x ( x 2 + y 2 ) = (3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

e a espiral de Arquimedes. A espiral pode, de fato, ser usada para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais.

Com um marcado rulerEdit

Trisection do ângulo usando marcado régua

um Outro meio para trisect um ângulo arbitrário, por um “pequeno” passo fora do grego quadro é através de uma régua com duas marcas de um conjunto distância. A construção seguinte é originalmente devido a Arquimedes, chamada de construção Neusis, ou seja, que usa ferramentas diferentes de um straightedge não marcado. Os diagramas que usamos mostram esta construção para um ângulo agudo, mas realmente funciona para qualquer ângulo até 180 graus.

Isto requer três elementos de geometria (à direita):

1. Qualquer conjunto completo de ângulos em uma linha reta adicionar a 180°,
2. A soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180°, e,
3. dois lados iguais de um triângulo isósceles vai encontrar o terceiro no mesmo ângulo.

l seja a linha horizontal no diagrama adjacente. O ângulo a (à esquerda do ponto B) é objecto de trissecção. Em primeiro lugar, um ponto A é desenhado em um raio de Ângulo, uma unidade à parte de B. Um círculo de raio AB é desenhado. Então, a marca do governante entra em jogo: uma marca da régua é colocada em A e a outra em B. enquanto mantém a régua (mas não a marca) tocando em A, a régua é deslizada e rodada até que uma marca está no círculo e a outra está na linha L. A marca no círculo é rotulada C e a marca na linha é rotulada D. isto garante que CD = AB. Um raio BC é desenhado para tornar óbvio que os segmentos de linha AB, BC e CD todos têm o mesmo comprimento. Agora, triângulos ABC e BCD são isósceles, assim (pelo fato 3 acima) cada um tem dois ângulos iguais.hipótese: Dado AD é uma linha reta, e AB, BC, e CD todos têm o mesmo comprimento,

conclusão: ângulo b = a / 3.

prova:

1. do facto 1) acima, e + C = 180 {\displaystyle E + C=180}
   

   °.

2. olhando para o triângulo BCD, from Fact 2) e + 2 B = 180 {\displaystyle E + 2b = 180}
   

   °.

3. Das duas últimas equações, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. a Partir do Fato de 1) acima, a + d a + b = 180 {\displaystyle a+d a+b=180}
   

   °, portanto a + ( 180 {\displaystyle a+(180}

   

   ° − 4 b ) a + b = 180 {\displaystyle -4b)+b=180}

   

   °.

Clearing, a-3b = 0, ou a = 3b, e o teorema é provado.

Mais uma vez, esta construção pisou fora da estrutura das construções permitidas, usando uma linha recta marcada.

With a stringEdit

Thomas Hutcheson published an article in the Mathematics Teacher that used a string instead of a compass and straight edge. Uma corda pode ser usada como uma aresta reta (esticando – a) ou uma bússola (fixando um ponto e identificando outro), mas também pode envolver em torno de um cilindro, a chave para a solução de Hutcheson.

Hutcheson construiu um cilindro do ângulo a ser trissectado desenhando um arco através do ângulo, completando-o como um círculo, e construindo a partir desse círculo um cilindro no qual, digamos, um triângulo equilátero estava inscrito (um ângulo de 360 graus dividido em três). Isto foi então “mapeado” para o ângulo a ser trissectado, com uma prova simples de triângulos semelhantes.

Com um “tomahawk”Editar

Um tomahawk trisecting um ângulo. O cabo forma um trisector e a linha azul apresentada forma o outro.

a “tomahawk” é uma forma geométrica constituída por um semicírculo e dois segmentos de linha ortogonais, de tal forma que o comprimento do segmento mais curto é igual ao raio do círculo. Trissecção é executada inclinando a extremidade do segmento mais curto do tomahawk em um raio, a borda do círculo no outro, de modo que o “punho” (segmento mais longo) cruza o vértice do ângulo; a linha trissecção corre entre o vértice e o centro do semicírculo.

Note que enquanto um tomahawk é construível com bússola e straightedge, não é geralmente possível construir um tomahawk em qualquer posição desejada. Assim, a construção acima não contradiz a não trissectibilidade dos ângulos apenas com régua e bússola.

o tomahawk produz o mesmo efeito geométrico que o método de dobragem de papel: a distância entre o centro do círculo e a ponta do segmento mais curto é o dobro da distância do raio, que é garantida para entrar em contato com o ângulo. É também equivalente ao uso de um arquiteto l-Ruler (Praça de carpinteiro).

Com interligados compassesEdit

Um ângulo pode ser trisected com um dispositivo que é, essencialmente, um de quatro frentes, a versão de uma bússola, com ligações entre os pinos projetados para manter os três ângulos entre dentes adjacentes iguais.