het onderwerp van reële analyse houdt zich bezig met het bestuderen van het gedrag en de eigenschappen van functies, sequenties en verzamelingen op de reële getallenlijn, die we aanduiden als de wiskundig bekende R. concepten die we willen onderzoeken door middel van reële analyse omvatten eigenschappen zoals limieten, continuïteit, afgeleiden (veranderingspercentages) en integratie (hoeveelheid verandering in de tijd). Veel van deze ideeën worden, op conceptueel of praktisch niveau, behandeld op lagere niveaus van de wiskunde, met inbegrip van een regelmatige eerstejaars Calculus cursus, en dus, voor de niet-ingewijde lezer, kan het onderwerp van echte analyse nogal zinloos en triviaal lijken. Echter, echte analyse is op een diepte, complexiteit, en misschien wel schoonheid, dat het is omdat onder het oppervlak van de dagelijkse wiskunde, is er een zekerheid van juistheid, die we strengheid noemen, dat doordringt de hele wiskunde. Echte analyse kan dus tot op zekere hoogte worden gezien als een ontwikkeling van een rigoureus, goed bewezen raamwerk ter ondersteuning van de intuïtieve ideeën die we vaak als vanzelfsprekend beschouwen.

reële analyse is een zeer eenvoudig onderwerp, in die zin dat het simpelweg een bijna lineaire ontwikkeling is van wiskundige ideeën die je in je hele wiskundeverhaal tegenkomt. Echter, in plaats van te vertrouwen op soms onzekere intuïtie (die we allemaal hebben gevoeld toen we een probleem oplosten dat we niet begrepen), zullen we het verankeren aan een rigoureuze verzameling wiskundige stellingen. In dit boek zullen we beginnen te zien dat we geen intuïtie nodig hebben om wiskunde te begrijpen – we hebben een handleiding nodig.

de overkoepelende these van dit boek is hoe de reële getallen axiomatisch te definiëren. Hoe zou dat werken? Dit boek zal op deze manier lezen: we zetten de eigenschappen vast waarvan we denken dat ze de reële getallen definiëren. We bewijzen dan uit deze eigenschappen – en alleen uit deze eigenschappen – dat de reële getallen zich gedragen op de manier die we ons altijd hebben voorgesteld. We zullen dan al onze elementaire stellingen en feiten die we verzameld hebben over ons wiskundige leven herwerken, zodat het allemaal samenkomt, bijna alsof het altijd waar is geweest voordat we het analyseerden; dat het in feite al die tijd rigoureus was – behalve dat we nu zullen weten hoe het is geworden.

geloof niet dat als je dit boek hebt voltooid, de wiskunde voorbij is. Op andere gebieden van de academische studie, zijn er glimpen van een vreemde rijk van de wiskunde steeds meer op de voorgrond van het standaard denken gebracht. Na het begrijpen van dit boek, zal wiskunde nu lijken alsof het onvolledig is en ontbreekt in concepten die je misschien eerder hebt afgevraagd. In dit boek geven we een glimp van iets meer aan de wiskunde dan de reële getallen en de reële analyse. Immers, de wiskunde waar we het hier over hebben lijkt altijd maar één variabele te betrekken in een zee van getallen, operaties en vergelijkingen.

opmerking: een tabel met onderstaande wiskundige symbolen en hun definities is beschikbaar in de bijlage.

• Voorwoord
• oude Inleiding
• Manual of Style – How to read this wikibook

een selecte lijst van hoofdstukken samengesteld uit andere boeken zijn hieronder weergegeven. Ze moeten helpen bij het ontwikkelen van uw wiskundige rigor dat is een noodzakelijke manier van denken die je nodig hebt in dit boek, evenals in de hogere wiskunde.

• de verzamelingenleer notatie en wiskundige bewijzen, uit het boek Mathematical Proof
• de ervaring met het werken met calculusconcepten, uit het boek Calculus