un sistem de ecuații liniare poate fi rezolvat prin reducerea matricei sale augmentate în formă redusă de eșalon.

o matrice poate fi schimbată în forma sa redusă de eșalon de rând sau rândul redus la forma sa redusă de eșalon de rând folosind operațiile elementare de rând. Acestea sunt:

1. schimbați un rând al matricei cu altul al matricei.
2. înmulțiți un rând al matricei cu o constantă scalară diferită de zero.
3. înlocuiți un rând cu un rând plus o constantă ori un alt rând al matricei.

de exemplu, având în vedere următorul sistem liniar cu matrice augmentată corespunzătoare:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve acest sistem, matricea trebuie redusă în formă de eșalon redus.

Pasul 1: comutați rândul 1 și rândul 3. Toate zerourile de conducere sunt acum sub intrările de conducere diferite de zero.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Setați rândul 2 la rândul 2 plus (-1) ori rândul 1. Cu alte cuvinte, scade rândul 1 din rândul 2. Aceasta va elimina prima intrare a rândului 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Pasul 4: Setați rândul 3 la rândul 3 plus (-1) ori rândul 2. Cu alte cuvinte, scade rândul 2 din rândul 3. Aceasta va elimina a doua intrare a rândului 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: înmulțiți fiecare rând cu reciproca primei sale valori diferite de zero. Acest lucru va face ca fiecare rând să înceapă cu un 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is acum în formă de eșalon rând: toate rândurile diferite de zero sunt deasupra oricăror rânduri ale tuturor zerourilor (nu există rânduri zero), fiecare intrare principală a unui rând se află într-o coloană din dreapta intrării principale a rândului de deasupra acestuia și toate intrările dintr-o coloană de sub o intrare principală sunt zerouri.

după cum se poate și se va arăta mai târziu, din această formă se poate observa că sistemul are infinit de multe soluții. Pentru a obține aceste soluții, matricea este redusă în continuare în formă de eșalon redus.

Pasul 6: Setați rândul 2 la rândul 2 plus (-1) ori rândul 3 și rândul 1 la rândul 1 plus (-2) ori rândul 3. Aceasta va elimina intrările de deasupra intrării principale a rândului 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Setați rândul 1 la rândul 1 plus 3 ori rândul 2. Aceasta elimină intrarea de deasupra intrării principale a rândului 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a formă redusă de eșalon, deoarece intrarea principală în fiecare rând diferit de zero este 1 și fiecare lider 1 este singura intrare diferită de zero din coloana sa.

Din aceasta soluția sistemului poate fi citită:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}