subiectul analizei reale este preocupat de studierea comportamentului și proprietăților funcțiilor, secvențelor și seturilor pe linia numerică reală, pe care o denumim R. conceptele pe care dorim să le examinăm prin analiza reală includ proprietăți precum limitele, continuitatea, derivatele (ratele de schimbare) și integrarea (cantitatea de schimbare în timp). Multe dintre aceste idei sunt, la nivel conceptual sau practic, tratate la niveluri inferioare ale matematicii, inclusiv un curs regulat de calcul din primul an, și astfel, pentru cititorul neinițiat, subiectul analizei reale poate părea destul de lipsit de sens și banal. Cu toate acestea, analiza reală este la o adâncime, complexitate și, fără îndoială, frumusețe, deoarece sub suprafața matematicii de zi cu zi există o asigurare a corectitudinii, pe care o numim rigoare, care pătrunde în întreaga matematică. Astfel, analiza reală poate fi, într-o oarecare măsură, privită ca o dezvoltare a unui cadru riguros, bine dovedit, pentru a susține ideile intuitive pe care le luăm frecvent de la sine.

analiza reală este un subiect foarte simplu, prin faptul că este pur și simplu o dezvoltare aproape liniară a ideilor matematice pe care le-ați întâlnit de-a lungul poveștii dvs. de matematică. Cu toate acestea, în loc să ne bazăm pe o intuiție uneori incertă (pe care am simțit-o cu toții când rezolvam o problemă pe care nu am înțeles-o), o vom ancora la un set riguros de teoreme matematice. De – a lungul acestei cărți, vom începe să vedem că nu avem nevoie de intuiție pentru a înțelege matematica-avem nevoie de un manual.

teza generală a acestei cărți este cum să definim axiomatic numerele reale. Cum ar funcționa asta? Această carte va citi în acest mod: am stabilit proprietățile care credem că definesc numerele reale. Demonstrăm apoi din aceste proprietăți – și numai din aceste proprietăți-că numerele reale se comportă în modul în care ne-am imaginat întotdeauna că se comportă. Vom reface apoi toate teoremele și faptele noastre elementare pe care le – am colectat de-a lungul vieții noastre matematice, astfel încât totul să se unească, aproape ca și cum ar fi fost întotdeauna adevărat înainte de a-l analiza; că a fost de fapt riguros tot timpul-cu excepția faptului că acum vom ști cum a ajuns să fie.

nu credeți că odată ce ați terminat această carte, matematica s-a terminat. În alte domenii ale studiului academic, există sclipiri ale unui tărâm ciudat al matematicii aduse din ce în ce mai mult în prim-planul gândirii standard. După înțelegerea acestei cărți, matematica va părea acum ca și cum ar fi incompletă și lipsită de concepte pe care poate le-ați întrebat înainte. În această carte, vom oferi sclipiri de ceva mai mult la matematică decât numerele reale și analiza reală. La urma urmei, matematica despre care vorbim aici pare să implice întotdeauna o singură variabilă într-o mare de numere, operații și comparații.

Notă: Un tabel cu simbolurile matematice utilizate mai jos și definițiile acestora este disponibil în anexă.

• Prefață
• Introducere veche
• Manual de stil – cum să citiți acest wikibook

o listă selectată de capitole curate din alte cărți sunt enumerate mai jos. Acestea ar trebui să vă ajute să vă dezvoltați rigoarea matematică, care este un mod necesar de gândire de care veți avea nevoie atât în această carte, cât și în matematica superioară.

• notația teoriei mulțimilor și dovezile Matematice, din cartea dovada matematică
• experiența de lucru cu concepte de calcul, din cartea calcul