distanța limită la care se poate apropia un satelit fără a se rupe depinde de rigiditatea satelitului. La o extremă, un satelit complet rigid își va menține forma până când forțele mareelor îl vor despărți. La cealaltă extremă, un satelit foarte fluid se deformează treptat, ducând la creșterea forțelor de maree, determinând alungirea satelitului, compunând în continuare forțele de maree și determinându-l să se despartă mai ușor.majoritatea sateliților reali s-ar afla undeva între aceste două extreme, rezistența la tracțiune făcând satelitul nici perfect rigid, nici perfect fluid. De exemplu, un asteroid cu grămezi de moloz se va comporta mai mult ca un fluid decât unul solid stâncos; un corp înghețat se va comporta destul de rigid la început, dar va deveni mai fluid pe măsură ce încălzirea mareelor se acumulează și gheața sa începe să se topească.

dar rețineți că, așa cum este definit mai sus, limita Roche se referă la un corp ținut împreună exclusiv de forțele gravitaționale care determină coalizarea particulelor altfel neconectate, formând astfel corpul în cauză. Limita Roche este, de asemenea, calculată de obicei pentru cazul unei orbite circulare, deși este simplu să se modifice calculul pentru a se aplica cazului (de exemplu) al unui corp care trece Primarul pe o traiectorie parabolică sau hiperbolică.

calculul Rigid prin satelit

limita Roche cu corp rigid este un calcul simplificat pentru un satelit sferic. Formele neregulate, cum ar fi cele ale deformării mareelor pe corp sau orbitele primare pe care le orbitează sunt neglijate. Se presupune că este în echilibru hidrostatic. Aceste ipoteze, deși nerealiste, simplifică foarte mult calculele.

limita Roche pentru un satelit sferic rigid este distanța, d {\displaystyle d}

, de la primar la care forța gravitațională pe o masă de testare la suprafața obiectului este exact egală cu forța mareelor trăgând masa departe de obiect: d = R M ( 2% m%) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\stânga(2% {\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}\dreapta)^{\frac {1} {3}}}

unde R M {\displaystyle R_{m}}

este raza elementului primar, inox m {\displaystyle \rho _{m}}

densitatea primară, iar a zecimalului m {\displaystyle \Rho _{m}}

este densitatea satelitului. Acest lucru poate fi scris echivalent ca d = R M ( 2 M M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\stânga(2{\frac {M_{m}}{m_{m}}}\dreapta)^{\frac {1}{3}}}

unde R M {\displaystyle R_{m}}

este raza secundar, M m {\displaystyle M_{m}}

este masa primar, și m m {\displaystyle m_{m}}

este masa secundară.

acest lucru nu depinde de dimensiunea obiectelor, ci de raportul densităților. Aceasta este distanța orbitală în interiorul căreia materialul liber (de exemplu, regolit) de pe suprafața satelitului cel mai apropiat de primar ar fi îndepărtat și, de asemenea, materialul din partea opusă primarului se va îndepărta, mai degrabă decât spre satelit.

rețineți că acesta este un rezultat aproximativ, deoarece forța de inerție și structura rigidă sunt ignorate în derivarea sa.

perioada orbitală depinde apoi numai de densitatea secundară:

P = 2 π ( d 3 G M M ) 1 / 2 = 2 π ( d 3 ( 4 / 3 ) π G R M 3 ρ M ) 1 / 2 = 6 π G ρ m {\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}

în cazul în care G este constanta gravitațională. De exemplu, o densitate de 3.346 G / cc (densitatea lunii noastre) corespunde unei perioade orbitale de 2.552 ore.

derivarea formulaEdit

pentru a determina limita Roche, luați în considerare o masă mică u {\displaystyle u}

pe suprafața satelitului cel mai apropiat de primar. Există două forțe pe această masă u {\displaystyle u}

: atracția gravitațională spre satelit și atracția gravitațională spre primar. Să presupunem că satelitul este în cădere liberă în jurul primarului și că forța mareelor este singurul termen relevant al atracției gravitaționale a primarului. Această presupunere este o simplificare, deoarece căderea liberă se aplică cu adevărat doar Centrului planetar, dar va fi suficientă pentru această derivare.

atracția gravitațională F g {\displaystyle F_{\text{G}}}

pe masa u {\displaystyle u}

către satelitul cu masa m {\displaystyle M}

și raza r {\displaystyle r}

pot fi exprimate conform legii gravitației lui Newton. F G = G M u R 2 {\displaystyle F_{\text{g}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}

forța mareelor F t {\displaystyle F_{\text{T}}}

pe masa u {\displaystyle u}

spre primar cu raza r {\displaystyle r}

și masa M {\displaystyle M}

, la o distanță D {\displaystyle d}

între centrele celor două corpuri, poate fi exprimat aproximativ ca F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_ {\text{T}} = {\frac {2gmur}{d^{3}}}}

.

pentru a obține această aproximare, Găsiți diferența de atracție gravitațională a primarului pe centrul satelitului și pe marginea satelitului cel mai apropiat de primar:

F T = G M u ( d − r ) 2 − G M u d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}

F T = G M u d 2 − ( d − r ) 2 d 2 ( d − r ) 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}

F T = G M u 2 d r − r 2 d 4 − 2 d 3 r + r 2 d 2 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}

în aproximarea în cazul în care r r {\displaystyle r\ll r}

și R < d {\displaystyle r<d}

, se poate spune că R 2 {\displaystyle R^{2}}

în numărător și fiecare termen cu r {\displaystyle r}

în numitor merge la zero, ceea ce ne dă: F T = G M u 2 d r d 4 {\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}

F T = 2 G M u r d 3 {\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}

The Roche limit is reached when the gravitational force and the tidal force balance each other out.

F G = F T {\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}

sau

G M u R 2 = 2 G M U R d 3 {\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2gmur}{d^{3}}}}

,

care dă limita Roche, d {\displaystyle d}

, ca d = r ( 2 m m ) 1 3 {\displaystyle d=r\stânga(2\,{\frac {m}{m}}\dreapta)^{\frac {1}{3}}}

raza satelitului nu trebuie să apară în expresia limitei, deci este rescrisă în termeni de densități.

pentru o sferă, masa M {\displaystyle M}

poate fi scrisă ca M = 4 inqq M R 3 3 {\displaystyle M={\frac {4\pi \Rho _{M} R^{3}}{3}}}

unde R {\displaystyle r}

este raza primarului.

și, de asemenea,

m = 4 M R 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _{m} r^{3}}{3}}}

unde r {\displaystyle r}

este raza satelitului.

Înlocuind pentru mase în ecuația de Roche limită, și anulând 4 π / 3 {\displaystyle 4\pi /3}

dă d = r ( 2 ρ M R 3 ρ m r 3 ) 1 / 3 {\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}

,

, care poate fi simplificat pentru următoarele Roche-limită:

d = R ( 2 ρ M ρ m ) 1 3 ≈ 1.26 R ( 3%) 1 3 {\displaystyle d=r\stânga(2\,{\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}\dreapta)^{\frac {1} {3}}\aproximativ 1,26 r\stânga({\frac {\rho _{m}} {\rho _{m}}\dreapta)^{\frac {1} {3}}}

.

o formulă mai precisă

deoarece un satelit apropiat va orbita probabil pe o orbită aproape circulară cu rotație sincronă, luați în considerare modul în care forța centrifugă din rotație va afecta rezultatele. Această forță este

F C = 2 U R = G M u R d 3 {\displaystyle F_{c}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}

și se adaugă la FT. Făcând calculul forței-sold, rezultă acest rezultat pentru limita Roche:

d = R M ( 3% m%) 1 3% 1.442% M (%M%) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\stânga(3%; {\frac {\rho _{M}} {\rho _{m}}\dreapta)^{\frac {1} {3}}\aprox 1.442r_{m}\stânga ({\frac {\Rho _{m}} {\Rho _{m}}}\dreapta)^{\frac {1} {3}}}

………. (1)

sau: d = R m ( 3 M M M ) 1 3 1.442 R M ( M M M M ) 1 3 {\displaystyle d=R_{m}\stânga(3\;{\frac {M_{m}}{m_{m}}}\dreapta)^{\frac {1}{3}}\aprox 1.442r_{m}\stânga({\frac {m_{m}}{m_{m}}\dreapta)^{\frac {1}{3}}}

………. (2)

utilizare M = 4 M R 3 3 {\displaystyle M = {\frac {4\pi \Rho _{m} r^{3}}{3}}}

(unde r {\displaystyle r}

este raza satelitului) pentru a înlocui m {\displaystyle \rho _{m}}

în Formula(1), putem avea o a treia formulă:
D = ( 9 m m 4%) 1 3% 0,8947 ( m%) 1 3 {\displaystyle D=\Stânga({\frac {9m_{m}}{4\pi \Rho _{m}}}\dreapta)^{\frac {1}{3}}\aprox 0.8947 \ stânga ({\frac {M_{m}}{\rho _{m}}}\dreapta)^{\frac {1}{3}}}

………. (3)

astfel, este suficient să observăm masa stelei (planetei) și să estimăm densitatea planetei (satelitului) pentru a calcula limita Roche a planetei (satelitului) în sistemul stelar (planetar).

Roche limit, Hill sphere și radius of the planetEdit

luați în considerare o planetă cu o densitate de m {\displaystyle \Rho _{m}}

și o rază de r {\displaystyle r}

, care orbitează o star withis este sensul fizic al limitei Roche, lobul Roche și Hill sphere.

Formula(2) poate fi descrisă astfel: R Roche = R Hill 3 M m 3 = r secundar 3 M m 3 {\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt{\frac {3M}{M}}}=R_{\text{secundar}}{\sqrt{\frac {3m}{m}}}}

, o simetrie matematică perfectă.
aceasta este semnificația astronomică a limitei Roche și a sferei de deal.

notă : Roche limit și Hill sphere sunt complet diferite unele de altele, dar sunt ambele lucrări ale lui Xvdouard Roche.

sfera de deal a unui corp astronomic este regiunea în care domină atracția sateliților, în timp ce limita Roche este distanța minimă la care un satelit se poate apropia de corpul său primar fără ca forța mareelor să depășească gravitația internă care ține satelitul împreună.

notă : Roche limit și Hill sphere sunt complet diferite unele de altele, dar sunt ambele lucrări ale lui Xvdouard Roche.sfera de deal a unui corp astronomic este regiunea în care domină atracția sateliților, în timp ce limita Roche este distanța minimă la care un satelit se poate apropia de corpul său primar fără ca forța mareelor să depășească gravitația internă care ține satelitul împreună.

sateliți Fluidiedit

o abordare mai precisă pentru calcularea limitei Roche ia în considerare deformarea satelitului. Un exemplu extrem ar fi un satelit lichid blocat în mod ordonat care orbitează o planetă, unde orice forță care acționează asupra satelitului ar deforma-o într-un sferoid prolat.

calculul este complex și rezultatul său nu poate fi reprezentat într-o formulă algebrică exactă. Roche însuși a obținut următoarea soluție aproximativă pentru limita Roche:

d 2.44 r ( m ) 1 / 3 {\displaystyle d\aprox 2.44 r\left({\frac {\rho _{m}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}

cu toate acestea, o mai bună aproximare care ia în considerare oblateness primar și masa satelitului este:

d 2.423 r ( m − x-x-x-x ) 1 / 3 ( ( 1 + m 3 M ) + c 3 R ( 1 + m M ) 1-c / R ) 1 / 3 {\displaystyle d\aprox 2.423 r\stânga({\frac {\Rho _{m}}{\Rho _{m}}}\dreapta)^{1/3}\stânga({\frac {(1+{\frac {m}{3m}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{m}})}{1-c/R}}\dreapta)^{1/3}}

unde c / R {\displaystyle c/r}

este oblateness primar. Factorul numeric este calculat cu ajutorul unui computer. soluția fluidă este potrivită pentru corpurile care sunt ținute împreună, cum ar fi o cometă. De exemplu, orbita în descompunere a cometei Shoemaker–Levy 9 în jurul lui Jupiter a trecut în limita Roche în iulie 1992, determinând-o să se fragmenteze într-un număr de bucăți mai mici. La următoarea sa abordare din 1994, fragmentele s-au prăbușit pe planetă. Shoemaker-Levy 9 a fost observat pentru prima dată în 1993, dar orbita sa a indicat că a fost capturată de Jupiter cu câteva decenii înainte.

derivarea formulaEdit

deoarece carcasa satelitului fluid este mai delicată decât cea rigidă, satelitul este descris cu câteva ipoteze simplificatoare. În primul rând, presupunem că obiectul este format din fluid incompresibil care are o densitate constantă de XQ {\displaystyle \rho _{m}}

și volum V {\displaystyle V}

care nu depind de forțe externe sau interne. în al doilea rând, presupunem că satelitul se mișcă pe o orbită circulară și rămâne în rotație sincronă. Aceasta înseamnă că viteza unghiulară la care se rotește în jurul centrului său de masă este aceeași cu viteza unghiulară la care se deplasează în jurul baricentrului general al sistemului.

viteza unghiulară a lui Kepler este dată de a treia lege a lui Kepler: 2=G M + m d 3. {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M+M}{d^{3}}}.}

când M este cu mult mai mare decât m, acesta va fi aproape de

2 = G M d 3 . {\displaystyle \ omega ^{2} = G\, {\frac {M}{d^{3}}}.}

rotația sincronă implică faptul că lichidul nu se mișcă și problema poate fi privită ca una statică. Prin urmare, vâscozitatea și frecarea lichidului din acest model nu joacă un rol, deoarece aceste cantități ar juca un rol doar pentru un fluid în mișcare.

având în vedere aceste ipoteze, ar trebui luate în considerare următoarele forțe:

• forța gravitației datorată corpului principal;
• forța centrifugă din sistemul de referință rotativ; și
• câmpul de auto-gravitație al satelitului.deoarece toate aceste forțe sunt conservatoare, ele pot fi exprimate prin intermediul unui potențial. Mai mult, suprafața satelitului este una echipotențială. În caz contrar, diferențele de potențial ar da naștere forțelor și mișcării unor părți ale lichidului la suprafață, ceea ce contrazice ipoteza modelului static. Având în vedere distanța față de corpul principal, trebuie determinată Forma suprafeței care satisface condiția echipotențială.
  

  distanța radială a unui punct de pe suprafața elipsoidului până la Centrul de masă

  deoarece orbita a fost presupusă circulară, forța gravitațională totală și forța centrifugă orbitală care acționează asupra corpului principal se anulează. Asta lasă două forțe: forța mareelor și forța centrifugă de rotație. Forța de maree depinde de poziția față de centrul de masă, deja luată în considerare în modelul rigid. Pentru corpurile mici, distanța particulelor lichide din centrul corpului este mică în raport cu distanța d față de corpul principal. Astfel, forța mareelor poate fi liniarizată, rezultând aceeași formulă pentru FT ca cea dată mai sus.

  în timp ce această forță în modelul rigid depinde doar de raza r a satelitului, în cazul fluidului, trebuie luate în considerare toate punctele de pe suprafață, iar forța mareelor depinde de Distanța de la Centrul de masă la o particulă dată proiectată pe linia care unește satelitul și corpul principal. Noi numim centimetrul distanța radială. Deoarece forta de atractie este liniară în Δd, legate de potențialul este proporțională cu pătratul variabilă și pentru m abona M {\displaystyle m\ll M}

  

  am V T = − 3 G M 2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

  

  de Asemenea, forța centrifugă are un potențial

  V C = − 1 2 ω 2 Δ d 2 = − G M 2 d 3 D d 2 {\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}

  

  pentru viteza unghiulară de rotație {\displaystyle \omega }

  

  .

  vrem să determinăm forma satelitului pentru care suma potențialului de auto-gravitație și VT + VC este constantă pe suprafața corpului. În general, o astfel de problemă este foarte dificil de rezolvat, dar în acest caz particular, poate fi rezolvată printr-o presupunere iscusită datorită dependenței pătrate a potențialului de maree de distanța radială la o primă aproximare, putem ignora potențialul centrifugal VC și considerăm doar potențialul de maree VT.

  deoarece potențialul VT se schimbă doar într-o singură direcție, adică direcția către corpul principal, se poate aștepta ca satelitul să ia o formă simetrică axial. Mai exact, putem presupune că ia o formă de solid de revoluție. Potențialul de sine de pe suprafața unui astfel de solid de revoluție poate depinde doar de distanța radială până la Centrul de masă. Într-adevăr, intersecția satelitului și a unui plan perpendicular pe linia care unește corpurile este un disc a cărui limită prin ipotezele noastre este un cerc de potențial constant. În cazul în care diferența dintre potențialul de auto-gravitație și VT este constantă, ambele potențiale trebuie să depindă în același mod de XVD. Cu alte cuvinte, potențialul de sine trebuie să fie proporțional cu pătratul de la al-VIII-lea. Apoi se poate arăta că soluția echipotențială este un elipsoid al Revoluției. Având în vedere o densitate și un volum constant, potențialul de sine al unui astfel de corp depinde numai de excentricitatea nesemnificativă a elipsoidului:

  V S = V S 0 + g 0+g 0+g 0% 0% 2% 2% {\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}} + G\pi \Rho _{m}\cdot F (\varepsilon) \cdot \DELTA D^{2},}

  

  unde v s 0 {\displaystyle v_{s_{0}}}

  

  este auto-potențialul constant la intersecția marginii circulare a corpului și a Centrului planul de simetrie dat de ecuația 0=0.

  funcția adimensională f se determină pornind de la soluția exactă pentru potențialul elipsoidului

  f ( zecimal ) = 1 − aliniament 2 aliniament 3 aliniament {\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left}

  

  și, în mod surprinzător, nu depinde de volumul satelitului.

  

  graficul funcției adimensionale f care indică modul în care puterea potențialului mareelor depinde de excentricitatea elipsoidului.

  deși forma explicită a funcției f pare complicată, este clar că putem alege și alegem valoarea lui XV, astfel încât potențialul VT să fie egal cu VS plus o constantă independentă de variabila XVD. Prin inspecție, acest lucru se întâmplă atunci când

  2 g Z3 D 3 = G Z3 F ( Z3 ) {\displaystyle {\frac {2G\pi \Rho _{M}R^{3}}{D^{3}}}=G\pi \Rho _{m}f(\varepsilon )}

  

  această ecuație poate fi rezolvată numeric. Graficul indică faptul că există două soluții și astfel cea mai mică reprezintă forma de echilibru stabil (elipsoidul cu excentricitatea mai mică). Această soluție determină excentricitatea elipsoidului de maree în funcție de Distanța față de corpul principal. Derivata funcției f are un zero unde se atinge excentricitatea maximă. Aceasta corespunde limitei Roche.

  

  derivata lui f determină excentricitatea maximă. Aceasta oferă limita Roche.

  mai precis, limita Roche este determinată de faptul că funcția f, care poate fi privită ca o măsură neliniară a forței care strânge elipsoidul spre o formă sferică, este delimitată astfel încât să existe o excentricitate la care această forță contractantă devine maximă. Deoarece forța mareelor crește atunci când satelitul se apropie de corpul principal, este clar că există o distanță critică la care elipsoidul este rupt.excentricitatea maximă poate fi calculată numeric ca zero al derivatei lui f’. Se obține

  0 . 86 {\displaystyle \ varepsilon _{\text{max}} \ aprox 0{.}86}

  

  care corespunde raportului axelor elipsoide 1:1,95. Introducerea acestui lucru în formula pentru funcția f se poate determina distanța minimă la care există elipsoidul. Aceasta este limita Roche,

  d 2 . 423 xtct R xtct M Xtct M 3 . {\displaystyle d \ aprox 2{.}423 \ cdot R \ cdot {\sqrt {\frac {\rho _ {M}} {\rho _ {m}}}\,.}

  d 2 . 455 xtct R xtct M Xtct M 3 . {\displaystyle d \ aprox 2{.}455 \ cdot R \ cdot {\sqrt {\frac {\rho _ {M}} {\rho _ {m}}}\,.}