Biografie

părinții lui Paul Cohen, Abraham și Minnie Cohen, erau imigranți evrei în Statele Unite din țara lor natală, Polonia. Abraham Cohen a fost practic un om de muncă ciudat, întorcându-și mâna către o varietate de locuri de muncă diferite, în timp ce soția sa a adus niște bani atât de necesari familiei de la croitorie. Paul era cel mai mic dintre cei patru copii ai părinților săi și a fost crescut în Brooklyn, New York. El a fost crescut de mama sa de la vârsta de nouă ani, deoarece la acel moment părinții lui s-au separat. Interesat de Matematică din copilărie, a început să studieze matematica avansată de la o vârstă fragedă. El: –

… avea doar nouă ani când sora lui Sylvia a verificat o carte despre calcul de la o bibliotecă din New York pentru el. Bibliotecarii au fost reticenți să o lase să aibă cartea, cu atât mai puțin pentru fratele ei mai mic, argumentând că nici măcar unii profesori de colegiu nu înțelegeau calculul.

de-a lungul adolescenței a fost privit ca un minune matematic, uimitor în jurul său cu abilitățile pe care le-a afișat în competițiile de matematică. A urmat Liceul Stuyvesant din New York, absolvind în 1950 la vârsta fragedă de șaisprezece ani. Această școală, cu o înaltă reputație pentru matematică și știință, a acceptat doar cei mai buni studenți după ce a susținut un examen de admitere. După absolvirea liceului Stuyvesant, Cohen a fost student la Colegiul Brooklyn din 1950 până în 1953, dar a plecat fără să ia o diplomă, fiind admis la studii postuniversitare la Universitatea din Chicago după ce a făcut o vizită pentru a discuta opțiunile sale de cercetare la Chicago. A studiat pentru masteratul său la Chicago, urmând cursuri pentru a se potrivi cu scopul său în momentul în care urma să întreprindă cercetări în teoria numerelor. Cunoștințele sale despre teoria numerelor înainte de a ajunge la Chicago provin dintr-o serie de texte clasice pe care le citise singur în timp ce era la facultate. Pentru a se potrivi cu acest scop, a început să lucreze la teoria numerelor supravegheată de Andrixt Weil. I s-a acordat Masteratul în 1954, dar a ajuns să fie mai interesat de faptul că anumite rezultate în teoria numerelor erau indecidabile decât în teoria numerelor în sine, teoria numerelor, totuși, a rămas un subiect de interes pentru el de-a lungul carierei sale: –

și-a obișnuit să întrebe facultatea și colegii care sunt cele mai importante probleme în domeniile lor, deoarece acestea erau singurele probleme pe care dorea să le rezolve.

continuând să studieze la Chicago pentru doctoratul său sub supravegherea lui Antoni Zygmund a primit doctoratul în 1958 pentru temele sale de doctorat în teoria unicității seriilor trigonometrice. În această teză, Cohen afirmă că el:-

… dorește să-și exprime cea mai profundă recunoștință față de profesorul a Zygmund pentru ajutorul și încurajarea sa constantă în timpul pregătirii acestei disertații.

începe introducerea punând tema tezei în context :-

teoria unicității seriilor trigonometrice poate fi privită ca arsing din întrebarea de a decide în ce sens Seria Fourier a unei funcții poate fi considerată ca expansiunea legitimă a funcției într-o serie trigonometrică infinită. Știm, desigur, că dacă seria converge legat de funcție, atunci într-adevăr coeficienții seriei trebuie să fie dați de formulele Euler-Fourier. Cu toate acestea, în absența unei astfel de condiții, ne putem întreba dacă două serii trigonometrice pot converge la aceeași funcție peste tot. Răspunsul la această întrebare este negativ și a fost dovedit în esență de Riemann, dovada fiind completată de Cantor. Prin înlocuirea condiției convergenței peste tot cu cea a convergenței aproape peste tot, se preocupă teoria seturilor de unicitate.

anii ca student de cercetare au fost buni pentru Cohen și a făcut multe prietenii cu colegii, prietenii care i-ar dura toată viața. John Thompson a fost un astfel de student de cercetare la Chicago. Cohen, prin aceste prietenii, începuse, de asemenea, să se intereseze de logică :-

ca student absolvent, legătura lui Cohen cu logica a fost prieteniile sale cu un grup plin de viață de studenți care au devenit logicieni; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan și Stanley Tennenbaum. O vreme a locuit în casa lui Tennenbaum și a absorbit logica prin osmoză, deoarece nu existau cursuri de logică în departamentul de Matematică din Chicago.

în 1957, înainte de acordarea doctoratului, Cohen a fost numit Instructor de matematică la Universitatea din Rochester timp de un an. Apoi a petrecut anul universitar 1958-59 la Institutul de Tehnologie din Massachusetts înainte de a petrece 1959-61 ca fellow la Institutul pentru Studii Avansate de la Princeton. Aceștia au fost ani în care Cohen a făcut o serie de descoperiri matematice semnificative. În factorizarea în algebre de grup (1959) el a arătat că orice funcție integrabilă pe un grup compact local este convoluția a două astfel de funcții, rezolvând o problemă pusă de Walter Rudin. În On a conjecture of Littlewood and idempotent measures (1960) Cohen a făcut o descoperire semnificativă în rezolvarea conjecturii Littlewood. Mai devreme îi scrisese lui Harold Davenport spunându-i despre acest rezultat și Davenport i-a răspuns: –

… Pavel a spus că, dacă dovada lui Pavel a avut loc, el ar fi îmbunătățit o generație de analiști britanici care au lucrat din greu la această problemă. Dovada lui Pavel a rezistat; de fapt, Davenport a fost primul care a îmbunătățit rezultatul lui Pavel.

în 1961 Cohen a fost numit la Facultatea de la Universitatea Stanford ca profesor asistent de matematică. A fost promovat profesor asociat în matematică în anul următor și, tot în 1962, a primit Premiul Alfred P Sloan Research fellowship. În August 1962, Cohen a participat la Congresul Internațional al Matematicienilor de la Stockholm. El a fost un vorbitor invitat care a dat adresa măsuri idempotente și homomorfisme ale algebrelor de grup. Într-o croazieră de la Stockholm la Leningrad, în urma Congresului, Cohen a întâlnit-o pe Christina Karls din Malung, Suedia. S-au căsătorit la 10 octombrie 1963 și au avut trei fii, gemenii Eric și Steven și Charles.
A fost promovat profesor titular la Universitatea Stanford în 1964 după ce, în acest moment, a rezolvat una dintre cele mai dificile probleme deschise în matematică. Cohen a folosit o tehnică numită „forțare” pentru a dovedi independența în teoria mulțimilor a axiomei alegerii și a ipotezei continuumului generalizat. Angus MacIntyre scrie :-

un aspect dramatic al lucrării ipotezei continuumului este că Cohen a fost un outsider autodidact în logică. Lucrarea sa despre teoria mulțimilor și câmpurile p-adice are un stil foarte caracteristic, combinatorial și destul de liber de teoria generală.

în Cohen explică modul în care a ajuns la ideea de a forța de la citirea lui Kurt G Aktivdel consistența ipotezei continuumului, o carte formată din note ale unui curs dat la Institutul de Studii Avansate în 1938-39. Problema ipotezei continuumului a fost prima dintre cele 23 de probleme celebre ale lui David Hilbert livrate la al doilea Congres Internațional al Matematicienilor din Paris în 1900. Celebrul discurs al lui Hilbert problemele matematicii au provocat (și astăzi încă provocări) matematicienii să rezolve aceste întrebări fundamentale, iar Cohen are distincția de a rezolva problema 1.
începuse să lucreze la independența ipotezei continuumului spre sfârșitul anului 1962. Până în aprilie 1963 a simțit că lucrurile se potrivesc :-

există anumite momente în orice descoperire matematică atunci când rezolvarea unei probleme are loc la un nivel atât de subconștient încât, retrospectiv, pare imposibil să o disecăm și să-i explicăm originea. Mai degrabă, întreaga idee se prezintă deodată, adesea poate într-o formă vagă, dar devine treptat mai precisă.

după ce a citit dovada lui Cohen pe care a trimis-o într-o scrisoare din 9 mai 1963, Kurt G. I-a răspuns:-

permiteți-mi să repet că este într-adevăr o încântare să vă citesc dovada Independenței ipotezei continuumului. Cred că în toate privințele esențiale ați dat cea mai bună dovadă posibilă și acest lucru nu se întâmplă frecvent. Citirea dovezii tale a avut un efect la fel de plăcut asupra mea ca a vedea un joc foarte bun.

Cohen a vorbit despre munca sa privind independența axiomei alegerii și ipoteza continuumului din axiomele teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel într-o prelegere independența rezultă în teoria mulțimilor susținută la Simpozionul Internațional privind „teoria modelelor” de la Berkeley la 4 iulie 1963. Dovada sa a apărut în cele două lucrări independența ipotezei continuumului (1963) și independența ipotezei continuumului. II (1964). Andrzej Mostowski, trecând în revistă primul dintre acestea, scrie:-

aceste rezultate prezintă soluțiile mult așteptate ale celor mai remarcabile probleme deschise ale teoriei axiomatice a mulțimilor și ar trebui evaluate ca fiind cel mai important progres în studiul teoriei axiomatice a mulțimilor de la publicarea monografiei lui G. A. D. 1940 „consistența ipotezei continuumului” (1940). … pentru acest recenzor pare mai mult decât probabil că influența descoperirii lui Cohen va fi cel puțin la fel de profundă în metamatematică ca în filosofia generală a matematicii (și poate nu numai a matematicii).

Angus MacIntyre, care a fost student absolvent la Stanford din 1964 până în 1967, scrie:-

m-a inspirat când eram tânăr matematician. Nu l-am auzit niciodată predând despre teoria mulțimilor, ci mai degrabă despre geometria algebrică și câmpurile p-adice. El a avut un stil foarte special, plin de entuziasm și foarte ‘mâinile pe. El a folosit cât mai puțină teorie generală și a transmis întotdeauna un sentiment că a ajuns în inima lucrurilor. Tehnicile sale, chiar și în ceva la fel de abstract ca teoria mulțimilor, erau foarte constructive. Era foarte inteligent și ar fi trebuit să fii naiv sau extrem de altruist pentru a pune”cea mai grea problemă”a lui Paul pe care l-am cunoscut în anii ’60.

vezi un articol de Paul Cohen despre matematică și predare la acest LINK
În 1966 Cohen a publicat monografia teoria mulțimilor și ipoteza continuumului bazat pe un curs pe care l-a susținut la Harvard în primăvara anului 1965. Azriel l Elixvy (care a auzit pentru prima dată rezultatele lui Cohen la Conferința Berkeley model theory) scrie:-

această monografie este în mare parte o expunere a rezultatelor celebre ale autorului, și anume independența ipotezei continuumului și axioma alegerii. În plus, prezintă și principalele rezultate clasice în logică și teoria mulțimilor. … Această carte prezintă o abordare proaspătă și intuitivă și oferă câteva sclipiri în procesul mental care l-a condus pe autor la descoperirile sale. Cititorul va găsi în această carte doar cantitatea potrivită de observații filosofice pentru o monografie matematică.

în același an, Cohen a primit o medalie Fields pentru munca sa fundamentală asupra fundamentelor teoriei mulțimilor. I-a fost prezentat de Mstislav Vsevolodovich Keldysh, președintele Academiei de științe a URSS, la Congresul Internațional al Matematicienilor din 1966 de la Moscova. Un singur medaliat Fields (Lars Ahlfors) a primit Medalia Fields la o vârstă mai mică. Biserica Alonzo a dat o adresă Congresului despre Paul J Cohen și problema continuumului descriind realizările remarcabile ale lui Cohen. Cu toate acestea, Medalia Fields nu a fost primul premiu pe care l-a primit Cohen. În 1964 a fost distins cu Premiul Memorial B de la Societatea Americană de matematică:-

…pentru lucrarea sa, despre o presupunere a Littlewood și măsuri idempotente, Jurnalul American de matematică 82 (1960), 191-212.

trei ani mai târziu, în 1967, Cohen a primit Medalia Națională a științei:-

pentru rezultatele epocale în logica matematică care au însuflețit și extins investigațiile în fundamentul matematicii.

a primit premiul de la președintele Lyndon B Johnson într-o ceremonie la Casa Albă la 13 februarie 1968. De asemenea, a fost ales în Academia Națională de științe, Academia Americană de Arte și științe și ca membru străin onorific al London Mathematical Society.în plus față de munca sa privind teoria mulțimilor, Cohen a lucrat la ecuația diferențială și analiza armonică. Dawn Levy relatează în comentariile făcute despre Cohen de Peter Sarnak (profesor de matematică la Princeton și fost doctorand al lui Cohen cu teza Prime Geodesic Theorems (1980)):-

Paul Cohen a fost unul dintre cei mai străluciți matematicieni ai secolului 20. La fel ca mulți mari matematicieni, interesele și contribuțiile sale matematice au fost foarte largi, variind de la analiza matematică și ecuații diferențiale la logica matematică și teoria numerelor. Această lățime a fost evidențiată într-o conferință organizată la Stanford în septembrie anul trecut, sărbătorind opera lui Cohen și cea de-a 72-a aniversare. Adunarea a constat din experți de frunte în diferite domenii care, în mod normal, nu s-ar găsi ascultând același set de prelegeri. … Cohen a fost un lector și profesor dinamic și entuziast. El a făcut matematica să pară simplă și unificată. El a fost întotdeauna dornic să-și împărtășească numeroasele idei și perspective în diverse domenii. Pasiunea lui pentru matematică nu a scăzut niciodată.

Macintyre scrie despre lucrările importante pe care Cohen le-a produs după rezultatele sale remarcabile asupra ipotezei continuumului:-

în 1969 Cohen a publicat o lucrare extrem de originală despre descompunerea celulelor p-adic, oferind o versiune constructivă a faimoaselor rezultate ale Ax-Kochen-Ersov. Acum este fundamental pentru analiza logică a integrării motivice. Din 1969, Cohen s-a dedicat unora dintre cele mai provocatoare și neînduplecate probleme, cum ar fi ipoteza Riemann. A fost un matematician pasionat și inspirat.

Kathy Owen, care a petrecut timp la Stanford în anii 1970, a scris despre Cohen la acea vreme:-

Paul a fost un om uimitor. Nerăbdător, neliniștit, competitiv, provocator și genial. El a fost un regulat la ora de cafea pentru studenții absolvenți și facultate. El a iubit cut-and-thrust de dezbatere și argument pe orice subiect și a fost neobosit dacă el a găsit o slăbiciune logică într-un punct de vedere opus. Pur și simplu nu era unde să te ascunzi! S-a remarcat prin intelectul său ascuțit, fascinația sa pentru marile întrebări, interesul său ciudat pentru „perfect pitch” (a adus o furculiță de tuning la ora de cafea și a testat pe toată lumea) și iritarea sa ușoară cu puținii care au Perfect pitch. A fost un om remarcabil, un prieten drag care a avut un impact mare asupra vieții mele, o lumină cu întregul spectru de culori.

Cohen a fost numit Marjorie Mhoon Fair profesor în științe cantitative la Stanford în 1972, fiind primul titular al acestei catedre. S-a retras oficial în 2004, dar a continuat să predea la Stanford până cu puțin timp înainte de moartea sa. A murit de o boală pulmonară rară la Spitalul Stanford din Palo Alto.în ceea ce privește interesele lui Cohen în afara matematicii, a cântat atât la pian, cât și la vioară, a cântat într-un cor Stanford și a fost membru al unui grup folcloric suedez. A fost un lingvist desăvârșit care vorbea suedeză, franceză, spaniolă, germană și idiș. El și soția sa au găzduit petreceri frecvente pentru studenți, colegi și prieteni. Îi plăcea să arate vizitatorilor în jurul San Francisco și în zona înconjurătoare.
să încheiem această biografie citând reminiscențele lui Cohen despre munca sa asupra ipotezei continuumului:-

… este oarecum curios că într – un anumit sens ipoteza continuumului și axioma alegerii nu sunt probleme cu adevărat dificile-nu implică complexitate tehnică; cu toate acestea, la acea vreme erau considerate dificile. S-ar putea spune într-un mod plin de umor că atitudinea față de dovada mea a fost după cum urmează. Când a fost prezentat pentru prima dată, unii oameni au crezut că este greșit. Apoi s-a crezut că este extrem de complicat. Apoi s-a crezut că este ușor. Dar, desigur, este ușor în sensul că există o idee filosofică clară. Au existat puncte tehnice, știți, care m-au deranjat, dar practic nu a fost într-adevăr o problemă combinatorie extrem de implicată; a fost o idee filosofică.