lucrând cu 2.000 de ani înainte de dezvoltarea calculului, matematicianul grec Arhimede a elaborat o formulă simplă pentru volumul unei sfere:

dintre numeroasele sale contribuții matematice, Arhimede a fost cel mai mândru de acest rezultat, mergând chiar atât de departe încât a cerut ca metoda pe care a folosit — o pentru a elabora formula— o diagramă care circumscrie o sferă în interiorul unui cilindru împreună cu raportul 2:3-să fie imprimată pe piatra sa funerară.

formula lui Arhimede ar fi putut fi o lovitură de geniu științific în 250 î.HR., dar cu ajutorul calculului modern derivarea este extrem de simplă. În acest post voi explica o modalitate de a obține celebra formulă și voi explica cum se poate face în alte dimensiuni decât cele trei obișnuite.

derivarea

luați în considerare diagrama de mai jos. Este o sferă cu raza r. scopul este de a găsi volumul, și iată cum facem asta.

observați că un lucru pe care îl putem găsi cu ușurință este zona unei singure felii orizontale a mingii. Acesta este discul umbrit din partea de sus a diagramei, care este desenat la înălțimea z. discul are o rază de x, de care va trebui să găsim zona discului. Pentru a găsi x, putem forma un triunghi drept cu laturile z și x și hypotenuse r. Aceasta este desenată în figură. Apoi putem rezolva cu ușurință pentru x.

conform teoremei lui Pitagora, știm că

rezolvarea salturilor pentru x avem

atunci zona discului umbrit este pur și simplu pi ori raza pătrată sau

acum că avem aria unui disc orizontal, vrem să găsim aria tuturor discurilor orizontale din interiorul mingii însumate împreună. Asta ne va da volumul sferei.

pentru a face acest lucru, luăm pur și simplu integrala definită a formulei zonei discului de sus pentru toate înălțimile posibile z, care sunt între-r (în partea de jos a mingii) și r (în partea de sus a mingii). Adică, volumul nostru este dat de

care este formula de volum pe care o căutam.

aceeași logică poate fi utilizată pentru a obține formule pentru volumul unei „bile” în 4, 5 și dimensiuni superioare. Procedând astfel, puteți arăta că volumul unei bile unitare într-o singură dimensiune (o linie) este de doar 2; volumul în două dimensiuni (un disc) este

și — așa cum tocmai am arătat — volumul în trei dimensiuni (o sferă) este

continuând la patru, cinci și în cele din urmă n dimensiuni, apare un rezultat surprinzător.

se pare că volumul unei bile unitare atinge vârfurile la cinci dimensiuni și apoi continuă să se micșoreze după aceea, apropiindu-se în cele din urmă de zero pe măsură ce dimensiunea n merge la infinit.