ecuațiile din această secțiune nu folosesc axiome ale mecanicii cuantice, ci folosesc în schimb relații pentru care există o corespondență directă în mecanica clasică.

de exemplu: o rețea rigidă regulată, cristalină (nu amorfă) este compusă din n particule. Aceste particule pot fi atomi sau molecule. N este un număr mare, să zicem de ordinul lui 1023 sau de ordinul numărului Avogadro pentru un eșantion tipic de solid. Deoarece rețeaua este rigidă, atomii trebuie să exercite forțe unul asupra celuilalt pentru a menține fiecare atom aproape de poziția sa de echilibru. Aceste forțe pot fi forțe Van der Waals, legături covalente, atracții electrostatice și altele, toate acestea fiind în cele din urmă datorate forței electrice. Forțele magnetice și gravitaționale sunt în general neglijabile. Forțele dintre fiecare pereche de atomi pot fi caracterizate printr-o funcție de energie potențială V care depinde de Distanța de separare a atomilor. Energia potențială a întregii rețele este suma tuturor energiilor potențiale pereche înmulțite cu un factor de 1/2 pentru a compensa dubla numărare:

1 2 int.i Int. J ( r I − R j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{I\neq j}v\left(R_{i}-R_{j}\right)}

unde RI este poziția atomului i, iar v este energia potențială dintre doi atomi.

este dificil să rezolvăm această problemă cu mai multe corpuri în mod explicit, fie în mecanica clasică, fie în cea cuantică. Pentru a simplifica sarcina, de obicei sunt impuse două aproximări importante. În primul rând, suma se efectuează numai asupra atomilor vecini. Deși forțele electrice din solidele reale se extind până la infinit, această aproximare este încă valabilă, deoarece câmpurile produse de atomii îndepărtați sunt efectiv ecranate. În al doilea rând, potențialele V sunt tratate ca potențiale armonice. Acest lucru este permis atâta timp cât atomii rămân aproape de pozițiile lor de echilibru. În mod formal, acest lucru se realizează prin extinderea lui Taylor V cu privire la valoarea sa de echilibru la ordinea pătratică, dând V proporțional cu deplasarea x2 și forța elastică pur și simplu proporțională cu X. Eroarea în ignorarea termenilor de ordin superior rămâne mică dacă x rămâne aproape de poziția de echilibru.

rețeaua rezultată poate fi vizualizată ca un sistem de bile conectate prin arcuri. Următoarea figură prezintă o rețea cubică, care este un model bun pentru multe tipuri de solide cristaline. Alte laturi includ un lanț liniar, care este o rețea foarte simplă pe care o vom folosi în scurt timp pentru modelarea fononilor. (Pentru alte rețele comune, a se vedea structura cristalului.)

energia potențială a zăbrelei poate fi acum scrisă ca

XV { i j } ( n n ) 1 2 n n XV 2 ( R I − R j ) 2 . {\displaystyle \ sum _ {\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}}NN\omega ^{2}\stânga (R_{i}-R_{j} \ dreapta)^{2}.}

aici, XV este frecvența naturală a potențialelor armonice, care se presupune că sunt aceleași, deoarece rețeaua este regulată. Ri este coordonata de poziție a atomului i, pe care o măsurăm acum din poziția sa de echilibru. Suma peste vecinii cei mai apropiați este notată (nn).

Wavesedit zăbrele

fonon propagarea printr-o rețea pătrată (deplasări atom mult exagerate)

datorită conexiunilor dintre atomi, deplasarea unuia sau mai multor atomi de carbon este atomii din pozițiile lor de echilibru dau naștere unui set de unde de vibrații care se propagă prin zăbrele. Un astfel de val este prezentat în figura din dreapta. Amplitudinea undei este dată de deplasările atomilor din pozițiile lor de echilibru. Lungimea de undă este marcată cu lungimea de undă.

există o lungime de undă minimă posibilă, dată de dublul separării de echilibru a între atomi. Orice lungime de undă mai scurtă decât aceasta poate fi mapată pe o lungime de undă mai mare de 2a, datorită periodicității rețelei. Acest lucru poate fi considerat ca o consecință a teoremei de eșantionare Nyquist–Shannon, punctele de rețea sunt privite ca „punctele de eșantionare” ale unei unde continue.

nu toate vibrațiile posibile ale rețelei au o lungime de undă și o frecvență bine definite. Cu toate acestea, modurile normale posedă lungimi de undă și frecvențe bine definite.

latticeEdit unidimensional

animație care arată primele 6 moduri normale ale unei rețele unidimensionale: un lanț liniar de particule. Cea mai scurtă lungime de undă este în partea de sus, cu lungimi de undă progresiv mai lungi mai jos. În liniile inferioare se poate vedea mișcarea valurilor spre dreapta.

pentru a simplifica analiza necesară pentru o rețea 3-dimensională de atomi, este convenabil să se modeleze o rețea 1-dimensională sau un lanț liniar. Acest model este suficient de complex pentru a afișa caracteristicile importante ale fononilor.

tratament Clasicedit

se presupune că forțele dintre atomi sunt liniare și apropiate și sunt reprezentate de un arc elastic. Se presupune că fiecare atom este o particulă punctuală, iar nucleul și electronii se mișcă în pas (teorema adiabatică):

n − 1 n n + 1 O+P>···O++++++o+++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++O++++ + + O + + + + O + + + + + + O··· un − 1 un onu + 1

unde n etichetează al n-lea atom dintr-un total de N, A este distanța dintre atomi atunci când lanțul este în echilibru și un deplasarea atomului n din poziția sa de echilibru.

Dacă C este constanta elastică a arcului și m masa atomului, atunci ecuația de mișcare a celui de − al n − lea atom este

– 2 C u N + C ( u N + 1 + u N-1 ) = m d 2 u N D t 2 . {\displaystyle-2cu_{n} + c \ stânga (u_{n + 1}+u_{n-1}\dreapta)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{DT^{2}}}.}

acesta este un set de ecuații cuplate.

deoarece se așteaptă ca soluțiile să fie oscilante, noile coordonate sunt definite de o transformare Fourier discretă, pentru a le decupla.

Put

u n = int n a k / 2 int = 1 N Q k e i k n a . {\displaystyle u_{n} = \ sum _ {Nak / 2 \ pi = 1}^{N}Q_{k}e ^ {ikna}.}

aici, na corespunde și decurge variabilei continue x a teoriei câmpului scalar. Qk sunt cunoscute sub numele de coordonate normale, moduri de câmp continuum-uri.

substituția în ecuația de mișcare produce următoarele ecuații decuplate (acest lucru necesită o manipulare semnificativă folosind relațiile de ortonormalitate și completitudine ale transformatei Fourier discrete,

2 c ( cos . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m {\frac {d^{2}Q_{k}}{DT^{2}}}.}

acestea sunt ecuațiile pentru oscilatoarele armonice decuplate care au soluția Q K = A k E I octoctum k t ; k = 2 C M ( 1 − cos . {\displaystyle Q_{k} = a_{k}e^{i\omega _ {k}t}; \ qquad \ omega _ {k}={\sqrt {{\frac {2c}{m}}(1 – \ cos {ka})}}.}

fiecare coordonată normală Qk reprezintă un mod vibrațional independent al rețelei cu numărul de undă k, care este cunoscut sub numele de mod normal.

a doua ecuație, pentru wk, este cunoscută sub numele de relația de dispersie dintre frecvența unghiulară și numărul de undă.

în limita continuumului, a 0, N, cu Na Fix, un(X), un câmp scalar și a {\displaystyle \Omega ( k)\propto ka}

. Aceasta se ridică la teoria clasică a câmpului scalar liber, un ansamblu de oscilatoare independente.

tratament Cuanticedit

un lanț armonic mecanic cuantic unidimensional este format din n atomi identici. Acesta este cel mai simplu model mecanic cuantic al unei rețele care permite fononilor să apară din ea. Formalismul pentru acest model este ușor generalizabil la două și trei dimensiuni.

în contrast cu secțiunea anterioară, pozițiile maselor nu sunt notate cu ui, ci, în schimb, cu x1, x2…, măsurate din pozițiile lor de echilibru (adică. xi = 0 dacă particula i se află în poziția sa de echilibru.) În două sau mai multe dimensiuni, xi sunt cantități vectoriale. Hamiltonianul pentru acest sistem este

h = hectolitru i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m x 2 { i j } ( n n ) ( x I − X j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2M}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {NN} )}\stânga(x_{i}-x_{J}\dreapta)^{2}}

unde m este masa fiecărui atom (presupunând că este egal pentru toți), iar xi și PI sunt operatorii de poziție și respectiv impuls, pentru atomul I și suma se face peste cei mai apropiați vecini (nn). Cu toate acestea, se așteaptă ca într-o rețea să apară și unde care se comportă ca particule. Se obișnuiește să se facă față undelor în spațiul Fourier care folosește modurile normale ale vectorului de undă ca variabile în loc de coordonate ale particulelor. Numărul de moduri normale este același cu numărul de particule. Cu toate acestea, spațiul Fourier este foarte util având în vedere periodicitatea sistemului.

se poate introduce un set de n „coordonate normale” Qk, definite ca transformatele Fourier discrete ale XK și n „conjugate momenta” Xktc definite ca transformatele Fourier ale pk:

Q K = 1 n inktc L E I k A L x L Inktc K = 1 n inktc l e − i k a l P L . {\displaystyle {\begin{aliniat}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{K}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aliniat}}}

cantitatea kn se dovedește a fi numărul de undă al fononului, adică 2 centimetrul împărțit la lungimea de undă.

această alegere păstrează relațiile de comutație dorite fie în spațiul real , fie în spațiul vectorului de undă

= i inktiv L , M = 1 N Inktiv L , M E i K A l E − i K ‘A M = i inktiv N Inktiv l e i a l ( k − k’ ) = i inktiv k,k ‘ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\hbar \Delta _{l,m}\\\stânga&={\frac {1}{n}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik’am}\stânga\\&={\frac {i\hbar }{n}}\sum _{l}e^{ial\stânga(k-k’\dreapta)}=i\hbar \Delta _{k, k’}\\\stânga&=\stânga=0\sfârșit{aliniat}}}

Din rezultatul general

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k Q k Q k ∑ l e m o l ( k + k ‘ ) e m o m k ‘ = ∑ k Q k Q k e i o m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{aliniat}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_ {k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{k}\end{aliniat}}}

energia potențială termen este

1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q k ( 2 − e i k − e − m-q ) = 1 2 ∑ k m ω k 2 Q k − Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\stânga(x_{j}-x_{j+1}\dreapta)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sumă _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sumă _{k}m{\omega _{K}^{2} Q_{k}q_{-k}}

unde

k = 2 ( 1 − cos (ka ) = 2) (1-cos (ka)=2) | sin (K2|{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\stânga (1 – \cos {ka}\dreapta)}} = 2\Omega \stânga|\păcat {\frac {ka} {2}}\dreapta/}

Hamiltonianul poate fi scris în spațiul vectorului de undă ca

H = 1 2 m k − k + m 2 K − K 2 q-k ) {\displaystyle {\mathcal {h}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\stânga (\pi _{k}\pi _{- k}+m^{2}\omega _{K}^{2}q_{k}q_ {- k}\dreapta)}

cuplajele dintre variabilele de poziție au fost transformate; în cazul în care Q și XV au fost Hermitiene (ceea ce nu sunt), Hamiltonianul transformat ar descrie n oscilatoare armonice decuplate.

forma cuantificării depinde de alegerea condițiilor limită; pentru simplitate, se impun condiții limită periodice, definind atomul (N + 1)TH ca echivalent cu primul atom. Din punct de vedere fizic, aceasta corespunde aderării lanțului la capetele sale. Cuantificarea rezultată este

k = k n = 2 Int N N A Pentru n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k = k_{n} = {\frac {2 \ pi n}{Na}} \ quad {\mbox{for }}n = 0, \ pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }

limita superioară la n provine de la lungimea de undă minimă, care este de două ori distanța dintre zăbrele a, așa cum s-a discutat mai sus.valorile proprii ale oscilatorului armonic sau nivelurile de energie pentru modul wk sunt:

E N = ( 1 2 + N ) = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\stânga({\tfrac {1}{2}}+n\dreapta)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

nivelurile sunt distanțate uniform la:

1 2 , 3 , 2, 5, 5, 2, {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega, \ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega, \ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }

unde 1/2 inktifw este energia punctului zero a unui oscilator armonic cuantic.

o cantitate exactă de energie trebuie furnizată rețelei oscilatorului armonic pentru a o împinge la următorul nivel de energie. În comparație cu cazul fotonului atunci când câmpul electromagnetic este cuantificat, cuantul energiei vibraționale se numește fonon.

toate sistemele cuantice prezintă simultan proprietăți asemănătoare undelor și particulelor. Proprietățile asemănătoare particulelor fononului sunt cel mai bine înțelese folosind metodele celei de-a doua cuantificări și tehnicile operatorului descrise mai târziu.

zăbrele tridimensionale

aceasta poate fi generalizată la o rețea tridimensională. Numărul de undă k este înlocuit cu un vector de undă tridimensional k. Mai mult, fiecare k este acum asociat cu trei coordonate normale.

noii indici s = 1, 2, 3 etichetează polarizarea fononilor. În modelul unidimensional, atomii au fost limitați la deplasarea de-a lungul liniei, astfel încât fononii corespundeau undelor longitudinale. În trei dimensiuni, vibrațiile nu se limitează la Direcția de propagare și pot apărea și în planurile perpendiculare, cum ar fi undele transversale. Acest lucru dă naștere la coordonatele normale suplimentare, pe care, după cum indică forma Hamiltonianului, le putem vedea ca specii independente de fononi.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

pentru o matrice alternativă unidimensională de două tipuri de ioni sau atomi de masă m1, M2 repetată periodic la o distanță a, conectată prin arcuri de constantă de arc K, rezultă două moduri de vibrație:

2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2) K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 Sin 2 k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=k\stânga({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\dreapta)\pm k{\sqrt {\stânga({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\dreapta)^{2}-{\frac {4\păcat ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}

unde k este vectorul de undă al vibrației legate de lungime de undă de K = 2 {\displaystyle k = {\tfrac {2\pi} {\lambda}}}

.

conexiunea dintre frecventa si vectorul de unda, in forma de X = X X(K), este cunoscuta sub numele de relatie de dispersie. Semnul plus are ca rezultat așa-numitul mod optic, iar semnul minus la modul acustic. În modul optic, doi atomi diferiți adiacenți se mișcă unul împotriva celuilalt, în timp ce în modul acustic se mișcă împreună.

viteza de propagare a unui fonon acustic, care este și viteza sunetului în zăbrele, este dată de panta relației de dispersie acustică, xq / xq (vezi viteza grupului.) La valori scăzute ale k (adică lungimi de undă lungi), relația de dispersie este aproape liniară, iar viteza sunetului este aproximativ wa, independent de frecvența fononilor. Drept urmare, pachetele de fononi cu lungimi de undă diferite (dar lungi) se pot propaga pe distanțe mari de-a lungul rețelei fără a se despărți. Acesta este motivul pentru care sunetul se propagă prin solide fără distorsiuni semnificative. Acest comportament eșuează la valori mari de k, adică lungimi de undă scurte, datorită detaliilor microscopice ale rețelei.

pentru un cristal care are cel puțin doi atomi în celula sa primitivă, relațiile de dispersie prezintă două tipuri de fononi, și anume modurile optice și acustice corespunzătoare curbei albastre superioare și, respectiv, roșii inferioare din diagramă. Axa verticală este energia sau frecvența fononului, în timp ce axa orizontală este vectorul de undă. Limitele de la-A și a la-A sunt cele ale primei zone Brillouin. Un cristal cu N 2 atomi diferiți în celula primitivă prezintă trei moduri acustice: un mod acustic longitudinal și două moduri acustice transversale. Numărul de moduri optice este 3N-3. Figura inferioară arată relațiile de dispersie pentru mai multe moduri fononice în GaAs ca funcție a vectorului de undă k în direcțiile principale ale zonei sale Brillouin.

multe curbe de dispersie a fononilor au fost măsurate prin împrăștiere inelastică a neutronilor.

fizica sunetului în fluide diferă de fizica sunetului în solide, deși ambele sunt unde de densitate: undele sonore din fluide au doar componente longitudinale, în timp ce undele sonore din solide au componente longitudinale și transversale. Acest lucru se datorează faptului că fluidele nu pot suporta tensiunile de forfecare (dar vezi fluide viscoelastice, care se aplică numai frecvențelor înalte).

interpretarea fononilor folosind tehnici de cuantificare secundarăedit

Hamiltonianul derivat mai sus poate arăta ca o funcție hamiltoniană clasică, dar dacă este interpretat ca un operator, atunci descrie o teorie a câmpului cuantic a bosonilor care nu interacționează.A doua tehnică de cuantificare, similară cu metoda operatorului scării utilizată pentru oscilatoarele armonice cuantice, este un mijloc de extragere a valorilor proprii ale energiei fără rezolvarea directă a ecuațiilor diferențiale. Având în vedere Hamiltonianul, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

, precum și poziția conjugată, Q k {\displaystyle Q_{k}}

, și impuls conjugat k {\displaystyle \pi _{K}}

definit în secțiunea de tratament cuantic de mai sus, putem defini crearea și operatorii anihilare: b k = m ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}

și b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i i ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\pumnal }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_ {k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}

următorii comutatori pot fi ușor obținuți prin substituirea în relația de comutare canonică:

= k , k ‘, = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}

folosind acest lucru, operatorii BK și BK pot fi inversați pentru a redefini poziția conjugată și impulsul ca:

Q k = ℏ 2 m ω k ( b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\pumnal }+b_ {k}\right)}

și Π k = i ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=m{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\pumnal } b_ {k}\right)}

Direct substituind aceste definiții pentru Q k {\displaystyle Q_{k}}

și k {\displaystyle \pi _{k}}

în spațiul Hamiltonian al vectorului de undă, deoarece este definit mai sus, iar simplificarea are ca rezultat Hamiltonianul luând forma: H = k-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x} \HBAR\Omega _{k}\left ({b_ {k}}^{\dagger} b_{k} + {\tfrac{1} {2}}\right)}

aceasta este cunoscută sub numele de a doua tehnică de cuantificare, cunoscută și sub numele de formularea numărului ocupației, unde nk=BK BK este numărul ocupației. Aceasta poate fi văzută a fi o sumă de N Hamiltonieni oscilatori independenți, fiecare cu un vector de undă unic și compatibil cu metodele utilizate pentru oscilatorul armonic cuantic (rețineți că nk este hermitian). Când un Hamiltonian poate fi scris ca o sumă de sub-Hamiltonieni care fac naveta, stările proprii ale energiei vor fi date de produsele stărilor proprii ale fiecăruia dintre sub-Hamiltonienii separați. Spectrul energetic corespunzător este apoi dat de suma valorilor proprii individuale ale Sub-Hamiltonienilor.

ca și în cazul oscilatorului armonic cuantic, se poate arăta că BK, respectiv BK, creează și distrug o excitație a unui singur câmp, un fonon, cu o energie de xvwk.

trei proprietăți importante ale fononilor pot fi deduse din această tehnică. În primul rând, fononii sunt bosoni, deoarece orice număr de excitații identice poate fi creat prin aplicarea repetată a operatorului de creație BK XV. În al doilea rând, fiecare fonon este un „mod colectiv” cauzat de mișcarea fiecărui atom din rețea. Acest lucru poate fi văzut din faptul că operatorii de creare și anihilare, definiți aici în spațiul impulsului, conțin sume peste operatorii de poziție și impuls ai fiecărui atom atunci când sunt scrise în spațiul de poziție (Vezi poziția și spațiul impulsului). În cele din urmă, folosind funcția de corelare poziție–poziție, se poate arăta că fononii acționează ca valuri de deplasare a rețelei.

Această tehnică este ușor generalizate în trei dimensiuni, în cazul în care Hamiltonian are forma:

H = ∑ k ∑ s = 1 3 ℏ ω k , s ( b, k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ sum _ {k} \ sum _ {s = 1}^{3} \ hbar\, \ omega _ {k, s} \ stânga ({b_{k, s}}^{\pumnal }b_{k, s}+{\tfrac {1}{2}} \ dreapta).}