problema generală a trisecției unghiului este rezolvabilă folosind instrumente suplimentare și, astfel, ieșind din cadrul grecesc original al busolei și dreptei.

au fost propuse multe metode incorecte de trisectare a unghiului general. Unele dintre aceste metode oferă aproximări rezonabile; altele (dintre care unele sunt menționate mai jos) implică instrumente care nu sunt permise în problema clasică. Matematicianul Underwood Dudley a detaliat unele dintre aceste încercări eșuate în cartea sa Trisectorii.

aproximare prin bisectionsEdit succesive

Trisection poate fi aproximată prin repetarea metodei busolei și dreptei pentru bisecting un unghi. Seria geometrică 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ sau 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ poate fi folosit ca bază pentru bisecții. O aproximare la orice grad de precizie poate fi obținută într-un număr finit de pași.

folosind origamiEdit

Trisecția, ca multe construcții imposibile de riglă și busolă, poate fi realizată cu ușurință prin operațiile de pliere a hârtiei sau origami. Axiomele lui Huzita (tipuri de operații de pliere) pot construi extensii cubice (rădăcini cubice) de lungimi date, în timp ce rigla și busola pot construi doar extensii pătratice (rădăcini pătrate).

folosind un linkageEdit

fan link Sylvester

există o serie de legături simple, care pot fi folosite pentru a face un instrument pentru a trisect unghiuri inclusiv trisectorul lui Kempe și fanul de legătură al lui Sylvester sau isoklinostat.

cu un rulerEdit triunghiular drept

Trisecția unghiului prin intermediul Rechtwinkelhaken conform pentru Ludwig Bieberbach, cu continuarea construcției, animație 1 min 35 S, din care rupe la sfârșitul 30 s.

în 1932, Ludwig Bieberbach publicat în Jurnalul F inqtr die reine und angewandte Mathematik lucrarea sa zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. El afirmă în aceasta (traducere liberă):

„după cum se știe … fiecare construcție cubică poate fi urmărită înapoi la trisecția unghiului și la înmulțirea cubului, adică extragerea celei de-a treia rădăcini. Trebuie doar să arăt cum aceste două sarcini clasice pot fi rezolvate prin intermediul cârligului cu unghi drept.”

următoarea descriere a construcției adiacente (animație) conține continuarea lor până la trisecția completă a unghiului.

începe cu primul cerc de unitate în jurul centrului său A {\displaystyle A}

, primul unghi b p {\displaystyle {\overline {BP}}}

, și a doua unitate cerc în jurul p {\displaystyle p}

urmând-o. Acum diametrul B p {\displaystyle {\overline {BP}}}

din P {\displaystyle P}

este extins la linia de cerc a acestui cerc unitate, punctul de intersecție o {\displaystyle p}

este extins la linia de cerc a acestui cerc unitate, punctul de intersecție o {\displaystyle o}

fiind creat. Urmând arcul cercului în jurul lui P {\displaystyle P}

cu raza B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

și desenul celui de-al doilea unghi al membrelor din unghiul displaystyle\Delta }

, punctul C {\displaystyle c}

rezultate. Acum se folosește așa-numita medie de construcție suplimentară, în exemplul ilustrat este Geodreieck. Acest triunghi geometric, așa cum se mai numește, este acum plasat pe desen în felul următor: vârful unghiului drept determină punctul s {\displaystyle S}

pe piciorul unghiului P c {\displaystyle {\overline {PC}}}

, un catet al triunghiului trece prin punctul O {\displaystyle o}

iar celălalt afectează cercul unitar a {\displaystyle a}

. După conectarea punctului o {\displaystyle o}

la S {\displaystyle S}

și desenarea tangentei din s {\displaystyle S}

la cercul unității în jurul unui {\displaystyle a}

, este afișat cârligul unghi drept menționat mai sus, respectiv rechtwinkelhaken. Unghiul închis de segmentele O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

și P s {\displaystyle {\overline {PS}}}

este astfel exact 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

. Se merge mai departe cu paralela la O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

de la P {\displaystyle P}

, unghiul alternativ 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

și punctul D {\displaystyle d}

sunt create. O altă paralelă cu O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

de la a {\displaystyle a}

determină punctul de contact E {\displaystyle e}

din tangenta cu cercul unitar despre un {\displaystyle a}

. În cele din urmă, trageți o linie dreaptă de la P {\displaystyle P}

prin e {\displaystyle e}

până când intersectează cercul unității în F {\displaystyle F}

. Astfel, unghiul {\displaystyle\delta }

are exact trei părți.

cu o curbură auxiliară

• Trisecție folosind spirala arhimedeană

• trisecție folosind Maclaurin trisectrix

există anumite curbe numite trisectrice care, dacă sunt desenate pe plan folosind alte metode, pot fi folosite pentru a trisecta unghiuri arbitrare. Exemplele includ trisectrica lui Colin Maclaurin, dată în coordonate carteziene prin ecuația implicită

2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

și spirala arhimedeană. Spirala poate fi, de fapt, utilizată pentru a împărți un unghi în orice număr de părți egale.

cu un rulerEdit marcat

Trisecția unghiului folosind rigla marcată

Un alt mijloc de a trisecta un unghi arbitrar printr-un pas „mic” în afara cadrului grecesc este printr-o riglă cu două semne la o distanță stabilită. Următoarea construcție se datorează inițial lui Arhimede, numită construcție Neusis, adică care folosește alte instrumente decât o linie dreaptă ne-marcată. Diagramele pe care le folosim arată această construcție pentru un unghi ascuțit, dar într-adevăr funcționează pentru orice unghi de până la 180 de grade.

Acest lucru necesită trei fapte din geometrie (la dreapta):

1. orice set complet de unghiuri pe o linie dreaptă se adaugă la 180 de milimetri,

suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de milimetri și, oricare două laturi egale ale unui triunghi isoscel se vor întâlni cu al treilea în același unghi.

fie l linia orizontală din diagrama adiacentă. Unghiul a (stânga punctului B) este subiectul trisecției. Mai întâi, un punct A este desenat la raza unui unghi, la o unitate distanță de B. este desenat un cerc de rază AB. Apoi, markedness de conducător intră în joc: o marcă a riglei este plasată la A și cealaltă la B. păstrând rigla (dar nu marca) atingând A, rigla este alunecată și rotită până când o marcă este pe cerc, iar cealaltă este pe linia l. marca de pe cerc este etichetată C, iar marca de pe linie este etichetată D. Acest lucru asigură că CD = AB. O rază BC este trasată pentru a face evident că segmentele de linie AB, BC și CD au toate lungimea egală. Acum, triunghiurile ABC și BCD sunt izoscele ,astfel (de fapt 3 de mai sus) fiecare are două unghiuri egale.

ipoteza: Având în vedere AD este o linie dreaptă, și AB, BC, și CD toate au lungime egală,

concluzie: unghiul b = A / 3.

dovada:

1. de fapt 1) de mai sus, E + C = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   inkt.

2. Privind la triunghiul BCD, de fapt 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2b=180}
   

   Irak.

3. din ultimele două ecuații, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. de fapt 1) de mai sus, a + d + b = 180 {\displaystyle A+d+b=180}
   

   , astfel a + ( 180 {\displaystyle A+(180}

   

   − 4 B ) + B = 180 {\displaystyle-4b)+B=180}

   

   .

compensare, a − 3b = 0, sau a = 3b, iar teorema este dovedită.

din nou, această construcție a pășit în afara cadrului construcțiilor permise prin utilizarea unei drepte marcate.

cu o coardăedit

Thomas Hutcheson a publicat un articol în profesorul de matematică care folosea un șir în loc de busolă și margine dreaptă. Un șir poate fi folosit fie ca o margine dreaptă (prin întinderea acestuia), fie ca o busolă (prin fixarea unui punct și identificarea altui), dar poate înfășura și un cilindru, cheia soluției lui Hutcheson.

Hutcheson a construit un cilindru din unghiul care urmează să fie trisectat desenând un arc peste unghi, completându-l ca un cerc și construind din acel cerc un cilindru pe care a fost înscris un triunghi echilateral (un unghi de 360 de grade împărțit în trei). Aceasta a fost apoi” mapată ” pe unghiul care urmează să fie trisectat, cu o simplă dovadă a triunghiurilor similare.

cu un „tomahawk”Editați

un tomahawk care trisează un unghi. Mânerul formează un trisector, iar linia albastră prezentată formează cealaltă.

un „tomahawk” este o formă geometrică constând dintr-un semicerc și două segmente de linie ortogonală, astfel încât lungimea segmentului mai scurt este egală cu raza cercului. Trisecția este executată prin înclinarea capătului segmentului mai scurt al tomahawk pe o rază, marginea cercului pe cealaltă, astfel încât „mânerul” (segmentul mai lung) traversează vârful unghiului; linia de trisecție rulează între vârf și centrul semicercului.

rețineți că, deși un tomahawk este construibil cu busolă și linie dreaptă, în general nu este posibil să se construiască un tomahawk în nicio poziție dorită. Astfel, construcția de mai sus nu contrazice nontrisectibilitatea unghiurilor numai cu rigla și busola.

tomahawk produce același efect geometric ca și metoda de pliere a hârtiei: distanța dintre centrul cercului și vârful segmentului mai scurt este de două ori distanța razei, care este garantată pentru a contacta unghiul. De asemenea, este echivalent cu utilizarea unui arhitect l-conducător (piața tâmplarului).

cu busole interconectatedit

un unghi poate fi trisectat cu un dispozitiv care este în esență o versiune cu patru direcții a unei busole, cu legături între vârfurile concepute pentru a menține cele trei unghiuri între vârfurile adiacente egale.