arbeta 2000 år före utvecklingen av kalkylen, den grekiska matematikern Archimedes utarbetade en enkel formel för volymen av en sfär:

av hans många matematiska bidrag var Archimedes mest stolt över detta resultat och gick till och med så långt som att be att metoden han använde för att utarbeta formeln — ett diagram som omger en sfär inuti en cylinder tillsammans med förhållandet 2:3— tryckas på hans gravsten.Archimedes formel kan ha varit ett slag av vetenskapligt geni år 250 f.Kr., men med hjälp av modern kalkyl är härledningen extremt enkel. I det här inlägget ska jag förklara ett sätt att härleda den berömda formeln och förklara hur det kan göras i andra dimensioner än de vanliga tre.

härledningen

Tänk på diagrammet nedan. Det är en sfär med radie r. målet är att hitta volymen, och så här gör vi det.

lägg märke till att en sak vi lätt kan hitta är området för en enda horisontell skiva av bollen. Detta är den skuggade skivan högst upp i diagrammet, som ritas i höjd z. skivan har en radie på x, som vi måste hitta diskens område. För att hitta x kan vi bilda en rätt triangel med sidorna z och x och hypotenusen r. detta ritas i figuren. Då kan vi enkelt lösa för x.

med Pythagoras sats vet vi att

hoppa lösa för X Vi har

då är området för den skuggade skivan helt enkelt pi gånger radien kvadrat, eller

Nu när vi har området för en horisontell skiva vill vi hitta området för alla horisontella skivor inuti bollen summerad tillsammans. Det kommer att ge oss sfärens volym.

För att göra detta tar vi helt enkelt den bestämda integralen av diskområdesformeln ovanifrån för alla möjliga höjder z, som ligger mellan-r (längst ner på bollen) och r (högst upp på bollen). Det vill säga vår volym ges av

vilket är volymformeln vi letade efter.

samma logik kan användas för att härleda formler för volymen av en ”boll” i 4, 5 och högre dimensioner också. Om du gör det kan du visa att volymen på en enhetskula i en dimension (en linje) bara är 2; volymen i två dimensioner (en skiva) är

och — som vi just har visat — volymen i tre dimensioner (en sfär) är

fortsätter till fyra, fem och slutligen n dimensioner visas ett överraskande resultat.

det visar sig att volymen på en enhetskula toppar vid fem dimensioner och fortsätter sedan att krympa därefter och närmar sig slutligen noll när dimensionen n går till oändligheten.